Phân Tích đa Thức Thành Nhân Tử: Lý Thuyết Và Bài Tập

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 bao gồm kiến thức lý thuyết và nhiều dạng câu hỏi khác nhau có đáp án giải chi tiết kèm theo bài tự luyện. Qua đó các bạn học sinh lớp 8 củng cố và mở rộng kiến thức giải toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt hơn.

Phân tích đa thức thành nhân tử các em học sinh sẽ được thử sức với các dạng bài tập trắc nghiệm kết hợp tự luận từ cơ bản đến nâng cao. Qua tài liệu này giúp các em tự tin kiểm tra và nắm vững kiến thức mình đã học. Với 12 bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử tự luyện nhằm giúp các em ôn luyện vận dụng vào giải bài tập thật nhuần nhuyễn. Vậy sau đây là trọn bộ tài liệu bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử mời các bạn cùng theo dõi tại đây. Bên cạnh đó để nâng cao kiến thức Toán 8 các bạn xem thêm: bài tập về hằng đẳng thức, bài tập toán nâng cao lớp 8, bài tập hiệu hai bình phương.

Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử

• I. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?
• II. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
• III. Các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 (Có đáp án)
• IV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử

I. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

1. Định nghĩa:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ:

a) 2x2+ 5x - 3 = (2x - 1).(x + 3)

b) x - 2\(\sqrt{x}\)y +5\(\sqrt{x}\)- 10y = [(\(\sqrt{x}\))2– 2\(\sqrt{x}\) y ] + (5\(\sqrt{x}\)- 10y)

= \(\sqrt{x}\)(\(\sqrt{x}\)- 2y) + 5(\(\sqrt{x}\)- 2y)

= (\(\sqrt{x}\)- 2y)(\(\sqrt{x}\) + 5)

II. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

a) Phương pháp đặt nhân tử chung:

Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.

Công thức:

AB + AC = A(B + C)

Ví dụ:

1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2)

2. 3x + 12 \(\sqrt{x}\) y = 3 \(\sqrt{x}\)(\(\sqrt{x}\) + 4y)

b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.

*Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2

A2 - B2 = (A + B)(A - B)

(A+B)3= A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

(A - B)3= A3 - 3A2B + 3AB2-B3

A3 + B3 = (A+B) (A2 - AB + B2)

A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2)

c) Phương pháp nhóm hạng tử:

Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ:

1. x2 – 2xy + 5x – 10y = (x2– 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)

= (x – 2y)(x + 5)

2. x - 3+ y – 3y = (x - 3) + (y – 3y)

= ( - 3) + y( - 3)= (- 3)( + y)

d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)

Tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c () nếu

Ví dụ:

a) 2x2-3x + 1

= 2x2 - 2x - x +1

= 2x(x - 1) - (x - 1)

= (x - 1)(2x - 1)

e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

Ví dụ:

a) y4+ 64 = y4+ 16y2 + 64 - 16y2

= (y2 + 8)2 - (4y)2

= (y2 + 8 - 4y)(y2 + 8 + 4y)

b) x2+ 4 = x2+ 4x + 4 - 4x = (x + 2)2 - 4x

= (x + 2)2 - =

f. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:

Ví dụ:

a) a3-a2b - ab2 + b3 = a2(a - b) - b2(a - b)

=(a - b) (a2 - b2)

= (a - b) (a - b) (a + b)

= (a - b)2(a + b)

III. Các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 (Có đáp án)

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 14x2– 21xy2+ 28x2y2 = 7x(2x - 3y2 + 4xy2)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)

c) x2+ 4x – y2+ 4 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2 - y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau :

2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x1 = -3: x2 = 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)8x3+ 4x2 - y3 - y2 = (8x3 - y3) + (4x2 - y2)

b) x2+ 5x -6 = x2 + 6x - x - 6

= x(x + 6) - (x + 6)

= (x + 6)(x - 1)

c. a4 + 16 = a4+ 8a2 + 16 - 8a2

= (a2 + 4)2 - (a)2

= (a2 + 4 +a)( a2 + 4 - a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x5+ x3+ x2 + 1):(x3 + 1)

b) (x2-5x + 6):(x - 3)

