Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11

1. Trang chủ
2. Lý thuyết toán học
3. Toán 11
4. CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
5. Một số phương trình lượng giác thường gặp

Một số phương trình lượng giác thường gặp Trang trước Mục Lục Trang sau

1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

- Bước 1: Biến đổi các phương trình đã cho về dạng tích \(A.B = 0\) hoặc sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, nhân đôi, nhân ba,…

- Bước 2: Giải các phương trình lượng giác cơ bản, tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện (nếu có).

2. Phương trình bậc hai đối với một số hàm số lượng giác

Phương trình dạng \(a{f^2}\left( x \right) + bf\left( x \right) + c = 0\left( {a,b,c \in R;a \ne 0} \right)\), ở đó \(f\left( x \right) = \sin u\left( x \right)\) (hoặc \(\cos u\left( x \right),\tan u\left( x \right),\cot u\left( x \right)\)).

Phương pháp chung:

- Bước 1: Đặt \(t = f\left( x \right)\) và đặt điều kiện cho \(t\).

- Bước 2: Thay \(t\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \(t\), kết hợp điều kiện tìm \(t\).

- Bước 3: Giải phương trình \(f\left( x \right) = t\) tìm \(x\) và kết luận (chú ý kiểm tra điều kiện nếu có của \(x\)).

3. Phương trình bậc nhất đối với \(\sin x\) và \(\cos x\)

Phương trình dạng: \(a\cos x + b\sin x = c\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).

Phương pháp chung:

Cách 1: (Thường dùng cho giải phương trình)

- Bước 1: Kiểm tra điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\).

- Bước 2: Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) thì phương trình có dạng:

\(\dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x + \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

- Bước 3: Đặt \(\cos \alpha = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},\sin \alpha = \dfrac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) thì phương trình trở thành \(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \dfrac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

- Bước 4: Giải phương trình lượng giác cơ bản trên tìm \(x\).

Cách 2: (Thường dùng để giải và biện luận):

- Bước 1: Xét \(x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) có là nghiệm hay không.

- Bước 2: Xét \(x \ne \pi + k2\pi \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) thì đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}},\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\) ta được phương trình bậc hai theo \(t:\left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0\).

- Bước 3: Giải phương trình trên tìm \(t \Rightarrow x\) và kiểm tra điều kiện, kết luận nghiệm.

4. Phương trình đẳng cấp đối với \(\sin x\) và \(\cos x\)

Phương trình dạng \({a_0}{\sin ^n}x + {a_1}{\sin ^{n - 1}}x\cos x + ... + {a_{n - 1}}\sin x{\cos ^{n - 1}}x + {a_n}{\cos ^n}x = 0\).

Phương pháp chung:

- Bước 1: Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 1\), thay vào phương trình xem có thỏa mãn hay không.

- Bước 2: Xét \(\cos x \ne 0\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^n}x \ne 0\) và đặt \(\tan x = t\).

- Bước 3: Giải phương trình ẩn \(t\) tìm nghiệm \(t\).

- Bước 4: Giải phương trình \(\tan x = t\) tìm nghiệm, kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm.

6. Phương trình đối xứng và dạng đối xứng với \(\sin x\) và \(\cos x\)

Phương trình dạng \(a\left( {\sin x + \cos x} \right) + b\sin x\cos x + c = 0\).

Phương pháp chung:

- Bước 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

- Bước 2: Thay vào phương trình tìm \(t\).

- Bước 3: Giải phương trình \(\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = t\) để tìm \(x\).

Trang trước Mục Lục Trang sau

Có thể bạn quan tâm:

• Cực trị của hàm số
• Các hàm số lượng giác
• Giải bài toán bằng cách lập phương trình
• Hàm số liên tục
• Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tài liệu

Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 493 - tháng 7 2018

Tìm tòi sáng tạo một số cách giải phương trình vô tỷ – Nguyễn Minh Tuấn

Toán 8 : Bài tập nâng cao và một số chuyên đề (Tác giả: Bùi văn Tuyên)

Toán 12: Các dạng toán phương trình đường thẳng và một số bài toán liên quan

Toán 12: Các dạng toán phương trình mặt phẳng và một số bài toán liên quan