Nâng Cao - Ứng Dụng Tích Phân Tính Diện Tích Và Thể Tích - Tăng Giáp

Có thể bạn quan tâm

Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức

Đăng nhập

Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Chủ đề 3. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN > Bài 3. Ứng dụng của tích phân > Nâng cao Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích

Thảo luận trong 'Bài 3. Ứng dụng của tích phân' bắt đầu bởi Huy Hoàng, 20/2/16.

Trang 1 của 9 trang 1 ← 2 3 4 5 6 → 9 Tiếp >

Huy Hoàng Guest

Tính thể tích khối tròn xoay là một phần của ứng dụng tích phân thường xuất hiện trong các đề thi toán lớp 12 cũng như kỳ thi Quốc gia. Bài viết này giới thiệu với mọi người đầy đủ

Bài viết mới nhất
- Ứng dụng tích phân tính diện tích và thể tích20/02/2016
- Tính thể tích vật thể16/12/2014
Last edited by a moderator: 3/5/20 Huy Hoàng, 20/2/16 #1
Huy Hoàng Guest

mọi người góp ý nha
Huy Hoàng, 22/2/16 #2
Đỗ Huy Mới đăng kí
Tham gia ngày: 16/2/16 Bài viết: 17 Đã được thích: 3 Điểm thành tích: 3
Cảm ơn admin Huy Hoàng nha, mình đang cần bài này
Đỗ Huy, 22/2/16 #3
Hoàng Dũng Thành viên cấp 1
Tham gia ngày: 11/10/14 Bài viết: 465 Đã được thích: 11 Điểm thành tích: 18 Giới tính: Nam
Nếu có bài dễ hơn thì tốt quá
Hoàng Dũng, 23/2/16 #4 Huy Hoàng and Tăng Giáp like this.
Huy Hoàng Guest

