Tính Diện Tích Hình Phẳng: Lý Thuyết, Công Thức Tính Và Bài Tập

Số lượt đọc bài viết: 14.604

Tính diện tích hình phẳng là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong chương trình toán phổ thông. Vậy diện tích hình phẳng là gì? Các dạng bài tập tìm diện tích hình phẳng? Cách tìm diện tích hình phẳng như nào? Trong bài viết dưới đây DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

MỤC LỤC

• Diện tích hình phẳng là gì?
• Công thức tính diện tích hình phẳng cơ bản
  • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các trục tọa độ
  • Công thức tổng quát tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 
• Công thức tính diện tích hình phẳng nâng cao
  • Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số
  • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
    • Diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi parabol và đường thẳng
    • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn

Diện tích hình phẳng là gì?

Trong đời sống thực tiễn cũng như khoa học kĩ thuật thì chúng ta cần phải tính diện tích của những hình phẳng phức tạp mà các công thức thông thường không thể tính toán được. Ví dụ: Diện tích của mặt hồ tự nhiên, thiết diện cắt ngang của một dòng sông… Vì thế ta cần áp dụng tích phân để có thể tính được diện tích của những hình phức tạp đó.

Công thức tính diện tích hình phẳng cơ bản

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các trục tọa độ

Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) thì diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a , x=b \) là :

\(S=\int_{a}^{b} |f(x)|dx\)

Ví dụ:

Tính diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y=x^3 -x \) , đường thẳng \( x=2 \), trục tung và trục hoành

Cách giải:

Vì trục tung có phương trình tọa độ là \( x=0 \) nên áp dụng công thức nêu trên ta có :

\(S=\int_{0}^{2} |x^3-x|dx\)

Vì \(\left\{\begin{matrix} x^3-x \leq 0 \hspace{5mm} \forall \hspace{5mm} 0 \leq x \leq 1\\ x^3-x \geq 0 \hspace{5mm} \forall \hspace{5mm} 1 \leq x \leq 2 \end{matrix}\right.\)

Nên ta có :

\(S = \int_{0}^{1}(x-x^3)dx + \int_{1}^{2} (x^3-x)dx\)

\(S = (\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}) \bigg|_{0}^{1} + (\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}) \bigg|_{1}^{2}\)

\(S = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} =\frac{5}{2}\) (đvdt)

Công thức tổng quát tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 

Công thức tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi \( y=f(x) \) , \( y=g(x) \) liên tục trên \( [a;b] \) và hai đường thẳng \( x=a \) , \( x=b \) :

\(S=\int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|dx\)

Ví dụ:

Tìm diện tích hình phẳng \( S \) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \( y= x^2+2 \) và \( y = 3x \)

Cách giải:

Đầu tiên, ta sẽ hoành độ giao điểm của hai hàm số trên bằng cách giải phương trình :

\( x^2 +2 =3x \)

\(\Leftrightarrow x^2-3x+2 =0 \Leftrightarrow (x-1)(x-2) =0\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ x=2 \end{matrix}\right.\)

Vậy hình phẳng \( S \) được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \( y= x^2+2 \) , \( y = 3x \) và hai đường thẳng \( x=1 \) , \( x=2 \)

Áp dụng công thức trên ta có:

\(S= \int_{1}^{2} | x^2-3x+2|dx\)

\(=\int_{1}^{2}(3x-x^2-2)dx\)

\(=(\frac{3x^2}{2} -\frac{x^3}{3} -2x) \bigg|_{1}^{2}=\frac{1}{6}\) (đvdt)

Công thức tính diện tích hình phẳng nâng cao

Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 hàm số

Bài toán đặt ra: Tính diện tích hình phẳng \(S\) được giới hạn bởi đồ thị ba hàm số : \(y=f(x) ;y=g(x); y=h(x)\)

Các bước làm như sau:

• Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm của từng cặp đồ thị là \(x_1;x_2;x_3\) với \(x_1 \leq x_2 \leq x_3\)
• Bước 2: Diện tích hình phẳng \(S\) sẽ được tính theo công thức :

\(S = \int_{x_1}^{x_2}|u(x)|dx + \int_{x_2}^{x_3} |v(x)| dx\)

Với \(u(x)\) là hàm số của phương trình tìm \( x_1 \)

\( v(x) \) là hàm số của phương trình tìm \( x_2 \) 

 Ví dụ:

Tính diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi ba hàm số : \( y= 3^x \) , \( y= 4-x \) , \( y=1 \)

Cách giải:

Ta tìm hoành độ giao điểm của từng cặp hàm số :

\(\left\{\begin{matrix} 3^x = 4-x \Rightarrow x=1\\ 3^x =1 \Rightarrow x=0 \\ 4-x = 1 \Rightarrow x=3 \end{matrix}\right.\)

Vậy áp dụng công thức trên ta có :

\(S= \int_{0}^{1}|3^x -1 |dx + \int_{1}^{3} |4-x-1|dx\)