Giải:

a) Vì x5+ x3+ x2 + 1

= x3(x2 + 1) + x2 + 1

= (x2 + 1)(x3 + 1)

nên (x5 + x3 + x2 + 1):(x3 + 1)

= (x2 + 1)(x3 + 1):(x3 + 1)

= (x2 + 1)

b)Vì x2 - 5x + 6

= x2 - 3x - 2x + 6

= x(x - 3) - 2(x - 3)

= (x - 3)(x - 2)

nên (x2 - 5x + 6):(x - 3)

= (x - 3)(x - 2): (x - 3)

= (x - 2)

Bài 5 

Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

\(a)\ (x^5+x^3+x^2+1):(x^3+1)\)

\(b)\ (x^2-5x+6):(x-3)\)

Giải:

\(a)\ Vì\ x^5+x^3+x^2+1=x^3(x^2+1)+x^2+1=(x^2+1)(x^3+1)\)

nên \((x^5+x^3+x^2+1):(x^3+1)=(x^2+1)(x^3+1):(x^3+1)=(x^2+1)\)

\(b)\ Vì\ x^2-5x+6=x^2-3x-2x+6=x(x-3)-2(x-3)=(x-3)(x-2)\)

nên \((x^2-5x+6):(x-3)=(x-3)(x-2):(x-3)=(x-2)\)

Bài 6

\(a)\ y^4+64=y^4+16y^2+64-16y^2\)

\(=(y^2+8)^2-(4y)^2\)

\(=(y^2+8-4y)(y^2+8+4y)\)

\(b)\ x^2+4=x^2+4x+4-4x\)

\(=(x+2)^2-4x=(x+2)^2-(2\sqrt{x})^2\)

\(=(x-2\sqrt{x}+2)(x+2\sqrt{x}+2)\)

Bài 7' Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử:

a. \({x^2} - 7x + 6\)

b. \({x^2} - 3x - 10\)

c. \(2{x^2} + 5x - 3\)

d. \(6{x^2} + x - 7\)

Gợi ý đáp án

Bài 8: Đa thức 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) được phân tích thành nhân tử là ?

A. ( 2y + z )( 4x + 7y )B. ( 2y - z )( 4x - 7y )C. ( 2y + z )( 4x - 7y )D. ( 2y - z )( 4x + 7y )

Lời giải:

Ta có 4x( 2y - z ) + 7y( z - 2y ) = 4x( 2y - z ) - 7y( 2y - z ) = ( 2y - z )( 4x - 7y ).

Chọn đáp án B.

Bài 9: Đa thức x3( x2 - 1 ) - ( x2 - 1 ) được phân tích thành nhân tử là ?

A. ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )B. ( x3 - 1 )( x2 - 1 )C. ( x - 1 )( x + 1 )( x2 + x + 1 )D. ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )

Lời giải:

Ta có x3( x2 - 1 ) - ( x2 - 1 ) = ( x2 - 1 )( x3 - 1 ) = ( x - 1 )( x + 1 )( x - 1 )( x2 + x + 1 )

= ( x - 1 )2( x + 1 )( x2 + x + 1 )

Chọn đáp án D.

Sai lầm: Nhiều em học sinh mắc phải sai lầm là nhóm nhân tử ( x2 - 1 )( x3 - 1 ) mà không nhận ra trong hai đa thức ( x2 - 1 ) và ( x3 - 1 ) có nhân tử chung là ( x - 1 ) để đặt làm nhân tử chung. Dẫn đến nhiều em sẽ chọn đáp án B.

Bài 10 Tính giá trị của biểu thức A = x2 - y2 + 2y - 1 với x=3 và y=1.

A. A = - 9. B. A = 0.C. A = 9. D. A = - 1.

Lời giải:

Ta có A = x2 - y2 + 2y - 1 = x2 - ( y2 - 2y + 1 )

= x2 - ( y - 1 )2 = ( x - y + 1 )( x + y - 1 ) (hằng đẳng thức a2 - b2 = ( a - b )( a + b ) ).

Khi đó với x = 3 và y = 1, ta có A = ( 3 - 1 + 1 )( 3 + 1 - 1 ) = 3.3 = 9.

Chọn đáp án C.

Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + x2 + y3 + xy

A. (x + y).(x2 - xy + y2 + x)B. (x - y).(x2 + xy + y2 - x)C. (x + y).(x2 + xy + y2 - x)D. (x - y).(x2 + xy - y2 + x)

Lời giải:

Ta có: x3 + x2 + y3 + xy = (x3 + y3) + (x2 + xy)

= (x + y). (x2 – xy + y2) + x.(x + y)

= (x + y). (x2 - xy + y2 + x)

Chọn đáp án A

Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – 9x + 2x2y + xy2

A. x. (x - y + 3).(x + y - 3)B. x. (x + y + 3).(x + y - 3)C. x. (x - y + 3).(x - y - 1)D. x. (x + y + 1).(x - y - 3)

Lời giải:

Ta có: x3 – 9x + 2x2y + xy2

= x.(x2 – 9 + 2xy + y2)

= x.[(x2 + 2xy + y2) – 9]

= x.[(x + y)2 – 32]

= x.(x + y + 3).(x + y - 3)

Chọn đáp án B

Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 + 4x

A. x.(x2 + 2 ).(x2 - 2).B. x.(x2 + 2 + x).(x2 + 2- x).C. x.(x2 + 2 + 2x).(x2 + 2 - 2x).D. x.(x4 + 4)

Lời giải:

Ta có:

x5 + 4x = x.(x4 + 4)

= x.[(x4 + 4x2 + 4) - 4x2].

= x.[(x2 + 2)2 - (2x)2].

= x.(x2 + 2 + 2x).(x2 + 2 - 2x).

Chọn đáp án C

Bài 14: Tìm nhân tử chung của biểu thức 5x2(5 – 2x) + 4x – 10 có thể là

A. 5 – 2xB. 5 + 2xC. 4x – 10D. 4x + 10

Lời giải

Ta có 5x2(5 – 2x) + 4x – 10 = 5x2(5 – 2x) – 2(-2x + 5)

= 5x2(5 – 2x) – 2(5 – 2x)

Nhân tử chung là 5 – 2x

Đáp án cần chọn là: A

Bài 15: Nhân tử chung của biểu thức 30(4 – 2x)2 + 3x – 6 có thể là

A. x + 2B. 3(x – 2)C. (x – 2)2D. (x + 2)2

Lời giải

Ta có

30(4 – 2x)2 + 3x – 6 = 30(2x – 4)2 + 3(x – 2)

= 30.22(x – 2) + 3(x – 2)

= 120(x – 2)2 + 3(x – 2)

= 3(x – 2)(40(x – 2) + 1) = 3(x – 2)(40x – 79)

Nhân tử chung có thể là 3(x – 2)

Đáp án B

Bài 16 Cho x + n = 2(y – m), khi đó giá trị của biểu thức A = x2 – 4xy + 4y2 – 4m2 – 4mn – n2 bằng

A. A = 1B. A = 0C. A = 2D. Chưa đủ dữ kiện để tính

Lời giải

Ta có: A = x2 – 4xy + 4y2 – 4m2 – 4mn – n2

= x2 – 2x.2y + (2y)2 – (4m2 + 4mn + n2)

= (x – 2y)2 – (2m + n)2

= (x – 2y + 2m + n)(x – 2y – 2m – n)

Ta có: x + n = 2(y – m) ⇔ x + n = 2y – 2m

⇔ x + n = 2y – 2m

⇔ x – 2y +n + 2m = 0

Thay x – 2y + n + 2m = 0 vào A ta được

A = 0.(x – 2y – 2m – n) = 0

Vậy A = 0

Đáp án cần chọn là: B

Bài 17: Cho x – 4 = -2y. Khi đó giá trị của biểu thức M = (x + 2y – 3)2 – 4(x + 2y – 3) + 4 bằng

A. M = 0B. M = -1C. M = 1D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: M = (x + 2y – 3)2 – 4(x + 2y – 3) + 4

= (x + 2y – 3)2 – 2(x + 2y – 3).2 + 22

= (x + 2y – 3 – 2)2 = (x + 2y – 5)2

Ta có: x – 4 = -2y ⇔ x + 2y = 4

Thay x + 2y = 4 vào M ta được

M = (4 – 5)2 = (-1)2 = `

Vậy M = 1

Đáp án cần chọn là: C

Bài 18: Cho 9a2 – (a – 3b)2 = (m.a + n.b)(4a – 3b) với m, n Є R. Khi đó, giá trị của m và n là