Hoàng Dũng nói: ↑
Nếu có bài dễ hơn thì tốt quá Click to expand...
Để tớ kiếm xem nhé
Huy Hoàng, 24/2/16 #5
quanaogiaxuongcom Mới đăng kí
Tham gia ngày: 6/6/17 Bài viết: 16 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nữ
Công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng a;b\left( {a < b} \right) xung quanh trục Ox là: A. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}\) B. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}\) C. \(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}\) D. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}\)
quanaogiaxuongcom, 5/2/18 #6
1. Chọn A.
  Minh Toán, 6/12/17 #link
Thach.truongquang830 Mới đăng kí
Tham gia ngày: 20/4/17 Bài viết: 19 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Cho đồ thị hàm số y = f(x). Xác định công thức tính diện tích S của hình phẳng ( phần gạch chéo ) trong hình. A. \(S = \int\limits_{ - 2}^3 {f\left( x \right)dx}\) B. \(S = \int\limits_0^{ - 2} {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}\) C. \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^0 {f\left( x \right)dx}\) D. \(S = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}\)
Thach.truongquang830, 5/2/18 #7
1. Nhìn vào đồ thị ta thấy \(f\left( x \right) \ge 0\) với \(x \in \left[ { - 2;0} \right]\) \(\Rightarrow {S_1} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx}\) \(f\left( x \right) \le 0\) với \(x \in \left[ {0;3} \right]\) \(\Rightarrow {S_2} = \int\limits_3^0 {f\left( x \right)dx}\) Ta chọn đáp án C.
  Minh Toán, 6/12/17 #link
Noctrlz Mới đăng kí
Tham gia ngày: 7/10/17 Bài viết: 14 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\left( {4 - x} \right)\) với trục hoành. A. \(V = \frac{{512}}{{15}}\) B. \(V = \frac{{32}}{3}\) C. \(V = \frac{{512\pi }}{{15}}\) D. \(V = \frac{{32\pi }}{3}\)
Noctrlz, 5/2/18 #8
1. Với dạng này ta cần nhớ công thức tính \({V_{Ox}} = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx}\) (đvtt) Đầu tiên ta tìm giao của đồ thị với Ox ta được \(x = 0 \vee x = 4\). Lúc này ta chỉ cần nhập biểu thức vào máy tính như sau: Vậy đáp án là C.
  Minh Toán, 6/12/17 #link
noianhden321 Mới đăng kí
Tham gia ngày: 30/7/17 Bài viết: 16 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 1 Giới tính: Nam
Cho hàm số f(x) xác định và đồng biến trên [0;1] và có \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\), công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các hàm số \({y_1} = f\left( x \right);{y_2} = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2};{x_1} = 0;{x_2} = 1\) là: A. \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {f\left( x \right)\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\) B. \(\int\limits_0^1 {\left\{ {f\left( x \right) - {{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right\}dx}\) C. \(\int\limits_0^1 {\left\{ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2} - f\left( x \right)} \right\}dx}\) D. \(\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {f\left( x \right)} \right|\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\)
noianhden321, 5/2/18 #9
1. Công thức tổng quát ứng với \({y_1} = f\left( x \right);{y_2} = g\left( x \right);{x_1} = a;{x_2} = b\left( {a < b} \right)\) \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}\) Do \(f\left( x \right)\) đồng biến nên ta có: \(f\left( x \right) < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2};\,f\left( x \right) \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\) \(\Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right) - {{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)} \right|dx}\) \(= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left| {f\left( x \right)} \right|\left( {1 - f\left( x \right)} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 1} \right)dx}\) Vậy đáp án đúng là D.
  Minh Toán, 6/12/17 #link
xuan hải Mới đăng kí
Tham gia ngày: 3/11/17 Bài viết: 4 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Tính thể tích V của khối trong xoay được tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sqrt {36 - {x^2}}\) với trục hoành khi quay quanh trục hoành. A. \(V = 288\pi\)(đvtt) B. \(V = 144\pi\)(đvtt) C. \(V = 12\pi\)(đvtt) D. Không tính được.
xuan hải, 5/2/18 #10
