MA TRẬN LUỸ LINH.pdf (ma Trận Lũy Linh) | Tải Miễn Phí

Trang chủ Tìm kiếm Trang chủ Tìm kiếm MA TRẬN LUỸ LINH pdf 35 817 KB 8 492 4.4 ( 17 lượt) Xem tài liệu Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu Tải về Đang chuẩn bị: 60 Bắt đầu tải xuống Đang xem trước 10 trên tổng 35 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên Chủ đề liên quan ma trận lũy linh Đại số đại cương Olympic toán Không gian vector toán cao cấp đại số tuyến tính

Nội dung

MA TRẬN LUỸ LINH Khái niệm ma trận trong Đại số tuyến tính được giảng dạy trong chương trình Toán đại cương của hầu hết các trường Đại học. Đây cũng là nội dung quy định của Hội Toán học Việt nam trong các kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc. Nhằm giúp Sinh viên chuẩn bị tham gia vào các kỳ thi Olympic Toán học sinh viên vòng trường và vòng quốc gia, chúng tôi giới thiệu một dạng ma trận và những tính chất của nó để các bạn sinh viên có thêm một tài liệu ôn tập. I.Định nghĩa và tính chất 1.Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n, A được gọi là ma trận luỹ linh nếu tồn tại số nguyên dương q sao cho Aq = 0. Nhận xét: Nếu Aq = 0 thì ta cũng có Am = 0 với mọi số tự nhiên m thoả m  q. Số nguyên dương k được gọi là cấp luỹ linh của ma trận A nếu Ak = 0, và Ak-1  0. Ma trận A được gọi là ma trận luỹ linh đơn nếu A – E là ma trận luỹ linh ( E là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A ). 2. Một số tính chất 1. Nếu A là ma trận luỹ linh thì A là ma trận suy biến. Chứng minh: Thật vậy A là ma trận luỹ linh, nên tồn tại số nguyên dương q sao cho Aq = 0. Ta có: q DetAq = det0 = 0 suy ra det 1 4A4.det 4 2 A4...det 4 43A = 0  (detA) = 0 q  detA = 0 (đpcm). 2. Nếu A là ma trận luỹ linh thì các ma trận E – A và E + A khả nghịch. Chứng minh: Giả sử Ak = 0 ( k  1) ta có E = E – Ak = (E – A)(E + A + A2 +…+Ak-1). Như vậy E – A khả nghịch và (E – A)-1 = (E + A + A2 +…+Ak-1). Tương tự ta cũng có E + A khả nghịch vì: E = E + A 2k+1= (E + A)(E – A + A2 – …+A2k). Khi đó (E + A)-1 = (E – A + A2 – … + A2k). 3. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB = BA. Khi đó nếu A và B là các ma trận luỹ linh thì A + B cũng là ma trận luỹ linh. Chứng minh: Do A và B là các ma trận luỹ linh nên tồn tại các số nguyên dương p,q sao cho Ap = 0, Bq = 0, giả sử p  q, đặt m = 2p. Theo giả thiết AB = BA nên ta có khai triển nhị thức Newton: (A + B)2m = m C i 0 i A B m-i i m Ai B mi , trong 2 số i và m-i có ít nhất 1 số không nhỏ hơn p nên = 0. Vậy ( A + B)2m = 0. (đpcm). 1 4. Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB = BA. Khi đó nếu A và B là các ma trận luỹ linh đơn thì ma trận tích AB cũng là ma trận luỹ linh đơn. Chứng minh: Vì (A – E), (B – E) là các ma trận luỹ linh, nên tồn tại các số nguyên dương p và q sao cho (A – E)p = 0, (B – E)q = 0. Ta có (AB – E) = (A – E)B + (B – E), giả sử p  q khi đó do AB = BA nên ta cũng có tính chất giao hoán (A – E)B(B – E) = (B – E)(A – E)B. Sử dụng khai triển nhị thức Newton, ta thu được: 2p 2p 2p (AB – E) = [(A – E)B + (B – E)] = C i 0 i 2P (A – E)iBi(B – E)2p-i . Trong 2 số i và 2p-i i phải có một số không nhỏ hơn p nên (A – E) Bi(B – E)2p-i = 0. Vậy tồn tại số nguyên dương 2p sao cho (AB – E)2p = 0, tức (AB – E) là ma trận luỹ linh. Vậy ta có đpcm. Chú ý: Tương tự như khái niệm ma trận luỹ linh người ta cũng xét khái niệm tự đồng cấu luỹ linh như sau. Tự đồng cấu f của K – không gian véc tơ V trên trường K gọi luỹ linh nếu có số nguyên q q dương q để f = 0, ( f  f . f ... f ). 14 2 43 q q 1 Thêm vào đó nếu f  0 thì q gọi là bậc luỹ linh của f. Tự đồng cấu f của K – không gian véc tơ V trên trường K gọi luỹ linh đơn nếu f – IdV là luỹ linh ( IdV là tự đẳng cấu đồng nhất trên V). Chứng minh tương tự như ma trận luỹ linh, ta cũng có một số tính chất của đồng cấu luỹ linh như sau. 1. Nếu f và g là hai tự đồng cấu luỹ linh giao hoán được của K – không gian véc tơ V trên trường K thì f + g cũng luỹ linh. 2. Nếu f và g là hai tự đồng cấu luỹ linh đơn giao hoán được của K – không gian véc tơ V trên trường K thì f . g cũng luỹ linh đơn. 3. Nếu f là tự đồng cấu luỹ linh của R – không gian véc tơ V – n chiều trên trường R các số thực thì mọi giá trị riêng của f đều bằng 0. 4. Nếu f là tự đồng cấu luỹ linh đơn của R – không gian véc tơ V – n chiều trên trường R các số thực thì mọi giá trị riêng của f đều bằng 1. II. Một số bài tập đề nghị: Bài 1: Chứng minh rằng nếu A là ma trận luỹ linh thì mọi giá trị riêng của A đều bằng 0. Bài 2: Chứng minh rằng nếu A là ma trận luỹ linh đơn thì mọi giá trị riêng của A đều bằng 1. Bài 3: Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp và AB = BA. Khi đó nếu A và B là các ma trận luỹ linh thì các ma trận E + (A + B), E – (A + B ) là các ma trận khả nghịch. (Đề thi Olympic Toán Sinh viên toàn Quốc lần thứ XI). Bài 4: Cho A là ma trận vuông thoả A2003 = 0. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có: 2 Rank(A) = Rank(A + A2 + A3 + … +An). ( Đề thi Olympic Toán Sinh viên toàn Quốc lần thứ XI). Bài 5: Cho A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn các điều kiện: i. AB = BA ii. Tồn tại các số nguyên dương p, q sao cho (A – E)p = (B – E)q = 0. Chứng minh rằng ma trận tích AB có các giá trị riêng đều bằng 1. Bài 6: Cho A là ma trận vuông cấp n và Ak = 0 với k nguyên dương cho trước.  x1  x  Kí hiệu: X   2  . Chứng minh hai phương trình  M    xn  AX = 0 và (A + A2 + ... + An)X = 0 tương đương. ( Đề thi Olympic Toán Sinh viên vòng trường năm 2003. ĐH An Giang). Bài 7: Cho A là ma trận vuông. Chứng minh rằng nếu  là véc tơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng k thì  cũng là véc tơ riêng của An ứng với giá trị riêng kn, (n N). (Đề thi chọn đội tuyển Olympic Toán Sinh viên 2004 trường ĐH An Giang). Bài 8:  1 0 1  1.Chứng minh ma trận  1 1 3 là ma trận luỹ linh.    0 1 2  2. Cho ma trận:  1 0 1 1 0 0   1 1 3 0 1 0    0 1 2 0 0 1 100 A=   . Tính A  0 0 0 1 0 1   0 0 0 1 1 3   0 0 0 0 1 2   GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG Giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận là nội dung được quy định trong kỳ thi Olympic Toán học Sinh viên giữa các trường Đại học và Cao đẳng. Bài viết này nhằm giúp Sinh viên có thêm một tài liệu ôn tập, giải quyết được một số dạng bài tập về giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận thường gặp trong các kỳ thi Olympic Toán những năm gần đây. Cho f là phép biến đổi tuyến tính của không gian véc tơ n chiều V trên trường K (trong phần này chúng ta xét trường K là trường R hoặc C). Số k  K được gọi là giá trị riêng của f 3 nếu tồn tại một véc tơ   0 sao cho f ( )  k . Khi đó véc tơ  gọi là véc tơ riêng của f ứng với giá trị riêng k. Giả sử A là ma trận của f đối với cơ sở chính tắc đã cho trong V, thì giá trị riêng k của f là nghiệm của phương trình det(A – kE) = 0. Det(A – kE) là một đa thức bậc n đối với biến k và được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Tìm véc tơ riêng của f ứng với giá trị riêng k tức là tìm nghiệm   ( x1, x2 ,..., xn )  (0,0,...,0) của phương trình A  k . Người ta cũng gọi k và  định nghĩa như trên lần lượt là giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứng của ma trận A. Sau đây chúng ta đưa ra một số tính chất liên quan đến giá trị riêng và véc tơ riêng của một ma trận. Định lí 1: Giá trị riêng của một phép biến đổi tuyến tính của không gian véc tơ n chiều V trên trường K không phụ thuộc vào cơ sở. Chứng minh: Giả sử A là ma trận của phép biến đổi tuyến tính f đối với cơ sở 1, 2 ,..., n (1) và với cơ sở mới 1, 2 ,..., n (2), f có ma trận là B. Khi đó B  S 1 AS trong đó S là ma trận chuyển từ cơ sở (1) sang cơ sở (2). Ta có B  kE  S 1 AS  kS 1ES  S 1 ( A  kE )S  S 1 . A  kE . S  A  kE (đpcm). Từ định lí 1 ta có hệ quả sau: Hệ quả : Nếu hai ma trận A và B đồng dạng thì A và B có cùng đa thức đặc trưng. Nhận xét: Mệnh đề đảo của hệ quả là sai (nếu n  2). Ví dụ: Xét hai ma trận 0 0  0 1  A , B   0 0 , hai ma trận A và B không đồng dạng nhưng đa thức đặc trưng của 0 0    chúng trùng nhau: A  kE  B  kE  k 2 . Định lí 2: Cho A là ma trận vuông cấp n,  A (k )  an k n  an1k n1  ...  a1k  a0 là đa thức đặc trưng của ma trận A. Khi đó: i. an  (1)n ii. (1)n1 an1  Tr ( A) (tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A, và được gọi là vết của ma trận A) iii. a0  det A .  aij  k , i  j Chứng minh: Kí hiệu: A  (aij ) ,  ij   , (1  i, j  n) a , i  j  ij  Theo định nghĩa định thức của một ma trận ta có: Det(A – kE) =  s( f )1 f (1) ... nf ( n ) (1). Các hạng tử của (1) ứng với phép thế f sn f  Id1,2,...,n là một đa thức ẩn k với bậc  n  2 . Xét hạng tử của (1) ứng với phép thế đồng nhất: 11 22 ... nn  (a11  k )(a22  k )...(ann  k ) =  (1)n .k n  (a11  a22  ...  ann )(1)n1.k n1  ... Từ đây ta có i) và ii). Cuối cùng trong đa thức đặc trưng của A cho k = 0 ta được detA = a 0 . Từ định lí 2 khi cho A là ma trận vuông cấp n thì 4 đa thức đặc trưng của A được viết dưới dạng:  A (k )  (1)n k n  an1k n1  ...  a1k  a0 . Định lí 3: (Định lí Cayley – Hamilton) Cho A là ma trận vuông cấp n,  A (k )  (1)n k n  an1k n1  ...  