Toán Tử Laplace Với Mật độ - TaiLieu.VN

OPTADS360 intTypePromotion=1 Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

• Danh mục
  • • Tài Liệu Tham Khảo
      • Kinh Doanh-Marketing
      • Kinh Tế - Quản Lý
      • Tài Chính - Ngân Hàng
      • Công Nghệ Thông Tin
      • Ngoại Ngữ
      • Kỹ Thuật - Công Nghệ
      • Khoa Học Tự Nhiên
      • Khoa Học Xã Hội
      • Văn Hoá - Nghệ Thuật
      • Biểu mẫu - Văn bản
      • Sáng kiến kinh nghiệm
      • Ôn thi ĐH-CĐ
      • Giáo án điện tử
      • Bài giảng điện tử
      • Đề thi - Kiểm tra
      • Bài tập SGK
    • Bộ Tài Liệu 4.0
    • Bộ Sưu Tập
    • Luận Văn & Đề Tài
    • Mẫu Slide Powerpoint
    • Khóa Học Online
    • Tài Liệu Phổ Thông
      • Bài học SGK
      • Giải SGK
      • Soạn văn
      • Văn mẫu
      • Đề Thi
      • Trắc nghiệm Online
    • Học trực tuyến
      • Học Online
      • Đề thi Online
      • Tư liệu
    • Trắc Nghiệm MBTI
    • Trắc Nghiệm Holland

NÂNG CẤP Đăng Nhập | Đăng Ký Chủ đề »

• Đề thi toán cao cấp 2
• Đại số tuyến tính
• Toán rời rạc
• Xác suất thống kê
• Phương trình vi phân
• 
  • Toán cao cấp
  • Toán kinh tế

• HOT
  • CMO.03: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
  • CEO.27: Bộ Tài Liệu Dành Cho StartUp...
  • TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
  • CEO.29: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
  • FORM.07: Bộ 125+ Biểu Mẫu Báo Cáo...
  • LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y...
  • FORM.04: Bộ 240+ Biểu Mẫu Chứng Từ Kế...
  • FORM.08: Bộ 130+ Biểu Mẫu Thống Kê...
  • LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên...
  CEO.24: Bộ 240+ Tài Liệu Quản Trị Rủi Ro Doanh...

TUYỂN SINH YOMEDIA ADSENSE Trang Chủ » Khoa Học Tự Nhiên » Toán học Toán tử Laplace với mật độ

Chia sẻ: ViZeus ViZeus | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST Báo xấu 30 lượt xem 1 download Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, chúng tôi trình bày các khái niệm về vi phân ngoài với mật độ của một dạng vi phân, đạo hàm với mật độ của một hàm, tích trong với mật độ và tích phân với mật độ như là sự mở rộng của các khái niệm tương ứng trong không gian Euclid cũng như các tính chất của chúng.

AMBIENT/ Chủ đề:

• Toán tử Laplace với mật
• Không gian Euclid
• Toán tử Laplace
• Mật độ của một hàm
• Vi phân ngoài với mật độ
• Đẳng cấu tuyến tính

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Đăng nhập để gửi bình luận! Lưu

