Lý Thuyết Khái Niệm Về Mặt Tròn Xoay | SGK Toán Lớp 12

I. Sự tạo thành mặt tròn xoay

Trong không gian cho mặt phẳng \((P)\)  chứa đường thẳng \(\Delta \) và một đường C . Khi quay mặt phẳng \((P)\) quanh \(\Delta \) một góc \({360^o}\) thì mỗi điểm \(M\) trên đường C  vạch ra một đường tròn có tâm \(O\) thuộc \(\Delta \) và nằm trên mặt phẳng vuông góc với \(\Delta \). Như vậy khi quay mặt phẳng \((P)\) quanh đường thẳng \(\Delta \) thì đường C   sẽ tao nên một hình được goi là mặt tròn xoay.

Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng \(\Delta \) được gọi là trục của mặt tròn xoay.

II. Mặt nón tròn xoay

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng \((P)\) cho hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) cắt nhau tại điểm \(O\) và tạo thành góc \(\beta \) với \({0^o} < \beta  < {90^o}\).

Khi quay mặt phẳng \((P)\) xung quanh \(\Delta \) thì đường thẳng \(d\)  sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh \(O\)  (gọi tắt là mặt nón)

Đường thẳng \(\Delta \) là trục, đường thẳng \(d\) goi là đường sinh và góc \(2\beta \) goi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.

2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay

a) Cho tam giác OIM vuông tại I, quay xung quanh cạnh OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (hay hình nón)

Đỉnh: Điểm O

Mặt đáy: Hình tròn tâm I, bán kính IM

Chiều cao của nón: Độ dài đoạn OI

Đường sinh: Đoạn OM

Mặt xung quanh của hình nón: Phần mặt tròn xoay sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI.

b) Khối nón (tròn xoay): là phần không gian giới hạn bởi môt hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.

3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay

\({S_{xq}} = \pi rl \)

Trong đó: r: bán kính đáy của hình nón, l: đường sinh của hình nón

4. Thể tích khối nón tròn xoay

\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\)

Trong đó r là bán kính đáy, h là chiều cao.

III. Mặt trụ tròn xoay

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng \((P)\) cho hai đường thẳng \(\Delta \) và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng \((P)\) xung quanh \(\Delta \) thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt tru tròn xoay (mặt trụ). Đường thẳng \(\Delta \) gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.

2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay

a) Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng chứa môt cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình, goi là hình trụ tròn xoay (hình trụ)

Hai đáy: hai hình tròn vạch ra bởi AD và BC.

Bán kính của trụ: AD và BC

Đường sinh: CD

Mặt xung quanh: Phần mặt tròn xoay sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay

Chiều cao của trụ: độ dài đoạn thẳng AB

b) Khối trụ tròn xoay: phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó.

3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay

\({S_{xq}} = 2\pi rl\)

4. Thể tích khối trụ tròn xoay

\(V = Bh\)

Trong đó: V: thể tích khối trụ, B: diện tích đáy, H: chiều cao. 

Xem thêm: Mối liên hệ giữa thể tích khối nón và khối trụ cùng chiều cao