a1k  a0 là đa thức đặc trưng của A. Khi đó  A ( A)  0 .( Phần chứng minh định lí Cayley – Hamilton bạn đọc có thể xem trong Giáo trình Toán tập 6. Đại số 2, của tác giả Jean – Maric Monier). Định lí 4: Giả sử A là ma trận vuông với phần tử là số thực và là ma trận đối xứng. Khi đó mọi giá trị riêng của A đều là số thực. (Bạn đọc có thể xem phần chứng minh trong Giáo trình Toán Cao cấp của tác giả Nguyễn Đình Trí). Sau đây chúng ta giải một số bài tập liên quan đến giá trị riêng và véc tơ riêng.  2 1 1 Bài 1: Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận A =  1 2 1 .    1 1 2  Giải:  A (k )  det( A  kE )  k (k  3)2 , do đó ma trận A có hai giá trị riêng là 2 x1  x2  x3  0  k = 0, k = 3. Ứng với giá trị riêng k = 0, giải hệ phương trình:  x1  2 x2  x3  0 ta được  x  x  2 x  0 3  1 2 nghiệm tổng quát là  x3 , x3 , x3  , x3  R. Như vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng k = 0 là   (a, a, a), a  0 . Tương tự đối với giá trị riêng k = 3 ta được các véc tơ riêng là   (a  b, a, b), a 2  b2  0 .  0 1 0 Bài 2: Cho ma trận: A   4 4 0  . Tính f(A), biết rằng:    2 1 2  f(x) =  x8  6 x7  12 x6  8x5  x 4  6 x3  12 x 2  10 x  1 Giải: Đa thức đặc trưng của ma trận A là:  A (k )  k 3  6k 2  12k  8 . Chia đa thức f(x) cho đa thức  x3  6 x2  12 x  8 được thương là x5  x và dư là r ( x)  2 x  1 . Do đó:  0 1 0  1 0 0   1 2 0  f(A) = r(A) = 2A + E = 2  4 4 0   0 1 0    8 9 0  .        2 1 2 0 0 1   4 2 5  5 a b Bài 3: Cho ma trận A =  c  d b c a d d c a b d  c   , a, b, c, d  R. Chứng minh: b   a a. A. At  (a 2  b2  c 2  d 2 ).E b.  A (k )   (a  k )2  b2  c 2  d 2  , với mọi k  R. 2 Giải: a. Kiểm tra trực tiếp. b. Áp dụng kết quả câu a) đối với các ma trận (A – kE), (A – kE)t ta được: (A – kE).(A – kE)t =  (a  k )2  b2  c 2  d 2  E , suy ra det  ( A  kE ).( A  kE )t   det(((a  k )2  b2  c 2  d 2 ) E ) . Ta đã biết định thức của một ma trận không thay đổi qua một phép chuyển vị, do đó: (det( A  kE ))2  ((a  k )2  b2  c2  d 2 )4 , từ đó suy ra  A2  ((a  k )2  b2  c 2  d 2 )4 , hay   A  ((a  k )2  b2  c2  d 2 )2    A  ((a  k )2  b2  c 2  d 2 )2   0 . Vì A là ma trận cấp 4 nên theo định lí 2, hệ số cao nhất của đa thức đặc trưng của A bằng 1, do đó ta được 2  A  (a  k )2  b2  c 2  d 2  (đpcm). Bài 4: Giả sử a là số thực khác 0. Chứng minh rằng hệ phương trình sau luôn có nghiệm với mọi b, c, d  R ax  (1  b) y  cz  (1  d )t  a (b  1) x  ay  (d  1) z  ct  b   cx  (1  d ) y  az  (b  1)t  c (d  1) x  cy  (1  b) z  at  d Giải: Gọi A là ma trận các hệ số của hệ phương trình, At là ma trận chuyển vị của ma trận A, theo kết quả bài tập 3 ta cũng có A. At  (a 2  (1  b)2  c 2  (1  d )2 ).E , do đó: 2 detA =  a 2  (1  b)2  c 2  (1  d )2   0, với mọi a, b, c, d, (a  0 ). Vậy hệ luôn có nghiệm với mọi b, c, d  R. Bài 5: Chứng minh rằng nếu k là giá trị riêng của ma trận A, thì k n là giá trị riêng của An, n là số nguyên dương. Giải: Gọi  là véc tơ riêng của A ứng với giá trị riêng k, khi đó ta có: An  An1 ( A )  An1 (k )  An2[ A(k )]  An2 (k 2 )  ...  A(k n1 )  k n (đpcm). MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Cho hai ma trận: 6  1 3 0   1 3 3 A   3 2 1  ; T   0 2 5       0 1 1  3 1 1  a. Tính B  T 1 AT . b. Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận A. Bài 2: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử A có n giá trị riêng là k1, k2 ,..., kn . Chứng minh detA = k1.k2 ...kn . Bài 3: Giả sử  là một véc tơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng k, chứng minh rằng  cũng là véc tơ riêng của ma trận A2  3 A  5E . Giá trị riêng tương ứng là bao nhiêu?  0 8 6  Bài 4: Cho A =  1 8 7  . Tính An, với n là số tự nhiên.    1 14 11 4 3 0 0 2 3 0 0 1999 2  . Tính detf(C). Bài 5: Cho f ( x)  x  x  1 , và ma trận C =   4 9 1 0    1 2 5 2  BÀI TẬP VỀ MA TRẬN I. Một số kết quả 1) Tính chất của phép toán trên các ma trận i) A  B  B  A ii )( A  B )  C  A  ( B  C ) iii )O  A  A  O  A iv) A  ( A)  ( A)  A  O v)( A  B )t  At  B t vi ) ( A  B )   A   B vii )(   ) A   A   A viii)( AB)t  Bt At ix)( A)t   At x) Nếu A là ma trận đối xứng (phản đối xứng) thì At  A( At   A) * Nếu AB = BA thì có thể khai triển Newton (A + B)n. 2) Ma trận khả nghịch 7 i )( A1 ) 1  A ii )( At ) 1  ( A1 )t iii )( A) 1  1  A1 ,  0 iv)( AB) 1  B 1 A1 3) Định thức của ma trận i) det(AB) = detAdetB. ii) det(A –1) = (detA) –1. iii) det(  A) =  n det A iv) det A = det At 4) Ma trận lũy linh Cho A là ma trận vuông cấp n. A gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho n A = 0 (ma trận không). Khi đó Am = 0 với mọi m  n (nếu An –1  0 thì n gọi là bậc lũy linh của A). k Nếu A lũy linh thì detA = 0. Vì Ak = 0 ( 1A4. A 2.... 43A  0 ) nên detA = 0, suy ra k detAdetA.....detA = 0  detA = 0. Nếu A lũy linh thì E – A và E + A khả nghịch vì E = E – Ak = (E – A)(E + A +.....+ Ak – 1 )  det( E  A)  0 . * Nếu A lũy linh, B lũy linh và AB = BA thì A + B lũy linh. Nếu A – E, B – E lũy linh thì AB – E lũy linh. 5) Vết của ma trận  a11 K a1n  M  M n (¡ ) ta gọi của ma trận A ký hiệu Tr(A) là một số được xác định Cho A   M O a L a  nn   n1 bởi n Tr ( A)   aii i 1 II. Bài tập 1. Chứng minh rằng: nếu A lũy linh, B lũy linh và AB = BA thì A + B lũy linh. 2. Cho AB =BA, và A – E, B – E lũy linh. Chứng minh AB – E lũy linh. 3. Chứng minh rằng: nếu A lũy linh thì mọi giá trị riêng của A đều bằng 0. 4. Chứng minh rằng: nếu A – E lũy linh thì mọi giá trị riêng của A đều bằng 1. 8 5. A và B gọi là đồng dạng nếu A = T –1BT. Chứng minh rằng: Hai ma trận đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng. 6. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp và A khả nghịch. Chứng minh AB và BA có cùng giá trị riêng. 7. Chứng minh hai ma trận đồng dạng có cùng hạng. 8. Từ kết quả bài 7, hãy chứng minh mệnh đề sau: nếu A là một ma trận khả nghịch thì hạng của ma trận B bằng hạng của ma trận AB (A, B là hai ma trận vuông cùng cấp). 9. Cho A, B vuông cấp n, AB = BA và Ap = Bq = E với p, q nguyên dương nào đó. Hãy chứng minh A + B + E khả nghịch. 10. Cho A, B vuông, E – AB khả nghịch. Chứng minh E – BA khả nghịch. 