Nội dung Text: Toán tử Laplace với mật độ

TOÁN TỬ LAPLACE VỚI MẬT ĐỘ<br /> NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN<br /> Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br /> <br /> Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi trình bày các khái niệm về vi<br /> phân ngoài với mật độ của một dạng vi phân, đạo hàm với mật độ của<br /> một hàm, tích trong với mật độ và tích phân với mật độ như là sự mở<br /> rộng của các khái niệm tương ứng trong không gian Euclid cũng như<br /> các tính chất của chúng. Trên cơ sở đó, chúng tôi trình bày các kết quả<br /> của toán tử Laplace với mật độ của một hàm và của một siêu mặt trong<br /> Rn .<br /> <br /> 1 GIỚI THIỆU<br /> Trong không gian Euclid, toán tử Laplace của một hàm f (x1 , x2 , ..., xn ) được xác<br /> định bởi công thức ∆f = div∇f, trong đó<br /> ∇f = (<br /> <br /> ∂f ∂f<br /> ∂f<br /> ∂ ∂f<br /> ∂ ∂f<br /> ∂ ∂f<br /> ,<br /> ,··· ,<br /> ); div∇f =<br /> +<br /> + ··· +<br /> .<br /> ∂x1 ∂x2<br /> ∂xn<br /> ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x2<br /> ∂xn ∂xn<br /> <br /> Đối với mặt tham số X : U ⊂ R2 −→ R3 với X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),<br /> toán tử Laplace của mặt X được xác định bởi công thức ∆X := (∆x, ∆y, ∆z) =<br /> Xuu + Xvv . Khi đó tính cực tiểu của mặt có mối quan hệ chặt chẽ với toán tử Laplace<br /> của mặt. Điều này được khẳng định bởi định lý: Nếu mặt X(u, v) là mặt tham số<br /> trực giao thì ta có đẳng thức ∆X = Xuu + Xvv = (2EH)N. Hay nói cách khác, mặt<br /> tham số trực giao X(u, v) là cực tiểu khi và chỉ khi ∆X = 0.<br /> Không gian với mật độ là không gian Euclid với một hàm dương eφ dùng làm trọng<br /> số trong việc ước lượng thể tích. Hướng nghiên cứu không gian với mật độ đang thu<br /> hút nhiều nhóm tác giả trong đó phải kể đến nhóm nghiên cứu của giáo sư Morgan.<br /> Nhiều kết quả về mặt cực tiểu với mật độ nói chung và toán tử Laplace với mật độ<br /> nói riêng đã được đưa ra trong thời gian gần đây. Đây là vấn đề thời sự đang thu<br /> hút nhiều nhà toán học.<br /> Theo trên, trong không gian Euclid toán tử Laplace của mặt được xác định bởi các<br /> toán tử ∇ và div. Do đó, muốn mở rộng khái niệm toán tử Laplace lên không gian<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 02(14)/2010: tr. 15-24<br /> <br /> 16<br /> <br /> NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN<br /> <br /> với mật độ ta cần quan tâm đến việc xây dựng các phép toán vi phân ngoài với mật<br /> độ, đạo hàm với mật độ. Đi cùng với các phép toán này ta có các phép toán tích<br /> trong với mật độ và tích phân với mật độ.<br /> Cuối cùng, khi đã có các phép toán như trên ta xây dựng khái niệm toán tử Laplace<br /> với mật độ sao cho nó thực sự là sự mở rộng khái niệm từ không gian Euclid lên<br /> không gian với mật độ. Hơn nữa, nó vẫn giữ mối quan hệ giữa toán tử Laplace với<br /> tính cực tiểu của mặt tham số trực giao.<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Vi phân ngoài với mật độ của một dạng vi phân<br /> <br /> Định nghĩa 1.1.1. Gọi ω là một k-dạng vi phân trên Rn với mật độ eφ . Vi phân<br /> ngoài với mật độ eφ của ω được xác định bởi công thức như sau:<br /> dφ ω := e−φ d(eφ ω)<br /> <br /> (1)<br /> <br /> Một dạng vi phân ω được gọi là dφ -đóng nếu dφ w = 0. Điều này tương đương với<br /> d(eφ ω) = 0. Một dạng vi phân ω được gọi là dφ -khớp nếu ω = dφ η.<br /> Khái niệm dφ như trên đã được xuất hiện trong các tài liệu [1] và [3].<br /> Nhận xét 1.