Ôn Tập Sự đồng Biến, Nghịch Biến Của Hàm Số

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Toán Học Lớp 12›Giải Tích Lớp 12 Ôn tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Định nghĩa Giả sử K là một khoảng. Hàm số f xác định trên K được gọi là :

• Đồng biến trên K nếu

Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.

• Nghịch biến trên K nếu

Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải

5 trang

ngochoa2017 Lượt xem

3973

2 Download Bạn đang xem tài liệu "Ôn tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênSỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Giả sử K là một khoảng. Hàm số f xác định trên K được gọi là : · Đồng biến trên K nếu " ,Î K ,< Þ < . Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải. · Nghịch biến trên K nếu " ,Î K , . Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải Đồ thị: Định lí : GIả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K . a)Nếu f’(x) > 0 với mọi x Î K thì hàm số f đồng biến trên khoàng K . b)Nếu f’(x) < 0 với mọi x ÎK thì hàm số f nghịch biến trên khoàng K. c)Nếu f’(x) = 0 với mọi x Î K thì hàm số f không đổi trên khoàng K. Nhận xét : Khoảng K trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng . Khi đó phải bổ sung thêm giả thiết : Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó . Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f’(x) trên khoảng (a; b) a)Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x Î (a; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a; b]. b)Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x Î(a; b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a; b]. Trên đoạn [a; b] , ta có : Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu : giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) Ì D Bước 1: Tìm miền xác định D, tính & xét dấu y’ = f’(x). Bước 2: Áp dụng định lý . Ghi chú về việc xét dấu : f’(x) là đa thức hay phân thức : xét dấu nhị thức, tam thức. f’(x) vô tỉ, lượng giác: giải các bất phương trình f’(x) ³ 0; f’(x) £ 0. f’(x) là biểu thức phức tạp có thể áp dụng các bước sau : – tìm xo sao cho f’(xo) = 0 hay f’(x) không xác định. – các số xo chia miền xác định của f(x) thành nhiều khoảng. – trên mỗi khoảng f’(x) có 1 dấu nhất định. Ta xác dịnh dấu trên mỗi khoảng bằng cách xét một giá trị đặc biệt. Đôi khi ta cần tính thêm f”(x) để xét dấu f’(x). Ví du 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số : · D = ¡ \ {0} . · Chiều biến thiên · . Ta có y’ = 0 Û x = ± 2 Vậy hàm số đồng biến / (-¥;- 2) và (2;+¥), nghịch biến / ( -2 ; 0 ) và ( 0 ; 2 ) . Ví du 2 : Xét chiều biến thiên của hàm số : · D = ¡ . · y’ = 4x2 − 4x + 1. Ta có: y’ = 0 với x =và y’ > 0 " x ¹. · Bảng biến thiên : Vì hàm số đồng biến / và Þ hàm số đồng biến trên ¡ . Qua ví dụ 2 ta thấy có thể mở rộng định lí như sau : Mở rộng định lí GIả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K . a)Nếu f’(x) ≥ 0, "x Î K thì hàm số f đồng biến trên K . b)Nếu f’(x) £ 0, " x Î K thì hàm số f nghịch biến trên K . ( f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm ) H1 Xét chiều biến thiên của a); b) Ví dụ 3 : Xét chiều biến thiên của hàm số . · D = (– ¥;3]. Hàm số f liên tục trên (–¥;3] . Vậy f nghịch biến trên (–¥;3] Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số y = x3 - 3x2 + 3x + 2 là đồng biến trên ¡ . · D = ¡ . · y’= 3 x2 – 6x + 3 = 3(x–1)2 . y’= 0 Û x = 1 Lập BBT ta có :hàm số đồng biến trên (–¥; 1] và [ 1;+¥) Þ f đồng biến trên ¡ Ví dụ 5*: Chứng minh: sinx + tanx > 2x với mọi x Giải: Xét f(x) = sinx + tanx – 2x liên tục trên ta có .Với x(0;) ta có 0 cos2x nên f’(x) >cos2x +− 2 = >0. Vậy f đồng biến trên . Suy ra: f(x) > f(0) với mọi x hay sinx + tanx > 2x " x. Ví dụ 6*: Cm nghịch biến trên ¡ . Ta có f liên tục trên ¡ và f’(x) = 0 Û.Vậy f nghịch biến trên mỗi đọan Þ f nghịch biến trên ¡ . Bài tập SGK (Cơ bản) Bài 1: Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số a) y = 4 + 3x – x2. KQ: đồng biến /, nghịch biến / ; b) y = 1/3x3 +3x2 – 7x – 2. KQ: đồng biến / (-¥ ; -7) và (1 ; +¥), nghịch biến / (-7 ; 1) ; c) y = x4 −2x2 + 3 KQ: đồng biến /(-1;0) và (1;+¥), nghịch biến / (-¥;-1) và(0;1) ; d) y= − x3 +x2 − 5. KQ: đồng biến / , nghịch biến / (-¥ ; 0) và . Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: a/ y = . KQ : đồng biến trên các khoảng (-¥ ; 1) và (1 ; +¥) b/ y = KQ : nghịch biến trên các khoảng (-¥ ; 1) và (1 ; +¥) c/ y = KQ : nghịch biến trên (-¥ ; -4) và đồng biến trên (5 ; +¥) ; d/ y= KQ : nghịch biến trên (-¥ ; -3) và (−3; 3) và (3 ; +¥) ; Bài 3: CMR y = đồng biến / (-1;1); nghịch biến / (;-1) và (1; ) Bài 4: CMR y =đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2) Vậy hàm số đồng biến / (0;1) và nghịch biến / (1;2) TXĐ:D = [0;2] BBT y’= Bài 5: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a/ tanx > x (0 x +(0<x<). Xét hàm số g(x) = tanx - x liên tục / và có: g’(x) = tan2x ,"xÎ. g'(x) = 0 Þ x = 0 nên g đồng biến trên. Do đó g(x) > g(0) = 0 "xÎ. b) g’(x) = tan2x − x2 = (tanx − x)(tanx + x) ³ 0 Bài tập tự luyện 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau : a/ y = 3x2 – 2x + 5. b/ y = 5 + 4x - x2. c/ y = ⅓ x3 + 6x2+11x + 1 d/ y = x4 - 4x2 + 3. e/ y = x4 + 4x2 + 3. f/ y = ¼ x4 - x2 . 2. Xác định khoảng đơn điệu của hàm số sau: a) y = x3– 3x2 + 2 b) y = −x3 + x2 – 5x + 9 c) y = x4 – 8x2 + 7 i/* e) y = f)* y = . g/* h/* KQ: a) Hs đồng biến / (;0) và (2;); nghịch biến trên khoảng (0; 2) b) Hs nghịch biến trên R vì y’ = - x3 + 2x – 5 < 0, x R c) Hs đồng biến /(-2; 0) và (2;); nghịch biến / (;-2) và (0; 2) d) Hs đồng biến trên khoảng (;0); nghịch biến trên khoảng (0;) e) Hs đồng biến / (;0) và (2;); nghịch biến / (0; 1) và (1; 2) 3. Chứng minh các hàm số sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định. a)* y = x3 + x − cosx −4 b) y = x3 − 6x2 + 17x + 4 c) y = x3 - 3x2 + 3x + 2. d) . e) . 4. Chứng minh rằng: a/ nghịch biến /[-1; 0) và (0; 1]. b/ giảm / mỗi khoảng xác định c/ nghịch biến / [2 ; 4]. d/ đồng biến / [2 ; +¥). e/ nghịch biến / ¡. 5.* Chứng minh rằng hàm số f(x) = x + cos2x đồng biến trên ¡. Vấn đề 2: Tìm m để hàm số tăng (giảm) 1. Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ ) Tập xác định Đạo hàm y/ ( y’ = 0 Û ax2 + bx + c = 0) Hàm số tăng (giảm) trên ¡ ( trong từng khoảng xác định): y/ ³ 0 "x Î ¡ Û (hay) . Giải tìm m. Chú ý: Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì phải xét khi a = 0 2. Hàm số nhất biến : Tập xác định Đạo hàm y/ Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác định : y/ > 0 ( y/ 0 ( < 0 ). Giải tìm m Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0 1) Với giá trị nào của m thì y = 2x3-3(m+2)x2 + 6(m+1)x -3m +5 luôn đồng biến/ ¡ TXĐ: D = ¡. y’ = 6x2 – 6(m+2)x + 6(m+1). Hs luôn luôn đồng biến y’ 0, x¡ x2 – (m+2)x + (m+1) 0..m2 0 m = 0 2) Tìm m để hàm số: y = nghịch biến trên từng khoảng xác định TXĐ: D = ¡ \ {- m} y’ = . Hs nghịch biến trên từng khoảng xác định y’0,xDm2 +m -2 < 0 -2< m<1 Bài tập tự luyện 1) Với các giá trị nào của a thì hàm số y = ax – x3 nghịch biến trên ¡ . (a ≤ 0) 2) Định m để y = f(x) = x3 - 3(m+1)x2 + 3(m +1)x+1 luôn đồng biến ¡. (1 £ m £ 0) 3) Tìm mÎ ¢ để f(x) = đồng biến / từng khoảng xác định của nó (m = 0) 4) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó (ĐS : m ≤ - 1 V m ³ 2 ) 5) Tìm m để luôn đồng biến (suy biến). (ĐS : m = - 1) 7)* Tìm m để hàm số y = x2.(m - x) - m đồng biến trên (1;2). (ĐS : m ³ 3) 8) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến / từng khoảng xác định a) ; b) y = x + 2 +

Tài liệu đính kèm:

TinhDonDieu.doc

Tài liệu liên quan

Đề thi thử đại học lần 01 môn thi: Toán; khối: A
Lượt xem: 1084 Lượt tải: 0
Các đề thi đại học Tích phân những năm gần đây
Lượt xem: 1722 Lượt tải: 0
Bài giảng Đạo hàm & vi phân
Lượt xem: 2284 Lượt tải: 1
Bài tập Giải tích 12 - Khảo sát hàm số
Lượt xem: 1727 Lượt tải: 0
Chuyên đề: Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình Mũ_Logarit (Thái Thanh Tùng)
Lượt xem: 854 Lượt tải: 0
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2012 - Tỉnh Bến Tre
Lượt xem: 1015 Lượt tải: 0
Phương pháp đổi biến trong bài toán chứng minh bất đẳng thức
Lượt xem: 1537 Lượt tải: 0
Chuyên đề Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình (GV: Nguyễn Sỹ An)
Lượt xem: 813 Lượt tải: 0
Đề 1 thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2010 môn thi : Toán - Khối A
Lượt xem: 1007 Lượt tải: 0
Một số đề thi thử Đại học môn Toán
Lượt xem: 1334 Lượt tải: 0