11. Cho A là ma trận vuông, k là giá trị riêng của A. Chứng minh kn là giá trị riêng của An. 12. Ma trận A có k1, k2,...., kn là các giá trị riêng. Chứng minh detA = k1k2...kn. 13. Chứng minh rằng AB và BA có cùng giá trị riêng. 14. Cho A có k1, k2,...., kn là các giá trị riêng. Chứng minh A chéo hóa được, nghĩa là tồn tại  k1 ... 0  ma trận C khả nghịch sao cho A = C –1BC, trong đó B   ... ... ...  .  0 ... k  n  15. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn các điều kiện sau: a) AB = BA. b) Tồn tại các số nguyên dương p, q sao cho (A – E)p = (B – E)q = 0. (ma trận không) Chứng minh rằng ma trận tích AB có các giá trị riêng đều bằng 1. 16. Cho A vuông cấp n thỏa mãn A2 – 2A + E = 0. Chứng minh: A3 = 3A – 2E, A4 = 4A – 3E. 17. Cho X là một vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng k. Chứng minh X cũng là giá trị riêng của 5E – 3A + A2, tìm giá trị riêng. 18. Cho A là ma trận vuông cấp n có tất cả các giá trị riêng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1. Chứng minh E – A khả nghịch. 19. Ma trận A được gọi là đồng dạng với ma trận B nếu tồn tại một ma trận không suy biến P sao cho B = P–1AP. Chứng minh rằng: nếu A là ma trận khả nghịch và đồng dạng với ma trận B thì B cũng khả nghịch và (A–1) n đồng dạng (B–1) n, với n là một số nguyên dương cho trước.  acos 2t  b sin 2 t (b  a)costsint  20. Cho A   . Tình A2004. 2 2   (b  a)costsint asin t + bcos t  9 1 1 1 1  1 1 1 1  . Tính A100. 21. Cho A   1 1 1 1   1 1 1 1  22. Cho A là ma trận vuông cấp n sao cho A–1 = 2A. Tính det(A2004 – A). x  1  1   n 23. Tìm lim  lim ( An  E )  , với A    n¥ * . x0 n x x    1    n  a b 1 0 n 24. Cho A   . Tìm a, b, c để , a , b , c  ¡ A    0 1  , (n là một số tự nhiên nào đó). 0 c   25. Giả sử a, b, c là nghiệm phương trình: x3 + px + q = 0. Tính detA, với a b c A   c a b  . b c a   26. Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Chứng minh rằng: nếu A2 = E thì rank(A+E) + rank(A – E) = n. BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Biết rằng ma trận vuông A cấp n có n trị riêng là 1, 2 ,...., n . Tìm các giá trị riêng của ma trận A3. Bài 2. Hỏi có tồn tại hai ma trận A và B sao cho AB – BA = E (E là ma trận đơn vị)? Bài 3. Xác định a để ma trận sau có hạng bé nhất  2 2 1 4 3   1 1 a 3 2     3 a 0 1 1     6 1 4 4 5  Bài 4. Cho A là ma trận vuông cấp n, E là ma trận đơn vị cùng cấp và Ak = 0 (ma trận không), k  ¥ , k  1 . Chứng minh rằng (E – A) –1 = E + A + A2 +....+ Ak –1. Bài 5. Cho phương trình ma trận 10 This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Tìm kiếm

Chủ đề

Mẫu sơ yếu lý lịch Tài chính hành vi Đơn xin việc Đề thi mẫu TOEIC Hóa học 11 Trắc nghiệm Sinh 12 Bài tiểu luận mẫu Atlat Địa lí Việt Nam Thực hành Excel Đồ án tốt nghiệp Lý thuyết Dow Giải phẫu sinh lý adblock ​ Bạn đang sử dụng trình chặn quảng cáo?

Nếu không có thu nhập từ quảng cáo, chúng tôi không thể tiếp tục tài trợ cho việc tạo nội dung cho bạn.

Tôi hiểu và đã tắt chặn quảng cáo cho trang web này