<br /> 1. Dễ dàng kiểm tra được một dạng vi phân ω là dφ -khớp thì cũng là dạng vi phân<br /> dφ -đóng nhờ tính toán đơn giản sau:<br /> (<br /> )<br /> dφ ω = e−φ d(eφ ω) = e−φ d eφ e−φ d(eφ η) = e−φ d2 (eφ η) = 0.<br /> 2. Gọi ω là một k-dạng vi phân trên Rn , lúc đó ta có d2φ ω = 0. Thật vậy ta có:<br /> d2φ ω = dφ (dφ ω) = e−φ d(eφ dφ ω) = e−φ d(eφ e−φ deφ ω) = e−φ d2 (eφ ω) = 0.<br /> Mệnh đề 1.1.1. Gọi Λk (T Rn )⋆ là tập hợp tất cả các k-dạng trên Rn .<br /> Ta có ánh xạ f : Λk (T Rn )⋆ −→ Λk (T Rn )⋆ , ω 7−→ eφ ω là một đẳng cấu tuyến<br /> tính, biến dạng vi phân dφ -đóng (khớp) thành dạng vi phân d-đóng (khớp). Vì vậy,<br /> k<br /> k<br /> HW<br /> DR = HDR .<br /> Chứng minh. Dễ dàng nhận thấy f là một đẳng cấu tuyến tính.<br /> <br /> (<br /> )<br /> Giả sử ω là một dạng vi phân dφ -đóng. Ta có e−φ d(eφ ω) = 0, suy ra d f (ω) = 0.<br /> Do đó f biến dạng vi phân dφ -đóng thành dạng vi phân d-đóng.<br /> <br /> 17<br /> <br /> TOÁN TỬ LAPLACE VỚI MẬT ĐỘ<br /> <br /> Giả sử ω = dφ η. Ta có ω = e−φ d(eφ η), suy ra f (ω) = d(eφ η). Do đó f biến dạng vi<br /> phân dφ -khớp thành dạng vi phân d-khớp.<br /> ker dk+i<br /> k<br /> k<br /> k<br /> Vì vậy, với HDR<br /> =<br /> , ta có HW<br /> DR = HDR .<br /> Im dk<br /> Định lý 1.1.1. Gọi ω1 , ω2 là hai k-dạng, khi đó ta có<br /> 1. Vi phân của tổng<br /> dφ (ω1 + ω2 ) = dφ ω1 + dφ ω2 .<br /> 2. Vi phân của tích<br /> dφ (ω1 ∧ ω2 ) = dφ ω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dω2<br /> = dω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dφ ω2 .<br /> <br /> (2)<br /> (3)<br /> <br /> Chứng minh. Từ định nghĩa dφ ta dễ dàng thu được điều cần chứng minh.<br /> Hệ quả 1.1.1. Tích của một dạng vi phân dφ -đóng và một dạng vi phân d-đóng<br /> hoặc tích của một dạng vi phân d-đóng và một dạng vi phân dφ -đóng là một dạng vi<br /> phân dφ -đóng.<br /> Chứng minh.<br /> 1. Từ (2) ta có tích của một dạng vi phân dφ -đóng và một dạng vi phân d-đóng<br /> là một dạng vi phân dφ -đóng.<br /> 2. Từ (3) ta có tích của một dạng vi phân d-đóng và một dạng vi phân dφ -đóng<br /> là một dạng vi phân dφ -đóng.<br /> <br /> 1.2<br /> <br /> Đạo hàm với mật độ của một hàm<br /> <br /> Định nghĩa 1.2.1. Đạo hàm với mật độ của một hàm được xác định bởi công thức<br /> ∂f<br /> ∂φ<br /> ∂φ f<br /> :=<br /> +<br /> f.<br /> ∂xi<br /> ∂xi ∂xi<br /> Định lý 1.2.1.<br /> <br /> (4)<br /> <br /> 18<br /> <br /> NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN<br /> <br /> 1. Gọi f, g : Ω ⊂ Rn −→ R là hai ánh xạ, λ ∈ R, khi đó ta có<br /> ∂φ (f + g)<br /> ∂φ f<br /> ∂φ g<br /> =<br /> +<br /> ,<br /> ∂xi<br /> ∂xi<br /> ∂xi<br /> ∂φ (λf )<br /> ∂φ f<br /> =λ<br /> ,<br /> ∂xi<br /> ∂xi<br /> <br /> ∀i = 1, 2, . . . , n.<br /> <br /> (5)<br /> <br /> ∀i = 1, 2, . . . , n.<br /> <br /> (6)<br /> <br /> 2. Gọi f : Rn −→ R là một ánh xạ, khi đó ta có<br /> ∂φ2 f<br /> ∂φ2 f<br /> =<br /> .<br /> ∂xi ∂xj<br /> ∂xj ∂xi<br /> <br /> (7)<br /> <br /> Chứng minh.<br /> 1. Dễ dàng suy ra từ định nghĩa.<br /> 2.<br /> ∂φ2 f<br /> ∂φ ( ∂f<br /> ∂φ )<br /> =<br /> +<br /> f<br /> ∂xi ∂xj<br /> ∂xj ∂xi ∂xi<br /> ∂ 2f<br /> ∂ 2φ<br /> =<br /> +<br /> +<br /> ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj<br /> ∂ 2φ<br /> ∂ 2f<br /> +<br /> +<br /> =<br /> ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj<br /> ∂φ2 f<br /> =<br /> .<br /> ∂xj ∂xi<br /> <br /> Định lý 1.2.2. Nếu w =<br /> <br /> ∑<br /> I<br /> <br /> ∂φ ∂f<br /> ∂φ ( ∂f<br /> ∂φ )<br /> +<br /> +<br /> f<br /> ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi<br /> ∂φ ∂f<br /> ∂φ ∂f<br /> ∂φ ∂φ<br /> +<br /> +<br /> f<br /> ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi<br /> <br /> ∑ ∑ ( ∂ωI<br /> ∂φ )<br /> ωI dxI thì dφ ω =<br /> +<br /> ωI dxα dxI .