Một Số ứng Dụng Của định Lý Lagrange - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (46 trang)

Trang chủ

Thạc sĩ - Cao học

Sư phạm

Một số ứng dụng của định lý lagrange

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (378.6 KB, 46 trang )

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN*************ĐINH THỊ TRANGMỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝLAGRANGEKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCChuyên ngành: Toán giải tíchHÀ NỘI – 2018TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN*************ĐINH THỊ TRANGMỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝLAGRANGEKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCChuyên ngành: Toán giải tíchNgười hướng dẫn khoa họcThS. TRẦN THỊ THUHÀ NỘI – 2018Mục lụcLời cảm ơn1Lời cam đoan2Lời mở đầu31 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ51.1Dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2Hàm số khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE.142.1Ứng dụng của định lý Lagrange trong các bài toán dãy số2.2Ứng dụng của định lý Lagrange trong giải phương trình,hệ phương trình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.31420Ứng dụng của định lý Lagrange trong chứng minh bấtđẳng thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31Kết luận42Tài liệu tham khảo43iKhóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangLỜI CẢM ƠNSau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sựgiúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên. Đến nay,khóa luận của em đã được hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chânthành, sâu sắc tới các thầy cô giáo tổ Giải tích, các thầy cô trong khoaToán đặc biệt là Ths. Trần Thị Thu người đã trực tiếp tạo mọi điềukiện giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt thời gian nghiên cứu,hoàn thành khóa luận này.Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nênkhóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mongnhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên.Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!Hà Nội, tháng 5 năm 2018Sinh viênĐinh Thị Trang1Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangLỜI CAM ĐOANKhóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướngdẫn nhiệt tình của Ths. Trần Thị Thu cùng với sự cố gắng của bảnthân.Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa nhữngthành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu vớisự trân trọng và lòng biết ơn.Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của riêng bản thân,không có sự trùng lặp với kết quả của các tác giả khác.Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.Hà Nội, tháng 5 năm 2018Sinh viênĐinh Thị Trang2Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangLời mở đầu1. Lý do chọn đề tài.Đạo hàm là một trong những nội dung cơ bản của giải tích nói riêngvà của Toán học nói chung. Nó chiếm phần quan trọng trong chươngtrình lớp 12 trung học phổ thông, được áp dụng để giải nhiều các dạngbài tập.Với phép tính đạo hàm thì các định lý giá trị trung bình (như địnhlý Rolle, Lagrange, Cauchy,. . . ) có vai trò quan trọng, nhờ có các địnhlý này mà nhiều các kết quả của toán học được chứng minh.Trong chương trình Toán học trung học phổ thông, định lý Lagrangeđược đưa vào sách giáo khoa với mục đích sử dụng định lý này xét chiềubiến thiên của hàm số. Học sinh chưa biết vận dụng định lý Lagrangevào thực hành giải toán, trong khi đó lại có rất nhiều bài toán nếu sửdụng định lý Lagrange sẽ cho lời giải ngắn gọn, dễ hiểu. Vì vậy, giúp họcsinh vận dụng định lý Lagrange vào giải toán như một phương pháp làyêu cầu cần thiết.Được sự hướng dẫn của Ths. Trần Thị Thu, em chọn đề tài: “Mộtsố ứng dụng của định lý Lagrange” làm khóa luận của mình.2. Mục đích và nghiên cứuĐề tài này nhằm giúp học sinh sử dụng định lý Lagrange như mộtphương pháp đó là các bài toán về dãy số, giải phương trình và hệ phươngtrình, chứng minh bất đẳng thức.3Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị Trang3. Đối tượng nghiên cứuĐối tượng : Học sinh trung học phổ thôngPhạm vi nghiên cứu:- Các kiến thức trong chương trình toán trung học phổ thông.- Các kiến thức mở rộng trong giải tích toán học.4. Phương pháp nghiên cứu- Quan sát kĩ năng giải toán của học sinh.- Tổng kết, rút kinh nghiệm của bản thân về những lợi ích, khó khănkhi giải quyết bài toán.5. Cấu trúc của khóa luậnNgoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung chính củakhóa luận gồm hai chươngChương 1 “Cơ sở lý thuyết”Trong chương này trình bày về những kiến thức liên quan tới dãy số,hàm số khả vi, ánh xạ co, định lý Lagrange và các hệ quả.Chương 2 “ Một số ứng dụng của định lý Lagrange”Trong chương này chia ra các mục sau2.1. Ứng dụng của định lý Lagrange trong các bài toán dãy số.2.2. Ứng dụng của định lý Lagrange trong giải phương trình, hệ phươngtrình.2.3. Ứng dụng của định lý Lagrange trong chứng minh bất đẳng thức.4Chương 1KIẾN THỨC CHUẨN BỊTrong chương này, những kiến thức chuẩn bị được chúng tôi tham khảochính ở các tài liệu [1,3,5].1.1Dãy sốĐịnh nghĩa 1.1. Ánh xạ x : N∗ → Rn → x (n) = xn , được gọi là dãy số.xn - được gọi là số hạng tổng quát của dãy.Dãy số trên được kí hiệu là {xn } hoặc (xn ) với n = 1, 2, . . .Ví dụ 1.1.1. Cho dãy số (xn ) có số hạng tổng quát là11a) xn = với n = 1 thì x1 = 1, n = 2 thì x2 = , . . .n2nb) xn = (−1) với n = 1 thì x1 = −1, n = 2 thì x2 = 1, . . .Định nghĩa 1.2. Số x∗ là giới hạn của dãy {xn } nếu đối với mọi sốdương ε bé tùy ý đều tìm được một số p ∈ N∗ sao cho ∀n > p, n ∈ N∗đều có|xn − x∗ | < ε, tức là x∗ − ε < xn < x∗ + ε.5Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangKhi đó ta nói rằng dãy {xn } hội tụ về x∗ hay tiến đến giới hạn x∗ và taviết lim xn = x∗ hay xn → x∗ khi n → +∞.n→+∞Một dãy không có giới hạn gọi là phân kỳ.1= 0. Thật vậy,n→+∞ nVới ε > 0 cho trước, nhỏ bao nhiêu tùy ý, ta cóVí dụ 1.1.2. lim111−0 0 chotrước tồn tại δ = δ (ε) > 0 sao cho với mọi x ∈ (a, b) : |x − x0 | < δ thì|f (x) − f (x0 )| < ε.∆yf (x0 + ∆x) − f (x0 )=có giới hạn hữu∆x∆xhạn khi ∆x → 0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm f đối∆yvới x tại x0 . Kí hiệu f (x0 ) hay y (x0 ) tức là f (x0 ) = limhay∆x→0 ∆xf (x0 + ∆x) − f (x0 )f (x0 ) = lim.∆x→0∆xKhi đó, ta nói rằng hàm f khả vi tại x0 .Định nghĩa 1.4. Nếu tỷ số6Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangĐịnh nghĩa 1.5.+ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim +∆x→0∆ythì giới hạn đó được gọi là∆xđạo hàm bên phải của f kí hiệu f+ (x0 ).+ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim −∆x→0∆ythì giới hạn đó được gọi là∆xđạo hàm bên trái của f kí hiệu f− (x0 ).+ Hàm số f có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm bên phảivà đạo hàm bên trái tại x0 và hai đạo hàm này bằng nhau.Ví dụ 1.2.1. Cho hàm số f (x) = |x|, tại điểm x0 = 0 ta có∆f∆x= lim += 1 hay f + (0) = 1 và∆x→0 ∆x∆x→0 ∆x∆f∆xlim −= lim − −= −1 hay f − (0) = −1.∆x→0 ∆x∆x→0∆xlim +Như vậy không tồn tại đạo hàm của hàm f tại x0 = 0.Định nghĩa 1.6. Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng(a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên đó.Định nghĩa 1.7. Hàm số y = f (x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn[a, b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên (a, b) và có đạo hàm bên phảitại a, đạo hàm bên trái tại b.Định lý 1.1. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liêntục tại điểm x0 .Nhận xét 1.1. Nếu hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x0 thì chưa kếtluận được có đạo hàm tại điểm x0 .7Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangĐịnh lý 1.2. (Định lý Rolle)Nếu f (x) liên tục trên [a, b], khả vi trong (a, b) và f (a) = f (b) thì tồntại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.yChứng minh.Vì f (x) là hàm liên tục trên đoạn[a, b] nên theo định lý Weierstrassf (x) nhận giá trị nhỏ nhất M vànhỏ nhất m trên [a, b].Oabx+ Khi M = m ta có f (x) là hàm hằng trên [a, b], do đó mọi c ∈ (a, b)luôn có f (c) = 0.+ Khi M = m vì f (a) = f (b) nên tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = Mhoặc f (c) = m theo bổ đề Fermat suy ra f (c) = 0.Định lý 1.3. (Định lý Lagrange)Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a, b] và khả vi trong (a, b) thì tồn tạimột số c ∈ (a, b) sao chof (b) − f (a) = f (c) (b − a)Chứng minh.Xét hàm sốF (x) = f (x) − f (a) −8f (b) − f (a)(x − a)b−a(1.1)Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangVì f (x) liên tục trên [a, b] và khả vi trong (a, b) nên F (x) cũng liên tụctrên [a, b] và khả vi trong (a, b).f (b) − f (a)Ta có F (x) = f (x) −b−aMặt khác F (a) = F (b) = 0 nên theo định lý Rolle, ∃c ∈ (a, b) sao choF (c) = 0 hayf (b) − f (a)=0b−af (b) − f (a)⇔ f (c) =b−a⇔ f (b) − f (a) = f (c) (b − a) .f (c) −Ý nghĩa hình họcyNếu hàm số y = f (x) thỏa mãncác điều kiện của định lý Lagrange,đồ thị (C) có điểm A (a; f (a)) vàB (b; f (b)). Khi đó, trên (C) tồn tạiđiểm C (c; f (c)), mà tiếp tuyến tạiC song song với đường thẳng AB.O acbxNhận xét 1.2.1) Định lý Rolle là một hệ quả của định lý Lagrange (khi f (a) = f (b)).2) Công thức (1.1) được gọi là công thức số gia hữu hạn Lagrange. Côngthức này còn được viết dưới dạng sauf (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (x0 + θ∆x) ∆x với 0 < θ < 1.Hệ quả 1.1. Hàm số F (x) liên tục trên [a, b] và khả vi trong (a, b).Khi đó:9Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị Tranga) Nếu f (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là một hằng số trên [a, b].b) Nếu f (x) > 0 (f (x) < 0) với mọi x ∈ (a, b) thì f tăng (giảm) thựcsự trên [a, b].Chứng minh.a) Ta chứng minh với x0 , y0 ∈ [a, b] mà x0 = y0 thì f (x0 ) = f (y0 )Thật vậy, giả sử x0 < y0 suy ra [x0 , y0 ] ⊂ [a, b]. Ta thấy f (x) thỏa mãncác điều kiện của định lý Lagrange trên [x0 , y0 ] do đó∃c ∈ (x0 , y0 ) để f (y0 ) − f (x0 ) = f (c) (y0 − x0 )⇒ f (c) =f (y0 ) − f (x0 )y 0 − x0(1.2)Do đó theo giả thuyết f (c) = 0, ∀x ∈ (a, b) nên ta cóf (c) = 0, ∀c ∈ (x0 , y0 ) hay f (y0 ) − f (x0 ) = 0Suy ra f (y0 ) = f (x0 ).Vậy hàm số f là một hằng số.b) Nếu f (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì từ (1.2) do f (c) > 0 ta suy raf (y0 ) > f (x0 ) vậy f là hàm tăng.Nếu f (x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì từ (1.2) do f (c) < 0 ta suy raf (y0 ) < f (x0 ) vậy f là hàm giảm.Hệ quả 1.2. Nếu hàm số f (x) xác định liên tục trên [a, b], khả vi trong(a, b). Khi đóa) Nếu phương trình f (x) = 0 có n nghiệm phân biệt trên [a, b], thìphương trình f (x) = 0 có ít nhất n − 1 nghiệm trên [a, b].b) Nếu phương trình f (x) = 0 có tối đa n nghiệm phân biệt trên (a, b),thì phương trình f (x) = 0 có tối đa n + 1 nghiệm phân biệt trên [a, b].10Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangChứng minh.a) Giả sử phương trình f (x) = 0 có n nghiệm phân biệt trên [a, b] làx1 < x2 < ... < xn . Khi đó, áp dụng định lý Lagrange trên đoạn [xi , xi+1 ],i = 1, n − 1 thì tồn tại ξ ∈ (xi ; xi+1 ) sao cho0 = f (xi+1 ) − f (xi ) = f (ξi ) (xi+1 − xi )tức là f (ξi ) = 0. Điều đó có nghĩa là ξi là nghiệm của phương trìnhf (x) = 0. Vậy phương trình f (ξi ) = 0 có ít nhất n − 1 nghiệm trên[a, b].b) Giả sử ngược lại phương trình f (x) = 0 có quá n + 1 nghiệm phânbiệt trên đoạn [a, b]. Nghĩa là phương trình f (x) = 0 có ít nhất n + 2nghiệm phân biệt trên [a, b].Khi đó theo phần a), phương trình f (x) = 0 có ít nhất n + 1 nghiệmtrên đoạn [a, b] và do đó mâu thuẫn với giả thiết. Vì vậy, ta có điều phảichứng minh.Định lý 1.4. (Định lý Cauchy)Nếu hàm số f (x), g (x) đều liên tục trên [a, b] và f (x), g (x) đều khả vitrong (a, b).Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho[f (b) − f (a)] g (c) = [g (b) − g (a)] f (c)(1.3)Hơn nữa g (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b) thì công thức (1.3) có thể viết làf (b) − f (a) f (c)=g (b) − g (a)g (c)11(1.4)Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangChứng minh.Xét hàm h : [a, b] → R xác định bởih (x) = [f (b) − f (a)] g (x) − [g (b) − g (a)] f (x)Hàm h liên tục trên [a, b], khả vi trong (a, b) vàh (a) = f (b) .g (a) − g (b) .f (a) = h (b)Theo định lý Rolle tồn tại c ∈ (a, b) sao choh (c) = [f (b) − f (a)] g (c) − [g (b) − g (a)] f (c) = 0Từ đó suy ra công thức (1.3). Nếu hơn nữa g (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b)thì g (b) − g (a) = 0 vì nếu không sẽ tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho g (ξ) = 0,trái với giả thiết. Khi đó từ (1.3) suy ra (1.4).Nhận xét 1.3. Định lý Lagrange là trường hợp riêng của định lý Cauchyvới hàm g (x) = x.Định lý Lagrange có mối liên hệ với ánh xạ co. Mối liên hệ được thể hiệntrong phần tiếp theoĐịnh nghĩa 1.8. Cho ánh xạ f : X → Y với X, Y ∈ R gọi là ánh xạ conếu tồn tại c ∈ (0; 1) sao cho |f (x) − f (y)| ≤ c |x − y| , ∀x, y ∈ X.Định lý 1.5. (Nguyên lí ánh xạ co)Nếu f : X → X là một ánh xạ co thì f có duy nhất một điểm bất động,tức là tồn tại duy nhất x ∈ X sao cho f (x) = x.Nguyên lý này được chứng minh trong sách "Chuyên đề dãy số và ứngdụng" của tác giả Nguyễn Tài Chung trang 265. Chúng tôi xin phép đượcbỏ qua.12Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangNhận xét 1.4. Nếu ra xét hàm số f (x) thỏa mãn các điều kiện định lýLagrange tức là với mọi x khác y, ∃c nằm giữa x, y sao cho|f (x) − f (y)| ≤ |f (c)| |x − y|Khi đó, ta thêm giả thuyết |f (x)| ≤ c < 1 thì f (x) là một ánh xạ co.13Chương 2MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNHLÝ LAGRANGE.2.1Ứng dụng của định lý Lagrange trong các bàitoán dãy sốDãy số là một lĩnh vực quan trọng của giải tích, vấn đề liên quan đếnviệc giải bài toán dãy số cũng được nhiều tài liệu viết đến. Sau đây,chúng tôi xin đưa ra một trong những bài toán quan trọng của dãy số làtìm giới hạn và chứng minh sự hội tụ của dãy trong đó định lý Lagrangelà một phương pháp mạnh được ứng dụng nhiều. Trong phần này emtham khảo tài liệu số [1,2].Trước khi vào bài toán cụ thể ta chứng minh định lý sauĐịnh lý 2.1. Cho f : A ⊂ D → R thỏa mãn các điều kiện của định lýLagrange sao cho |f (x)| ≤ c < 1, ∀x ∈ [a; b]. Khi đó mọi dãy {xn } thỏa14Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị Trangmãnx1 = α ∈ Axn+1 = f (xn ) , n ≥ 1đều hội tụ với x∗ và f (x∗ ) = x∗ (với x∗ là điểm bất động của f )Chứng minh.Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, ∃αn nằm giữa xn và xn+1 sao cho|xn+1 − xn | = |f (xn ) − f (xn−1 )| = |f (αn )| |xn − xn−1 |≤ c |xn − xn−1 | ≤ ... ≤ cn−1 |x2 − x1 |Với mọi m ∈ Z+ thì|xn+m − xn | ≤ |xn+m − xn+m−1 | + |xn+m−1 − xn+m−2 | + ... + |xn+1 − xn |≤ cn+m−2 |x2 − x1 | + cn+m−3 |x2 − x1 | + ... + cn−1 |x2 − x1 |=c− cm|x2 − x1 | → 0, n → +∞1−cn−1 1Do đó {xn } là dãy Cauchy nên dãy {xn } hội tụ.Đặt x∗ = lim xnn→+∞Vìxn+1 = f (xn ) ⇒ lim xn+1 = lim f (xn ) = fn→+∞n→+∞lim xnn→+∞⇒ x∗ = f (x∗ )Sau khi có định lý trên, ta có một phương pháp tìm giới hạn và chứngminh dãy số cho bởi công thức truy hồi hội tụ rất hiệu quả.Bước 1: Xác định f (x) và chứng minh |f (x)| < 1, ∀x ∈ DBước 2: Chứng minh phương trình x − f (x) = 0 có nghiệm duy nhất15Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị Trangtrên A. Tức là tồn tại duy nhất x∗ ∈ A sao cho f (x∗ ) = x∗ . Áp dụng∗định lý 2.1 thì dãy {xn }+∞n=1 hội tụ tới x .Bước 3: Kết luận lim xn = x∗ .n→+∞Ví dụ 2.1.1. Cho dãy số như sauxn =2+2 + ... +√2, n ≥ 1, n ∈ Nn dấu cănChứng minh rằng dãy {xn } có giới hạn và tìm giới hạn đó.Lời giải.Dễ thấy 0 ≤ xn ≤ 2, ∀n = 1, 2...√Ta viết lại dãy {xn } như sau xn+1 = 2 + xn , ∀n = 1, 2...√Xét hàm số f (x) = x + 2 liên tục trên [0; 2], ta có11f (x) = √⇒ |f (x)| ≤ √ < 1, ∀x ∈ [0; 2].2 x+22 2Theo định lý 2.1 thì dãy {xn } có giới hạn.√Xét hàm số g (x) = x − f (x) = x − x + 2 liên tục trên [0; 2].Ta thấy g (0) .g (2) < 0 nên g (x) = 0 có nghiệm trong (0, 2).1> 0, ∀x ∈ [0; 2] suy ra g (x) đồng biếnMặt khác g (x) = 1 − √2 x+2trên [0; 2].Do đó g (x) = 0 có nghiệm duy nhất trong [0; 2] và nghiệm đó chính làgiới hạn của dãy (theo định lý 2.1).Dễ thấy phương trình x = f (x) có nghiệm duy nhất x = 2 ∈ [0; 2].Vậy dãy số {xn } có giới hạn và lim xn = 2.n→+∞16Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangVí dụ 2.1.2. Xét dãy {xn } thỏa mãnx1 = a ≥ 0√x2xn + 1, n ≥ 1n+1 =Chứng minh rằng dãy {xn } có giới hạn và tìm giới hạn đó.Lời giải.Xét hàm số f (x) =√2x + 1 liên tục trên [0; +∞).1Khi đó xn+1 = f (xn ) và có f (x) = √> 0, ∀x ∈ [0; +∞) suy ra2x + 1f (x) đồng biến trên [0; +∞).√Vậy x2 = f (x1 ) = 2a + 1 ≥ 1 với a ≥ 0 đồng thờif (x) = √11≤ √ < 1, ∀x ≥ 12x + 13Theo định lí 2.1 thì dãy {xn } có giới hạn.√Xét hàm số g (x) = x − f (x) = x − 2x + 1 liên tục trên [1; +∞).√√Ta thấy f (1) .f (3) = 1 − 3 3 − 7 < 0 nên g (x) = 0 có nghiệmtrong (1, 3).Mặt khác g (x) = 1 − √1> 0, ∀x ∈ (1, 3) suy ra g (x) đồng biến2x + 1trên (1, 3).Do đó g (x) = 0 có nghiệm duy nhất trong (1, 3) và nghiệm đó chính làgiới hạn của dãy (theo định lý 2.1).Giải phương trìnhx = f (x) ⇔ x =√2x + 1 ⇔1 < x < 3x2 − 2x − 1 = 0171 < x < 3⇔x = 1 + √2Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangSuy ra phương trình x = f (x) có nghiệm duy nhất x = 1 +√Vậy dãy số {xn } có giới hạn và lim xn = 1 + 2.√2 ∈ (1, 3).n→+∞Ví dụ 2.1.3. Cho dãy số {xn } như saux1 = 20111xcos 2xn − π, ∀n ≥ 1n+1 =4Chứng minh rằng dãy {xn }+∞n=1 có giới hạn và tìm giới hạn đó.Lời giải.1cos 2x − π liên tục trên R và có4111f (x) = − sin 2x ⇒ |f (x)| = |sin 2x| ≤ < 1, ∀x ∈ R444Xét hàm số f (x) =Theo định lý 2.1 thì dãy {xn } có giới hạn.1Xét hàm số g (x) = x − f (x) = x + π − cos 2x liên tục trên R.411−< 0 nên g (x) = 0 có nghiệmTa thấy g (0) .g (−π) = π −44trong (−π, 0).1Mặt khác g (x) = 1 − cos 2x > 0, ∀x ∈ (−π, 0) suy ra g(x) đồng biến4trên (−π, 0).Do đó, phương trình g (x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (−π; 0) hayphương trình x − f (x) = 0 có nghiệm duy nhất trên (−π; 0). Tức là tồntại duy nhất L ∈ (−π; 0) sao cho L = f (L).Theo định lí 2.1 thì L ∈ (−π; 0) chính là giới hạn của dãy.Vậy dãy số {xn } giới hạn và lim xn = L với L ∈ (−π; 0).n→+∞Bài tập vận dụng18Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangBài tập 1: Cho dãy số {xn } xác định bởix1 = 21x=2+,n ≥ 1n+113+xnChứng minh rằng dãy {xn } có giới hạn và tìm giới hạn đó.Bài tập 2: ( Đề thi Olympic sv năm 2002)Cho dãy số thực {xn } xác định bởix1 = a ∈ R1xln 1 + x2n − 2002, n ≥ 1n+1 =2Chứng minh rằng dãy {xn } có giới hạn hữu hạn khi n → +∞.Bài tập 3: Cho dãy {xn } như saux0 = 2011x−xn) , ∀n ≥ 0n+1 = ln (1 + eChứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tính lim xn .n→+∞19Khóa luận tốt nghiệp Đại học2.2Đinh Thị TrangỨng dụng của định lý Lagrange trong giải phươngtrình, hệ phương trình.Như ta thấy có rất nhiều phương pháp để giải phương trình và hệ phươngtrình, nhiều bài toán khi sử dụng phương pháp thông thường trở nênphức tạp. Sau đây chúng tôi xin đưa ra một phương pháp mới đó là sửdụng định lý Lagrange vào giải phương trình và hệ phương trình. Trongphần này em tham khảo tài liệu số [4,5,6,7].Trước hết ta đi chứng minh bổ đề sauBổ đề 2.1. Hàm số f (x) liên tục trên [a, b] và khả vi trong (a, b) vàf (x) = 0 với ∀x ∈ (a; b) (tức f (x) > 0 hay f (x) < 0). Khi đó nếuf (x) = f (y) với ∀x, y ∈ [a; b] thì x = y.Chứng minh.Giả sử ngược lại x = y, x, y ∈ [a; b].Không tính tổng quát ta giả sử x < y; do f (x) = f (y) nên theo địnhf (y) − f (x)lý Lagrange: ∃c ∈ (x; y) ⊂ (a; b) sao cho f (c) == 0 (mâuy−xthuẫn với giả thiết). Suy ra f (x) = 0, ∀x ∈ (a; b)Khi đó x = y.Sử dụng bổ đề trên và định lý Lagrange ta có những phương pháp giảiphương trình f (x) = 0 như sauPhương pháp 1.Bước 1: Gọi α là nghiệm của phương trình đã cho.Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng thích hợp f (a) = f (b) từ đóchỉ ra được hàm f (t) khả vi và liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó theo20Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị Trangđịnh lý Lagrange tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f (c) =f (b) − f (a)= 0 (∗).b−aTa cũng có f (c) phụ thuộc vào α.Bước 3: Giải (∗) ta xác định được α.Bước 4: Thử lại.Ví dụ 2.2.1. Giải phương trình3x + 5x = 2x + 6x(2.1)Phương trình (2.1) tương đương 3x − 2x = 6x − 5x .Giả sử α là nghiệm của phương trình (2.1) thì ta có 3α − 2α = 6α − 5α .Xét hàm số f (t) = (t + 1)α − tα , với t ∈ [2, 5].Do α là nghiệm của phương trình (2.1) nên ta có f (2) = f (5)Theo hệ quả 1.1 thì tồn tại c ∈ (2; 5) sao chof (c) = 0 ⇔ α (c + 1)α−1 − cα−1 = 0α=0⇔(c + 1)α−1 − cα−1 = 0α=0⇔α−1=0α=0⇔α=1Thử lại kết quả thấy α = 0; α = 1 đều thỏa mãn (2.1).Kết luận phương trình (2.1) có nghiệm là α = 0 và α = 1.21Khóa luận tốt nghiệp Đại họcĐinh Thị TrangVí dụ 2.2.2. Giải phương trình23x + 3x = 2x + 4x22(2.2)2Phương trình (2.2) tương đương 3x − 2x = 4x − 3x22Giả sử α là nghiệm của phương trình (2.2) thì ta có 3α − 2α = 4α − 3α2Xét hàm số f (t) = (t + 1)α − tα với t ∈ [2, 3].Do α là nghiệm của phương trình (2.2) nên ta có f (2) = f (3).Theo hệ quả 1.1 thì tồn tại c ∈ (2; 3) sao cho2f (c) = 0 ⇔ α α(c + 1)α −1 − cα−1 = 0α=0⇔2α(c + 1)α −1 − cα−1 = 0 (∗)Giải phương trình (∗). Xét từng trường hợp của α.α > 1 : α(c + 1)α2−1> (c + 1)α0 < α < 1 : α(c + 1)αα ≤ 0 : α(c + 1)α2−12−12−1> cα< (c + 1)α2−12−1> cα .< cα2−1< cα .≤ 0 < cα−1Chỉ có α = 1 thỏa mãn phương trình (∗).Thử lại ta thấy α = 0, α = 1 đều thỏa mãn (2.2).Kết luận phương trình (2.2) có nghiệm là x = 0 và x = 1.Nhận xét 2.1. Qua bài toán trên ta có thể giải phương trình dạng tổngquát(a + m)f2(x)+ bf (x) = af (x) + (b + m)f2(x)Với a, b, m > 0; a < b, trong đó f (x) là hàm số xác định trên R.22

Tài liệu liên quan

Chuyên đề: Một số ứng dụng của định lý Vi-ét
- 18
- 4
- 49
Một số ứng dụng của định lý lagrange trong đại số
- 26
- 1
- 1
một số ứng dụng của định lý về đường phân giác - hoàng minh quân.
- 91
- 786
- 2
Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co khóa luận tốt nghiệp
- 58
- 1
- 3
Một số ứng dụng của định lí Menelaus và định lí Ceva
- 63
- 4
- 11
một số ứng dụng của định lý hahn - banach trong giải tích lồi và lí thuyết tối ưu
- 43
- 583
- 1
ứng dụng của định lý lagrange và định lý rolle
- 27
- 2
- 2
một số ứng dụng của định lí vi-ét trong toán lớp 9
- 22
- 2
- 0
Hướng dẫn học sinh lớp 10 khai thác một số ứng dụng của định lí sin và côsin trong tam giác.
- 19
- 3
- 12
tóm tắt khóa luận một số ứng dụng của định lý pascal và định lý brianchon
- 21
- 1
- 12