Hai Tam Giác đồng Dạng Là Gì? Chứng Minh Hai Tam Giác đồng Dạng

Hai tam giác đồng dạng là một trong những kiến thức quan trọng có trong chương trình Toán học THCS . Nếu như bạn chưa nắm chắc khái niệm hai tam giác đồng dạng là gì, tính chất, định lý,….thì đừng bỏ qua những thông tin chi tiết có trong bài viết dưới đây của ruaxetudong.org

Nội dung bài viết

• 1 Khái niệm hai tam giác đồng dạng
  • 1.1 Hai tam giác đồng dạng là gì? 2 tam giác đồng dạng khi nào?
  • 1.2 Tính chất của hai tam giác đồng dạng
  • 1.3 Định lý về hai tam giác đồng dạng
• 2 Các trường hợp của tam giác đồng dạng
  • 2.1 Trường hợp 1: Cạnh – cạnh – cạnh
  • 2.2 Trường hợp 2: Góc – góc
  • 2.3 Trường hợp 3: Góc – cạnh – góc
  • 2.4 Trường hợp đồng dạng của 2 tam giác vuông
• 3 Các dạng chứng minh hai tam giác đồng dạng – Bài tập ứng dụng
  • 3.1 Dạng 1: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức
  • 3.2 Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lý Talet + hai đường thẳng song song
  • 3.3 Dạng 3: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Khái niệm hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác đồng dạng là gì? 2 tam giác đồng dạng khi nào?

Hai tam giác được coi là đồng dạng khi các góc của hai tam giác tương ứng với nhau, có các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau.

Tam giác A’B’C được coi là tam giác đồng dạng  với tam giác ABC nếu:

• Về góc: A = A’; B = B’; C = C’
• Về cạnh: ABA’B’ = BCB’C’ = CAC’A’

=> Khi đó hai tam giác được kí hiệu đồng dạng với nhau: ABC ~ A’B’C’

Tính chất của hai tam giác đồng dạng

• Mỗi tam giác sẽ đồng dạng với chính nó ABC ~ ABC
• Tính chất giao hoán: Nếu tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC thì tam giác ABC sẽ đồng dạng với tam giác A’B’C’
• Tính chất bắc cầu: Nếu tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác A’’B’’C’’, tam giác A’’B’’C’’ đồng dạng với tam giác ABC thì sẽ có cặp tam giác đồng dạng A’B’C’ và ABC.

Trực tâm là gì? Tính chất, cách xác định trực tâm trong tam giác

Định lý về hai tam giác đồng dạng

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Định lý cũng đúng trong trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại.

Diện tích hình thoi là gì? Công thức tính chu vi, diện tích hình thoi

Các trường hợp của tam giác đồng dạng

Trong chương trình học THCS, các trường hợp của tam giác đồng dạng đã được nhắc tới trong Toán học 7, 8 và tìm hiểu sâu hơn ở chương trình lớp 9. Dưới đây là 3 trường hợp của hai tam giác đồng dạng mà bất kỳ ai cũng đã được học, cụ thể:

Trường hợp 1: Cạnh – cạnh – cạnh

Hai tam giác đồng dạng với nhau với nhau khi ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ không cần phải so sánh giá trị góc của hai tam giác với nhau.

Ví dụ: Cho 2 tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau => AB =A’B’; BC =B’C’; AC = A’C’.

Trường hợp 2: Góc – góc

Hai tam giác đồng dạng góc góc với nhau nếu một trong hai cặp góc hay cặp cạnh của chúng tương ứng với nhau.

Hình lập phương là gì? Công thức thể tích, diện tích chuẩn 100%

Trường hợp 3: Góc – cạnh – góc

Trong trường hợp góc – cạnh – góc, nếu 2 tam giác đồng dạng với nhau khi hai góc và cạnh bên của hai tam giác đó bằng nhau. Hiểu cách khác, hai tam giác đồng dạng khi hai cạnh có tỉ lệ bằng nhau, góc xen giữa hai cạnh của hai cạnh bằng nhau.

Ví dụ: Xét 2 tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau khí:

ABA’B’ = ACA’C’  và A = A’ => Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC.

Trường hợp đồng dạng của 2 tam giác vuông

• Trong 2 tam giác vuông, nếu có một cặp góc nhọn bằng nhau thì 2 tam giác đó đồng dạng với nhau.
• Trong hai tam giác vuông, nếu tồn tại 2 cặp cạnh tỉ lệ tương ứng với nhau thì 2 tam giác đó đồng dạng với nhau.

Các dạng chứng minh hai tam giác đồng dạng – Bài tập ứng dụng

Dạng 1: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức

Bài toán 1: Cho ∆ABC (AB < AC), có AD là đường phân giác trong. Ở miền ngoài ∆ABC vẽ tia Cx sao cho . Gọi I là giao điểm của Cx và AD. Chứng minh:

1. a) ∆ADB đồng dạng ∆CDI. 
2. b) ADAC = ABAI
3. c) AD2 = AB.AC – BD.DC

Dạng 2: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lý Talet + hai đường thẳng song song

Bài tập 2: Cho ∆ABC nhọn. kẻ đường cao BD và CE. vẽ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Chứng minh

1. a) ∆ABD đồng dạng ∆AEG.
2. b) AD.AE = AB.AG = AC.AF
3. c) FG // BC

Dạng 3: Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau

Bài tập 3: Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:

1. a) ∆HBE đồng dạng ∆HCE.
2. b) ∆HED đồng dạng ∆HBC và HDE = HAE
3. c) cho biết BD = CD. Gọi M là giao điểm của AH và BC. chứng minh : DE vuông góc EM.

Gợi ý đáp án:

1. a) Xét ∆HBE và ∆HCD, ta có:

∠BEH = ∠CDH = 90° (gt)

∠H1 = ∠H1 (đối đỉnh)

=> ∆ HBE ~∆ HCD (g-g)

1. b) ∆HED và ∆HBC, ta có

HE ⁄ HD = HB ⁄ HC (∆HBE ~ ∆HCD)

=> HE ⁄ HB = HD ⁄ HC

∠EHD = ∠CHB ( đối đỉnh)

=> ∆HAD ~ ∆HBC (c-g-c)

=> ∠D1 = ∠C1  (1)

Mà đường cao BD và CE cắt nhau tại H 

=> H là trực tâm

=> AH ⊥ BC tại M

=> ∠A1+ ∠ABC = 90°

Mặt khác ∠C1 + ∠ABC = 90°

=> ∠ A1 = ∠ C1 (2)

=> Từ  (1) và (2): ∠A1 = ∠D1 hay ∠HDE = ∠HAE

1. c) Từ cm câu b, ta được ∠A1 = ∠E2 (3)

Xét tam giác ∆BCD ta có:

DB=DC (gt)

=> ∆BCD cân tại D

=> ∠B1= ∠ACB

mà ∠B1 = ∠E1 (∆HED ~∆HBC)

=> ∠E1  = ∠ACB

mà: ∠A2 + ∠ACB = 90°

∠A2= ∠E2 (cmt)

=> ∠E1 + ∠E2 = 90° hay ∠DEM = 90°

=> ED ⊥ EM

Mong rằng các thông tin có trong bài viết trên đây sẽ giúp bạn hiểu thêm về hai tam giác đồng dạng. Hãy truy cập website ruaxetudong.org để tìm hiểu nhiều thông tin hữu ích khác.

Gửi đánh giá