<br /> ∂xα ∂xα<br /> I α<br /> <br /> Chứng minh. Dễ dàng suy ra từ định nghĩa dφ ω và định nghĩa<br /> <br /> 1.3<br /> <br /> ∂φ f<br /> .<br /> ∂xi<br /> <br /> Tích trong với mật độ<br /> <br /> Định nghĩa 1.3.1. Gọi ω1 , ω2 là hai dạng vi phân trên Rn , ta định nghĩa tích trong<br /> (hay tích) với mật độ của ω1 , ω2 như sau:<br /> ω1 ∧φ ω2 := eφ ω1 ∧ ω2 .<br /> <br /> (8)<br /> <br /> ⊕ k n<br /> Ω (R ) là tập tất cả các dạng vi phân trên Rn , khi đó<br /> Định lý 1.3.1. Gọi<br /> k<br /> (⊕ k n<br /> )<br /> Ω (R ), +, ∧φ là một vành.<br /> k<br /> <br /> 19<br /> <br /> TOÁN TỬ LAPLACE VỚI MẬT ĐỘ<br /> <br /> Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra<br /> <br /> (⊕<br /> k<br /> <br /> từ định nghĩa tích ∧φ như trên.<br /> Định lý 1.3.2. Tập<br /> <br /> (⊕<br /> <br /> )<br /> Ωk (Rn ), +, ∧φ thoả mãn các tiên đề của vành<br /> <br /> )<br /> k<br /> HW<br /> (Rn ), +, ∧φ là một vành, trong đó:<br /> <br /> k<br /> <br /> k<br /> HW<br /> (Rn )<br /> <br /> ker dkφ<br /> =<br /> .<br /> Im dk−1<br /> φ<br /> <br /> (9)<br /> <br /> Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh phép toán tích của hai lớp tương đương<br /> không phụ thuộc phần tử đại diện, điều này cũng tương đương với việc chứng minh<br /> [(ω1 + dφ η1 ) ∧φ (ω2 + dφ η2 )] độc lập với η1 và η2 . Thật vậy, ta có:<br /> (ω1 + dφ η1 ) ∧φ (ω2 + dφ η2 ) = ω1 ∧φ ω2 + ω1 ∧φ dφ η2 + dφ η1 ∧φ ω2 + dφ η1 ∧φ dφ η2<br /> (<br /> )<br /> = ω1 ∧φ ω2 + dφ (−1)k ω1 ∧φ η2 + η1 ∧φ ω2 + η1 ∧φ dφ η2<br /> Suy ra, [(ω1 + dφ η1 ) ∧φ (ω2 + dφ η2 )] = [ω1 ∧φ ω2 ]. Do đó ta có [ω1 ] ∧φ [ω2 ] = [ω1 ∧φ ω2 ].<br /> (⊕ k n<br /> )<br /> Mặt khác, chúng ta dễ dàng kiểm tra<br /> HW (R ), +, ∧φ thoả mãn các tiên đề của<br /> k<br /> <br /> vành.<br /> <br /> 1.4<br /> <br /> Tích phân với mật độ<br /> <br /> Định nghĩa 1.4.1. Gọi ω là một k-dạng trên đa tạp M , ta có định nghĩa sau:<br /> ∫<br /> <br /> ∫<br /> eφ ω.<br /> <br /> ω :=<br /> M<br /> <br /> (10)<br /> <br /> M<br /> <br /> Với định nghĩa tích phân với mật độ như trên ta có định lý Stokes như sau:<br /> Định lý 1.4.1 (Stokes). Gọi ω là một k-dạng trên đa tạp M , khi đó:<br /> ∫<br /> <br /> ∫<br /> ω=<br /> <br /> ∂M<br /> <br /> dφ ω.<br /> <br /> (11)<br /> <br /> M<br /> <br /> Chứng minh. áp dụng định lý Stokes, ta có:<br /> ∫<br /> <br /> ∫<br /> ω=<br /> <br /> ∂M<br /> <br /> ∫<br /> φ<br /> <br /> e ω=<br /> ∂M<br /> <br /> M<br /> <br /> (<br /> )<br /> d eφ ω =<br /> <br /> ∫<br /> <br /> φ −φ<br /> <br /> e e<br /> M<br /> <br /> (<br /> )<br /> d eφ ω =<br /> <br /> ∫<br /> dφ ω.<br /> M<br /> <br />  ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn: Đồng ý Thêm vào bộ sưu tập mới: *Tên bộ sưu tập Mô Tả: *Từ Khóa: Tạo mới Báo xấu

• Hãy cho chúng tôi biết lý do bạn muốn thông báo. Chúng tôi sẽ khắc phục vấn đề này trong thời gian ngắn nhất.
• Không hoạt động
• Có nội dung khiêu dâm
• Có nội dung chính trị, phản động.
• Spam
• Vi phạm bản quyền.
• Nội dung không đúng tiêu đề.

Hoặc bạn có thể nhập những lý do khác vào ô bên dưới (100 ký tự): Vui lòng nhập mã xác nhận vào ô bên dưới. Nếu bạn không đọc được, hãy Chọn mã xác nhận khác.. Đồng ý LAVA AANETWORK THÔNG TIN

• Về chúng tôi
• Quy định bảo mật
• Thỏa thuận sử dụng
• Quy chế hoạt động

TRỢ GIÚP

• Hướng dẫn sử dụng
• Upload tài liệu
• Hỏi và đáp

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

• Liên hệ
• Hỗ trợ trực tuyến
• Liên hệ quảng cáo

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

Đang xử lý... Đồng bộ tài khoản Login thành công! AMBIENT