Ma Trận Lũy Linh – Wikipedia Tiếng Việt

Bài viết này là một bài mồ côi vì không có bài viết khác liên kết đến nó. Vui lòng tạo liên kết đến bài này từ các bài viết liên quan; có thể thử dùng công cụ tìm liên kết. (tháng 7 2018)

Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ. (Tìm hiểu cách thức và thời điểm xóa thông báo này)

Trong đại số tuyến tính, một ma trận lũy linh là một ma trận vuông N sao cho

N k = 0 {\displaystyle N^{k}=0\,}

với k là số nguyên dương. Số k nhỏ nhất thỏa mãn biểu thức trên được gọi là bậc của ma trận lũy linh N.

Ví dụ

Ma trận

M = [ 0 1 0 0 ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}

là ma trận lũy linh với bậc là 2 (vì M 2 = 0 {\displaystyle M^{2}=0} và M ≠ 0 {\displaystyle M\neq 0} ).

Ma trận

N = [ 0 2 1 6 0 0 1 2 0 0 0 3 0 0 0 0 ] {\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}

là ma trận lũy linh với bậc là 4 (vì N 4 = 0 {\displaystyle N^{4}=0} và N 3 ≠ 0 {\displaystyle N^{3}\neq 0} ).

Các tính chất đặc trưng

Cho N là một ma trận vuông cấp n với các phần tử thực (hoặc phức), các mệnh đề sau là tương đương:

1. N lũy linh.
2. Đa thức cực tiểu của N là λk với số nguyên dương k ≤ n.
3. Đa thức đặc trưng của N là λn.
4. N có trị riêng duy nhất là 0.
5. tr(Nk) = 0 với mọi k ≥ 0.

Định lý cũng đúng cho các ma trận trên mọi trường.

Hệ quả

• Bậc của một ma trận lũy linh luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng cấp của nó. Ví dụ mọi ma trận lũy linh cấp 2 × 2 đều có bình phương bằng 0.
• Định thức và vết của một ma trận lũy linh luôn bằng 0.
• Một ma trận 2 × 2 là lũy linh khi và chỉ khi cả định thức và vết của nó bằng 0.
• Ma trận đường chéo lũy linh duy nhất là ma trận không.

Các tính chất khác

• Nếu M và N là 2 ma trận lũy linh và tích của chúng có tính giao hoán thì M+N và MN đều là các ma trận lũy linh,
• Nếu N là ma trận lũy linh thì, thì ma trận I + N khả nghịch (với I là ma trận đơn vị cấp n), đồng thời:: det ( I + N ) = 1 , {\displaystyle \det(I+N)=1,\!\,} :
• Nếu N là một ma trận thỏa mãn:: det ( I + t N ) = 1 {\displaystyle \det(I+tN)=1\!\,} : với mọi t, thì N lũy linh.
• Mọi ma trận suy biến đều có thể viết thành tích của các ma trận lũy linh.

Tham khảo