Đường Thẳng Newton Mở Rộng - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (7 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Cao đẳng - Đại học

Đường thẳng Newton mở rộng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (216.75 KB, 7 trang )

Đường thẳng Newton mở rộngNguyễn Văn Linh, lớp 12A2 toán, khối THPT chuyên ĐHKHTN-ĐHQGHNTháng 9/20101Mở đầuTrong hình học sơ cấp chúng ta đã rất quen thuộc với định lý sau, còn đượcgọi là đường thẳng Newton trong tứ giác ngoại tiếp: " Cho một tứ giác ngoạitiếp đường tròn (O). Khi đó O nằm trên đường thẳng nối trung điểm hai đườngchéo của tứ giác đó ". Trong bài viết này, chúng ta sẽ tổng quát định lý trên vàđưa ra hai hệ quả đặc sắc cho đường thẳng Newton mở rộng.2Định lýCho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). P là một điểm bất kì trên mặtphẳng. Các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D tới P A, P B, P C, P D cắt nhautạo thành tứ giác XY ZT . Khi đó O nằm trên đường thẳng nối trung điểm cácđường chéo của tứ giác XY ZT .Chứng minh.Nếu P nằm trên (O). Ta có các đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D tớiP A, P B, P C, P D đồng quy tại điểm đối xứng với P qua O nên bài toán hiểnnhiên đúng.Ta chúng minh bài toán trong trường hợp P nằm trong (O) (trường hợp Pnằm ngoài được chứng minh tương tự).Trước hết ta phát biểu và chứng minh một bổ đề:Bổ đề.Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BD, Q là điểm1trên mặt phẳng sao cho SAQB + SCQD = SBQC + SAQD = SABCD . Khi đó2M, N, Q thẳng hàng.Chứng minh.1BANEQMIDFCGọi I là giao của AB và CD. Lấy E trên đoạn IB sao cho AB = IE, F trênđoạn IC sao cho IF = DC.1Ta có SABCD = SAQB + SDQC = SIEQ + SIF Q = SIEQF .2Mặt khác do N là trung điểm BD nên SIEN D = SIEN + SIDN = SAN B +1SDN C = SAN B + SDN C = SABCD2Suy ra SIEQF = SIEN D hay SEN F = SEQF . Từ đó N Q//EF . Tương tự tacũng chứng minh được M Q//EF .Vậy M, N, Q thẳng hàng.Trở lại bài toán.XP'AB'HA'BTPDOQD'YZCC'Gọi A , B , C , D lần lượt là giao điểm thứ hai của (O) với T X, XY, Y Z, ZT .Gọi H là trung điểm BB suy ra OH ⊥ BB .Đường thẳng kẻ từ B vuông góc với XY cắt OP tại Q. Ta có OH là đườngtrung bình của hình thang QB BP nên O là trung điểm P Q.2Tương tự ta thu được các đường vuông góc kẻ từ A , B , C , D tới các cạnhT X, XY, Y Z, ZT đồng quy tại Q.Do tứ giác QA XB nội tiếp nên QXT = A B Q = 90o − XB A .Tương tự P XY = 90o − XAB.Mà XAB = XB A do tứ giác A AB B nội tiếp nên QXT = P XY (1)Tương tự ta cũng có P Y X = QY Z(2), P ZY = QZT , QT Z = P T X.Theo bổ đề trên thì O thuộc đường nối trung điểm hai đường chéo của tứgiác XY ZT nếu SXOY + SZOT = SXOT + SY OZ11Hay (SXP Y +SXQY +ST P Z +ST QZ ) = (ST P X +ST QX +SY P Z +SY QZ )(3)22Gọi P là điểm đối xứng của P qua B.Ta có SXQY + SXP Y = SXQY + SXP Y = SXQY P = SQXP + SQY P1= .(XQ.XP . sin QXP + Y Q.Y P . sin QY P )2Từ (1) và (2) suy ra QXP = T XY , QY P = XY Z.Do đó XQ.XP . sin QXP +Y Q.Y P . sin QY P = XQ.XP. sin T XY +Y Q.Y P. sin XY Z1Tương tự ta thu được SXP Y +SXQY +ST P Z +ST QZ = (XQ.XP. sin T XY +2Y Q.Y P. sin XY Z + QZ.P Z. sin Y ZT + QT.P T. sin ZT X).Tương tự với ST P X + ST QX + SY P Z + SY QZ suy ra (3) đúng. Vậy ta cóđpcm.Nhận xét 1: Khi P trùng O ta thu được đường thẳng Newton.Nhận xét 2: Hai điểm P, Q là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tứ giácXY ZT . Vì vậy ta có sự tổng quát của hai điểm liên hợp đẳng giác trong tamgiác lên thành tứ giác.Ngược lại, nếu một tứ giác XY ZT có hai điểm P và Q liên hợp đẳng giác,ta chứng minh được tập hợp các hình chiếu vuông góc kẻ từ P, Q lên các cạnhcủa tứ giác XY ZT cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm P Q.YA1A2XNPD1B1OQD2B2TC2MC1ZThật vậy, Gọi A1 , B1 , C1 , D1 là hình chiếu của P, A2 , B2 , C2 , D2 là hình chiếucủa Q lên 4 cạnh XY, Y Z, ZT, T X.3Ta có P ZY = QZT nên ZP B1 = ZQC2 . Áp dụng tính chất của tứ giácnội tiếp suy ra B1 C1 Z = C2 B2 Z hay 4 điểm C1 , C2 , B1 , B2 đồng viên . Tươngtự 4 điểm B1 , B2 , A1 , A2 đồng viên, A1 , A2 , D1 , D2 đồng viên, D1 , D2 , C1 , C2đồng viên. Nếu 8 điểm trên không cùng thuộc một đường tròn thì trục đẳngphương của các đường tròn phải đồng quy tại một điểm. Nhưng XY là trụcđẳng phương của (A1 A2 B2 B1 ) và (A1 A2 D1 D2 ). Tương tự với Y Z, ZT, T X nên4 trục đẳng phương này không đồng quy. Vậy tập hợp 8 hình chiếu của P, Q lên4 cạnh tứ giác XY ZT phải cùng thuộc một đường tròn.Mặt khác, gọi O là trung điểm P Q, M, N là trung điểm C1 C2 , A1 A2 thìM O, N O lần lượt là đường trung bình các hình thang P QC2 C1 , P QA2 A1 . Dođó OM, ON lần lượt là đường trung trực đoạn C1 C2 , A1 A2 hay O là tâm đườngtròn ngoại tiếp 8 điểm A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 , D1 , D2 .Nhận xét 3: Tổng quát hơn, nếu cho đa giác X1 X2 ...Xn nội tiếp (O).P làđiểm bất kì trên mặt phẳng. Các đường vuông góc với P A1 , P A2 , ...., P An tạiA1 , A2 , ...., An cắt nhau tạo thành đa giác Y1 Y2 ...Yn . Gọi Q là điểm đối xứngvới P qua O thì ta có thể chứng minh được P và Q là hai điểm liên hợp đẳnggiác trong đa giác A1 A2 ....An .3Ứng dụngSau đây là hai ứng dụng đặc sắc của đường thẳng Newton mở rộng:Hệ quả 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).AC giao BD tại I. Gọi P làđiểm bất kì trên mặt phẳng, O1 , O2 , O3 , O4 lần lượt là tâm đường tròn ngoạitiếp các tam giác AP B, BP C, CP D, DP A. Khi đó trung điểm các đoạn thẳngO1 O3 , O2 O4 , OI thẳng hàng.Chứng minh:4XBAO1TYK'O4O2KP LOHH'DCO3ZGọi X, Y, Z, T lần lượt các điểm đối xứng của P qua O1 , O2 , O3 , O4 ; L, K, H, K , Hlần lượt là trung điểm P O, O2 O4 , O1 O3 , Y T, XZ.Ta có XAP = T AP = 90o nên X, A, T thẳng hàng. Tương tự, X, B, Y thẳnghàng; Y, C, Z thẳng hàng; Z, D, T thẳng hàng.Xét phép vị tự tâm P tỉ số 2: O1 → X, O2 → Y, O3 → Z, O4 → T nênK → K , H → H Mà L → O nên ta cần chứng minh K , O, H thẳng hàng.Điều này đúng theo định lý về đường thẳng Newton mở rộng với chú ý rằngP A ⊥ T X, P B ⊥ XY, P C ⊥ Y Z, P D ⊥ ZT.Hệ quả 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).P là điểm bất kì trên mặtphẳng. Gọi X, Y, Z, T, H, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ P đếnAB, BC, CD, DA, AC, BD. Khi đó trung điểm các đoạn XZ, Y T, HK thẳnghàng.Chứng minh:Trường hợp 1: P nằm trên (O).5BXAKHZDCYTMÁp dụng định lý về đường thẳng Simson ta có các bộ ba điểm (X, H, Y ); (X, K, T ); (X, Z, Y ); (T, Z, H)thẳng hàng. Khi đó trung điểm các đoạn XZ, Y T, HK cùng nằm trên đườngthẳng Gauss của tứ giác toàn phần XKY ZHT nên chúng thẳng hàng.Trường hợp 2: P không nằm trên (O).BAXYHTKPDZCTa có T XK = AXK − AXT = KP B − AP T = widehatAP B − T P K =AP B − ADB6Tương tự Y XH = AP B − ACBDo đó T XK = Y XH. Tương tự ta thu được K và H là hai điểm liên hợpđẳng giác trong tứ giác XY ZT . Theo nhận xét 2 thì tập hợp các hình chiếucủa K, H trên 4 cạnh tứ giác XY ZT cùng thuộc một đường tròn tâm là trungđiểm KH. Áp dụng đường thẳng Newton mở rộng ta được trung điểm các đoạnXZ, Y T, KH thẳng hàng.Để kết thúc bài viết, mời các bạn suy nghĩ về một bài toán nổi tiếng có liênquan đến đường tròn hình chiếu sau, còn được gọi là bài toán "đường tròn 8điểm" :Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) có AC ⊥ BD. Gọi X1 , Y1 , Z1 , T1 lầnlượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA; X2 , Y2 , Z2 , T2 lần lượt là hìnhchiếu của X1 , Y1 , Z1 , T1 lên cạnh CD, DA, AB, BC. Chứng minh rằng 8 điểmX1 , Y1 , Z1 , T1 , X2 , Y2 , Z2 , T2 cùng thuộc một đường tròn.Tài liệu[1] Nguyễn Minh Hà, Hình học phẳng định hướng, 2008[2] A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, Geometry of Conics, Mathematical world,Vol.26Email: 7