A. m = -2; n = -3

B. m = 3; n = 2

C. m = 3; n = -4

D. m = 2; n = 3

Lời giải

Ta có: 9a2 – (a – 3b)2 = (3a)2 – (a – 3b)2 = (3a + a – 3b)(3a – a + 3b)

= (4a – 3b)(2a + 2b)

Suy ra m = 2; n = 3

Đáp án cần chọn là: D

IV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x2- y2 - 2x + 2y

b) 2x + 2y - x2 - xy

c) 3a2- 6ab + 3b2 - 12c2

d) x2 - 25 + y2 + 2xy

e) a2+ 2ab + b2 - ac - bc

f) x2 - 2x - 4y2 - 4y

g) x2y - x3- 9y + 9x

h) x2(x -1) + 16(1- x)

Bài 2:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

1) 4x2 – 25 + (2x + 7)(5 – 2x)

2) 3(x+ 4) – x2 – 4x

3) 5x2 – 5y2 – 10x + 10y

4) x2 – xy + x – y

5) ax – bx – a2 + 2ab – b2 \

6) x2 + 4x – y2 + 4

7) x3 – x2 – x + 1

8) x4 + 6x2y + 9y2 - 1

9) x3 + x2y – 4x – 4y

10) x3 – 3x2 + 1 – 3x

11) 3x2 – 6xy + 3y2 – 12z2

12) x2 – 2x – 15

13) 2x2 + 3x – 5

14) 2x2 – 18

15) x2 – 7xy + 10y2

16) x3 – 2x2 + x – xy2

Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. x2+ 2xy – 8y2+ 2xz + 14yz – 3z2

2. 3x2– 22xy – 4x + 8y + 7y2+ 1

3. 12x2+ 5x – 12y2+ 12y – 10xy – 3

4. 2x2– 7xy + 3y2+ 5xz – 5yz + 2z2

5. x2+ 3xy + 2y2+ 3xz + 5yz + 2z2

6. x2– 8xy + 15y2+ 2x – 4y – 3

7. x4– 13x2+ 36

8. x4+ 3x2– 2x + 3

9. x4+ 2x3+ 3x2 + 2x + 1

Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. (a – b)3+ (b – c)3+ (c – a)3

2. (a – x)y3– (a – y)x3– (x – y)a3

3. x(y2– z2) + y(z2– x2) + z(x2 – y2)

4. (x + y + z)3– x3– y3 – z3

5. 3x5– 10x4– 8x3 – 3x2 + 10x + 8

6. 5x4+ 24x3– 15x2 – 118x + 24

7. 15x3+ 29x2– 8x – 12

8. x4– 6x3+ 7x2 + 6x – 8

9. x3+ 9x2+ 26x + 24

Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. a(b + c)(b2– c2) + b(a + c)(a2– c2) + c(a + b)(a2 – b2)

2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

3. a(b2– c2) – b(a2– c2) + c(a2 – b2)

4. (x – y)5+ (y – z)5+ (z – x)5

5. (x + y)7– x7– y7

6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc

7. (x + y + z)5– x5– y5 – z5

8. a(b2+ c2) + b(c2+ a2) + c(a2 + b2) + 2abc

9. a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)

10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1

Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. (x2+ x)2+ 4x2 + 4x – 12

2. (x2+ 4x + 8)2+ 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2

3. (x2+ x + 1)(x2+ x + 2) – 12

4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

5. (x2+ 2x)2+ 9x2 + 18x + 20

6. x2– 4xy + 4y2– 2x + 4y – 35

7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

8. (x2+ x)2+ 4(x2 + x) – 12

9. 4(x2+ 15x + 50)(x2+ 18x + 72) – 3x2

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Bài tập 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 30

b) 4x4 - 8x3 + 3x2 - 8x + 4

c) 2x4 - 15x3 + 35x2 - 30x + 8

d) 2x3 - x2 + 5x + 3

Bài tập 10: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Bài tập 11: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Bài tập 12: Dùng phương pháp tách hạng tử và thêm bớt cùng hạng tử phân tích các đa thức dưới đây thành nhân tử: