Phương Pháp Toán Tử Laplace Docx - 123doc

6.3.1 Giới thiệu phương phápBài toán quá độ PTVPHệ PTVP1 Nghiệm xác lập Nghiệm tự do yt = yxlt + ytdt Phương trình toán tử biến s uc0 - iL0 - kiệnSơ Ảnh Laplace của tín hiệu cần tìm Ys

6.3 Phương pháp toán tử Laplace

6.3.1 Giới thiệu phương pháp

6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất

6.3.3 Dạng toán tử định luật mạch

6.3.4 Biến đổi ngược Laplace

6.3.5 Aùp dụng cho bài toán quá độ

6.3.6 PP toán tử và bài toán không chỉnh

6.3.7 PP toán tử cho thành phần tự do

6.3.1 Giới thiệu phương pháp

Bài toán

quá độ PTVPHệ PTVP(1)

Nghiệm xác lập

Nghiệm tự do

y(t) = yxl(t) + ytd(t)

Phương trình toán tử (biến s)

uc(0 - )

iL(0 - ) kiệnSơ

Ảnh Laplace của tín hiệu cần tìm Y(s) y(t)Giải phương

trình đại số

Biến đổi ngược

Biến đổi Laplace

Toán tử

trực tiếp

sơ đồ

mạch

6.3.2 Biến đổi Laplace và tính chất

ƒ Hàm trễ 1(t-t 0 ) :

ƒ Hàm đơn vị 1(t) :

ƒ Biến đổi ngược Laplace:

f(t) = £ -1 {F(s)} = hàm gốc của F(s) (Dùng bảng tra gốc ảnh &định lý Heavyside )

ƒ Biến đổi Laplace:

F(s) = £{f(t)} = ảnh Laplace của

ƒ Các hàm cơ bản và ảnh Laplace

func.) G(t) và hàm trễ của nó:

khi t

G ®­f ll z

¯

0 0

ƒ Bảng tính chất của biến đổi Laplace



0

( ) { ( ) }

0

lim ( ) ( ) lim[ ( )]

of f o

ƒXác định ảnh Laplace của các hàm

0

6 f(t) = Asin( Zt)

7 f(t) = Asin( Zt +M) (nguồn ACõ)

8 f(t) = At + B F(s) = A/s 2 + B/s

0

1 ( ) st



ƒẢnh Laplace của các hàm xung

6.3.3 Dạng toán tử các luật của mạch

1 Luật Ohm dạng toán tử :

a) Điện trở: Ởmiền s , giữ

nguyên là điện trở

b) Điện cảm: hai sơ đồ

sL = cảm kháng toán tử ( :)

c) Tụ điện : Hai sơ đồ

1/sC = dung kháng toán tử

ƒ Luật Ohm dạng toán tử (tiếp theo)

d) Hỗ cảm :

sM = cảm kháng hỗ cảm toán

tử ( :)

e) Nguồn : chỉ thay thế bằng

ảnh Laplace tương ứng.

+ _

e(t) j(t)

E(s) J(s)

i1(t) i2(t) I1(s) I2(s)

L2i2(0 - )

L1i1(0 - )

Mi2(0 - ) Mi1(0 - )

ƒ Luật Ohm dạng toán tử (tiếp theo)

„ Trên một nhánh bất kỳ của sơ

đồ toán tử , ta có :

U(s) = Z(s).I(s) Hay:

I(s) = Y(s).I(s) Z(s) = trở kháng toán tử ( :)

Y(s) = dẫn nạp toán tử (S)

„ Z(s) và Y(s) đều tuân theo các

phép biến đổi tương đương như

điện trở và điện dẫn

2

1/0,5s

I(s) U(s)

2 Luật Kirchhoff dạng toán tử

„ Luật K2 :

„ Việc xét dấu như đối với mạch điện trở.

„ Do các luật Ohm và Kirchhoff viết cho mạch toán tử cũng tương tự viết cho mạch phức nên ta có thể áp dụng các phương pháp phân tích mạch xác lập đã học cho sơ đồ toán tử khi tìm ảnh Laplace bất kỳ

( ) 0

k node

U s

r

¦

6.3.4 Biến đổi ngược Laplace

„ Rút gọn ảnh Laplace Y(s) về phân thức hữu tỉ tối giản:

„ Phương trình A(s) = 0 vẫn gọi là PTĐT Các trường hợp :

1 PTĐT có nghiệm thực , đơn: s i : i = 1 y n

Với các hệ số :

ƒ Biến đổi ngược Laplace (tiếp theo)

2 PTĐT có nghiệm bội : s 1 bội r Ta biến đổi :

ƒ Biến đổi ngược Laplace (tiếp theo)

3 PTĐT có nghiệm phức : s 1,2 = - D + jE , các nghiệm còn lại là thực , phân biệt :

„ Lưu ý : Các hệ số K i trong phần 2 và 3 xác định như cho nghiệm thực , đơn trong phần 1 .

1

1

3 1

( ) ( ) 2 Re

6.3.5 Aùp dụng cho bài toán quá độ

Các bước áp dụng cho bài toán quá độ :

„ Xác định u C (0 - ) và i L (0 - )

„ Xây dựng sơ đồ toán tử cho mạch tại t > 0 Chú ý xác định ảnh Laplace của tác động và của tín hiệu cần tìm.

ảnh Laplace Y(s) của tín hiệu cần tìm.

(P 2 bđtđ; P 2 dòng nhánh; P 2 thế nút; P 2 dòng mắc lưới …)

„ Biến đổi ngược Laplace tìm y(t) từ Y(s).

ƒ Phương pháp toán tử : Ví dụ 1

tìm áp u(t) khi t > 0 ?

Giải

„ Khi t < 0 : Ta có u C (0 - ) = 4 (V)

„ Sơ đồ toán tử như hình bên.

„ Tìm U(s) bằng thế nút.

8 / 3( )

ƒ Phương pháp toán tử : Ví dụ 2

khóa K đóng lại tại t = 0 , biết

i L (0 - ) = 0 và u C (0 - ) = 0 , xác định

i(t) khi t > 0 ?

Giải

„ Sơ đồ toán tử như hình bên.

ƒ Ví duï 2 (tieáp theo)

ƒ Phương pháp toán tử : Ví dụ 3

i L (0 - ) = 0 và u C (0 - ) = 0 ; xác

định u(t) tại t > 0 theo phương

pháp toán tử Laplace ?

Giải

„ Sơ đồ toán tử như hình bên.

ƒ Ví duï 3 (tieáp theo)

ƒ Phương pháp toán tử : Ví dụ 4

ƒ Ví duï 4 (tieáp theo)

ƒ Phương pháp toán tử : Ví dụ 5

ƒ Ví dụ 5 (tiếp theo)

Với :

( ) 1 ( ) ( )

f t  E Ee

ƒ Ví duï 5 (tieáp theo)

t T

°

!

¯

ƒ Phương pháp toán tử : Ví dụ 6

ƒ Ví dụ 6 (tiếp theo)

„ Tìm U(s) : Dùng dòng mắc lưới

„ Vậy : u(t) = 2(e-2/3t – e-2t).1(t) V

1 2

12( )

ƒ Phương pháp toán tử : Ví dụ 7

„ Cho mạch như hình bên, xác

Mà I(s) = (1/s)/4 , như vậy :

Vậy u(t) = [ - 0,5 + 0,5e -4t ].1(t) V

ƒ Phương pháp toán tử : Ví dụ 8

„ Với PP toán tử , các bài toán không chỉnh là các bài toán xuất hiện các hàm G(t) và đạo hàm của nó trong miền thời gian.

0, 5 40 ( 80)

3 0, 6 ( )

80

L

L

s s

ƒ Ví dụ 3

„ Tìm i 2 (t) khi t > 0 ?

Giải

„ Các giá trị 0 - là không và

btoán không chỉnh (do k=1)

„ Tìm I 2 (s) : PP dòng mắc lưới

ƒ Ví dụ 4

„ Khóa chuyển từ a -> b , xác

định u ab (t) và i 2 (t) khi t > 0 ?

Giải

„ Khi t < 0: dòng qua các cuộn

dây chọn hướng trên xuống.

i L1 (0 - ) = 1 A

i L2 (0 - ) = 1 A

dòng qua cuộn dây không

thỏa luật đóng mở.

t=0

0,005 H

ƒ Ví dụ 4 (tiếp theo)

„ Sơ đồ toán tử:

„ Vậy:

I2(s)

100 : 0,01s

0,01s

100 :

*

* a

thành phần tự do

„ Do tồn tại nguồn AC ở t > 0 , ảnh Laplace Y(s) sẽ rất phức tạp , khó tìm gốc Do đó người ta áp dụng phương pháp toán tử cho thành phần tự do Phương pháp này tránh cả hai khuyết điểm :

„ Sự phức tạp của Y(s).

„ Bài toán không chỉnh

„ Tuy nhiên khuyết điểm của nó là quá trình tính dài, và thậm chí phải đi xác định các đại lượng mà đề bài không yêu cầu ( u Cxl (t) và i Lxl (t) )

„ Xác định sơ kiện tự do :

„ Lập sơ đồ toán tử cho thành phần tự do : Triệt tiêu nguồn độc lập; toán tử hóa sơ đồ dùng u Ctd (0 + ) , i Ltd (0 + ) ; Tìm Y td (s)

; biến đổi ngược tìm y td (t)

„ Nghiệm quá độ toàn phần : y(t) = y xl (t) + y td (t)

ƒ PP Toán tử TPTD : Ví dụ 1

„ Tìm u C (t) và i 2 (t) khi t >

0 theo phương pháp

toán tử cho thành phần

tự do , biết:

Giải

„ Khi t < 0 :

+ -

C

u i

o xl

j

˜



o td

ƒ PP Toán tử TPTD : Ví dụ 1 (tt 2)

„ Pt A(s) = 0 có nghiệm phức : s1,2  250 r j 2220

( 250 2220) 1

2

1

2732 0, 366 ( ) 2 Re

j t td

1

546, 4 0, 6392.10 ( ) 2 Re

j t Ctd

i1(t) j100 : I.L

C

o

o L

o C

2 (0 ) 50( )

ƒ PP Toán tử TPTD : Ví dụ 2 (tt 1)

„ Khi t > 0 :

„ Nghiệm xác lập : Mạch phức

4( ) 0, 784sin(10 71,3 )( )o

ƒ PP Toán tử TPTD : Ví dụ 2 (tt 3)

Vậy : thành phần tự do :

„ Nghiệm quá độ toàn phần :