1. \(y = \sqrt {36 - {x^2}} \Leftrightarrow {y^2} + {x^2} = 36\) Đây là đồ thị phương trình đường tròn có tâm O(0;0) bán kính bẳng 6. Khi đó khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số với trục hoành quanh trục hoành chính là khối cầu tâm O(0;0) bán kính bằng 6. Thể tích khối cầu sẽ được tính bằng công thức \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}.\pi {.6^3} = 288\pi\)
  Minh Toán, 6/12/17 #link
Xuân Thịnh Mới đăng kí
Tham gia ngày: 9/5/17 Bài viết: 4 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=lnx, trục Ox, và đường thẳng x=2 quanh trục Ox. A. \(V = \pi {\left( {\ln 4 - 1} \right)^2}\) B. \(V = \pi {\left( {\ln 4 - 1} \right)^2}\) C. \(V = 2\pi {\left( {\ln 2 - 1} \right)^2}\) D. \(V = 2\pi {\left( {\ln 4 - 1} \right)^2}\)
Xuân Thịnh, 5/2/18 #11
1. Hoành độ giao điểm giữa (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình \(\ln x = 0 \Leftrightarrow x = 1\). \(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left( {\ln x} \right)}^2}dx}\). Đến đây ta chỉ việc dùng máy tính bỏ túi để tính tích phần và đối chiếu với 4 phương án A, B, C, D.
  Minh Toán, 6/12/17 #link
xuan2000 Mới đăng kí
Tham gia ngày: 16/10/17 Bài viết: 4 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 1 Giới tính: Nữ
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = {x^2} - 1\) và \(y = - {x^2} + 2x + 3\) không được tính bằng công thức nào sau đây? A. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} - x + 2} \right)} dx\) B. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\) C. \(S = \int\limits_2^{ - 1} {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)} dx\) D. \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|} dx\)
xuan2000, 6/2/18 #12
1. Ta có phương trình hoành độ giao điểm: \(- {x^2} + 2x + 3 = {x^2} - 1\) \(\Leftrightarrow 2{x^2} - 2x - 4 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 1}\\ {x = 2} \end{array}} \right.\) Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đã cho được tính bằng công thức: \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\). Từ đây suy ra phương án B và D đúng. C đúng vì: \(\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)} \right|} dx\\ = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2{x^2} - 2x - 4} \right|} dx = \int\limits_2^{ - 1} {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right)} dx\\ (do\,2{x^2} - 2x - 4 < 0,\forall x \in \left( { - 1;2} \right)\, \end{array}\) Nhận xét ta có thể suy ra ngay A sai vì rõ ràng thiếu hẳn hệ số 2 và \({ - {x^2} - x + 2}\) không lớn hơn 0 \(\forall x\in(-1;2)\).
  Minh Toán, 6/12/17 #link
xuancuong0809 Mới đăng kí
Tham gia ngày: 27/7/17 Bài viết: 3 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nữ
Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ quay quanh trục Ox, biết f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 4. A. \(V = 3\pi\) B. \(V = \frac{55}{3}\pi\) C. \(V = \frac{33}{5}\pi\) D. \(V = \frac{1}{5}\pi\)
xuancuong0809, 6/2/18 #13
1. \(V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} dx = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}d\left( {x - 2} \right)}\) \(= \pi .\frac{1}{3}{\left( {x - 2} \right)^3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right. = \pi .\frac{1}{3}.\left( {{{\left( {3 - 2} \right)}^3} - {{\left( {0 - 2} \right)}^3}} \right)\) \(= 3\pi\)
  Minh Toán, 6/12/17 #link
Bích Nguyễn Mới đăng kí
Tham gia ngày: 22/10/17 Bài viết: 13 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nữ
Gọi N(t) (ml/phút) là tốc độ rò rỉ dầu từ cái thùng tại thời điểm t. Biết \(N'\left( t \right) = t{\left( {t - 1} \right)^2}\). Tính lượng dầu rò rỉ ra trong một tiếng đầu tiên. A. 3097800 ml B. \(\frac{1}{12}\)ml C. 30789800 ml D. 12 ml
Bích Nguyễn, 6/2/18 #14
1. \(N'\left( t \right) = t\left( {{t^2} - 2t + 1} \right) = {t^3} - 2{t^2} + t\). Vì lượng dầu tính theo phút, nên công thức tính lượng dầu sẽ được tính như sau: \(\int\limits_0^{60} {N'\left( t \right)} dt = \int\limits_0^{60} {\left( {{t^3} - 2{t^2} + t} \right)} dt\) \(= \frac{1}{4}{t^4} - \frac{2}{3}{t^3} + \frac{1}{2}{t^2}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {60}\\ 0 \end{array}} \right.\) \(= 3097800\left( {ml} \right)\)
  Minh Toán, 6/12/17 #link
ducganghanviet Mới đăng kí
Tham gia ngày: 23/8/17 Bài viết: 10 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần mặt phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x^2\) và \(y = \sqrt x\) quanh trục Ox. A. \(V = \frac{{13\pi }}{5}\) B. \(V = \frac{{13\pi }}{15}\) C. \(V = \frac{{3\pi }}{10}\) D. \(V = \frac{{3\pi }}{5}\)
ducganghanviet, 6/2/18 #15
1. Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có \({x^2} = \sqrt x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\) . Ta thấy trên (0;1) thì \(\sqrt x \ge x\). Nên \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( {x - {x^4}} \right)dx} = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^5}}}{5}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.\) \(= \pi \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{5}} \right) = \frac{3}{{10}}\pi\)
  Minh Toán, 6/12/17 #link
Tiến Khoa Mới đăng kí
Tham gia ngày: 11/6/17 Bài viết: 9 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Cho hình phẳng trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành, thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào sau đây? A. \(V = \int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}\) B. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx}\) C. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}\) D. \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}(x) - {f^2}(x)} \right]dx}\)
Tiến Khoa, 6/2/18 #16
1. Từ hình vẽ ta thấy trong đoạn [a;b]: \(f(x) > g(x) > 0\) nên \({f^2}(x) > {g^2}(x)\). Vậy: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}\) .
  Minh Toán, 6/12/17 #link
Tiến Đạt Mới đăng kí
Tham gia ngày: 9/11/17 Bài viết: 8 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = \frac{{{x^3}}}{3} và \(y = {x^2}\) quanh trục hoành. A. \(V = \frac{{436}}{{35}}\pi\) B. \(V = \frac{{468}}{{35}}\pi\) C. \(V = \frac{{486}}{{35}}\pi\) D. \(V = \frac{{9\pi }}{2}\)
Tiến Đạt, 6/2/18 #17
1. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3}\) và đồ thị hàm số \(y = x^2\) là: \(\frac{{{x^3}}}{3} = {x^2} \Leftrightarrow {x^2}(3 - x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right.\) Ta có: \({x^2} \ge \frac{{{x^3}}}{3},\forall x\left[ {0;3} \right]\) Suy ra: \(V = \pi \int\limits_0^3 {\left( {{x^4} - \frac{{{x^6}}}{9}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{{x^7}}}{{63}}} \right)} \right|_0^3 = \frac{{486\pi }}{{35}}\)
  Minh Toán, 6/12/17 #link
tienduat82 Mới đăng kí
Tham gia ngày: 5/4/16 Bài viết: 7 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc với bán kính và cách tâm 3dm như hình vẽ. Tính thể tích V của vật thể thu được. A. \(V = 132\pi\) B. \(V=41\pi\) C. \(V = \frac{100}{3}\pi\) D. \(V = 43\pi\)
tienduat82, 7/2/18 #18
1. Đặt hệ trục tọa độ tâm O là tâm của mặt cầu, đường thẳng đứng là trục Ox, đường ngang là trục Oy. Khi đó: đường tròn lớn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 25.\) Bài toán trở thành tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi Ox, đường cong \(y = \sqrt {25 - {x^2}}\), đường thẳng x=3 và x=-3 quay quanh trục Ox. Vậy: \(V = \pi \int\limits_{ - 3}^3 {\left( {25 - {x^2}} \right)dx = 132\pi }\)
  Minh Toán, 6/12/17 #link
tienduat82 Mới đăng kí
Tham gia ngày: 5/4/16 Bài viết: 7 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Cho hình thang cong trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành, thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào sau đây? A. \(V = \int\limits_a^b {f(x)dx}\) B. \(V = \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx}\) C. \(V = \pi \int\limits_a^b {f(x)dx}\) D. \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx}\)
tienduat82, 7/2/18 #19
1. Chọn D.
  Minh Toán, 6/12/17 #link
tiệp Mới đăng kí
Tham gia ngày: 17/10/17 Bài viết: 5 Đã được thích: 0 Điểm thành tích: 0 Giới tính: Nam
Với giá trị nào của m thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - {x^2} + 2x và (d):y = mx\left( {m < 0} \right) bằng 27 đơn vị diện tích. A. m=-1 B. m=-2 C. \(m \in \emptyset\) D. \(m \in\mathbb{R}\)
tiệp, 7/2/18 #20
1. Phương trình hoành độ giao điểm: \(\begin{array}{l} - {x^2} + 2x = mx \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2 - m} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 - m > 0 \end{array} \right.\\ S = \int_0^{2 - m} {\left| { - {x^2} + 2x - mx} \right|} dx = \int_0^{2 - m} {\left( { - {x^2} + 2x - mx} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} - \frac{{m{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^{2 - m}\\ = - {m^3} + 6{m^2} - 12m + 8 = 27 \end{array}\)Do đó m=-1. Do đó .
  Minh Toán, 6/12/17 #link