\(= (\frac{3^x}{\ln 3}-x) \bigg |_{0}^{1} + (3x-\frac{x^2}{2})\bigg |_{1}^{3}\)

\(= (\frac{3^x}{\ln 3}-x) \bigg |_{0}^{1} + (3x-\frac{x^2}{2})\bigg |_{1}^{3} =\frac{2}{\ln 3}+1\) (đvdt)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

Diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi parabol và đường thẳng

Cho Parabol \( y = ax^2 + bx +c \) với \( b^2-4ac >0 \). Khi đó diện tích hình phẳng \( S \) được giới hạn bởi đồ thị của Parabol với trục hoành được tính như sau :

\(S=\int_{x_1}^{x_2}(ax^2+bx+c)dx\)

Với \( x_1;x_2 \) là hai nghiệm của Parabol

Bằng cách biến đổi đơn giản sử dụng định lí Vi-ét, từ công thức trên ta sẽ có :

\(S^2=\frac{(b^2-4ac)^3}{36a^4}\) hay \(S=\frac{(b^2-4ac)\sqrt{b^2-4ac}}{6a^2}\)

Công thức này thường được áp dụng trong các bài toán trắc nghiệm yêu cầu tính toán nhanh!

Ví dụ:

Tính diện tích hình phẳng \( S \) được giới hản bởi Parabol \( y=x^2-5x +6 \) và trục hoành

Cách giải:

Áp dụng công thức trên với \( a=1 : b= -5 ; c=6 \) ta có:

\(S=\frac{(b^2-4ac)\sqrt{b^2-4ac}}{6a^2} = \frac{1}{6}\) (đvdt)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường tròn

Với dạng toán này , ta cần vẽ hình sơ bộ để nhận diện được hình phẳng cần tính diện tích rồi sau đó sử dụng các công thức cơ bản nêu trên để tính toán thích hợp.

Chú ý: Với dạng bài này khi cần tính tích phân chúng ta sẽ cần sử dụng phương pháp đổi biến số để tính được tích phân cần tìm. 

Xem chi tiết >>> Phương pháp đổi biến số trong Nguyên hàm và Tích phân 

Ví dụ:

Tìm diện tích hình phẳng \( S \) được giới hạn bởi Parabol \(y= \sqrt{2x}\) và đường tròn \(x^2 + y^2 =8\)

Cách giải:

Hoành độ giao điểm của Parabol và đường tròn là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{\begin{matrix} y=\sqrt{2x}\\ x^2+y^2=8 \end{matrix}\right.\) với \( x \geq 0 \)

\(\Rightarrow x^2+2x-8=0 \Rightarrow (x-2)(x+4)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=-4 \end{array}\right.\)

Vì \( x \geq 0 \) nên \( x=2 \)

Hoành độ giao điểm của đường tròn và trục hoành là điểm \(x= 2\sqrt{2}\) và \(x= -2\sqrt{2}\)

Qua hình vẽ ta thấy \( S \) được chia làm hai phần gồm:

\( S_1 \) là phần tô màu vàng

\( S_2 \) là phần tô màu đỏ

\( S= S_1 + S_2 \)

\( S_1 \) là hình phẳng được giới hạn bởi Parabol \(y= \sqrt{2x}\) và hai đường thẳng \( x=0 ; x=2 \) . Vậy

\(S_1 = 2\int_{0}^{2}\sqrt{2x} \hspace{2mm} dx = 2. \frac{2\sqrt{2}}{3} x\sqrt{x} \bigg |_{0}^{2} =\frac{8}{3}\)

\( S_2 \) là hình phẳng được giới hạn bởi đường tròn \(x^2 + y^2 =8\) và hai đường thẳng \(x=2 ; x=2\sqrt{2}\). Vậy

\(S_2= 2 \int_{2}^{2\sqrt{2}} \sqrt{x^2-8} \hspace{2mm} dx\)

Đặt \(x= 2\sqrt{2}\sin t\) với \(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\)

\(\Rightarrow dx = 2\sqrt{2} \cos t \hspace{2mm}dt\)

\(\Rightarrow S_2 =2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}2\sqrt{2}.\sqrt{8-8 \sin ^2 t}. \cos t \hspace{2mm} dt\)

\(=16\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2t \hspace{2mm} dt\)

\(=8\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (1+ \cos 2t)dt\)

\(=8(t+\frac{\sin 2t}{2}) \bigg |_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} =2\pi -4\)

Vậy \(S=S_1 + S_2 = 2\pi + \frac{4}{3}\) (đvdt)

Chú ý: Qua các ví dụ trên ta nhận thấy công thức tính diện tích tổng quát \(S=\int_{a}^{b} |f(x)-g(x)|dx\) được sử dụng ở hầu hết các bài toán. Vì vậy đây là một công thức cơ bản quan trọng mà chúng ta cần ghi nhớ.

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về các công thức diện tích hình phẳng bằng tích phân cũng như một số dạng bài tập tính diện tích hình phẳng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Rate this post Please follow and like us: