Phương Trình Chứa Căn Thức: Lý Thuyết, Phương Pháp Giải Và Bài Tập

Số lượt đọc bài viết: 21.523

Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa căn là một dạng toán phổ biến trong chương trình toán lớp 9 và lớp 10. Vậy có những dạng PT chứa căn nào? Phương pháp giải phương trình chứa căn?… Trong nội dung bài viết dưới dây, DINHNGHIA.VN  sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề PT chứa căn, cùng tìm hiểu nhé!

MỤC LỤC

• Nhắc lại kiến thức căn bản 
  • Định nghĩa căn thức là gì?
  • Các hằng đẳng thức quan trọng 
• Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 2 
  • Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 2 là gì?
  • Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 đơn giản
  • Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 lớp 9 nâng cao
    • Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
    • Phương pháp đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình
• Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 3
  • Giải phương trình chứa căn bậc 3 \(\sqrt[3]{f(x)}=g(x)\)
  • Giải phương trình chứa căn bậc 3 \(\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{C}\)
• Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 4
  • Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 4 là gì?
  • Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 4
• Tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức
  • Các dạng bất phương trình chứa căn lớp 10
  • Cách giải bất phương trình chứa căn khó 
    • Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách bình phương hai vế
    • Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách nhân liên hợp
• Tìm hiểu về hệ phương trình chứa căn khó
  • Giải hệ phương trình chứa căn bằng phương pháp thế
  • Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn
    • Nhắc lại về hệ phương trình đối xứng loại 1
    • Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Nhắc lại kiến thức căn bản 

Để giải quyết được các bài toán phương trình chứa căn thì đầu tiên các bạn phải nắm rõ được các kiến thức về căn thức cũng như các hằng đẳng thức quan trọng.

Định nghĩa căn thức là gì?

Căn bậc 2 (căn bậc hai) của một số \(a\) không âm là số \(x\) sao cho \(x^2=a\)

Như vậy, mỗi số dương \(a\) có hai căn bậc 2 là \(\sqrt{a};-\sqrt{a}\)

Tương tự như vậy, ta có định nghĩa căn bậc 3, bậc 4:

Căn bậc 3 (căn bậc ba) của một số \(a\) là số \(x\) sao cho \(x^3=a\). Mỗi số \(a\) chỉ có duy nhất một căn bậc 3

Căn bậc 4 của một số \(a\) không âm là số \(x\) sao cho \(x^4=a\). Mỗi số dương \(a\) có hai căn bậc 4 là \(\sqrt[4]{a};-\sqrt[4]{a}\)

Các hằng đẳng thức quan trọng 

Xem chi tiết >>> 7 Hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản và mở rộng

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 2 

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 2 là gì?

Phương trình chứa căn bậc 2 là phương trình có chứa đại lượng \(\sqrt{f(x)}\). Với dạng toán này, trước khi bắt đầu giải thì ta luôn phải tìm điều kiện để biểu thức trong căn có nghĩa, tức là tìm khoảng giá trị của \(x\) để \(f(x) \geq 0 \).

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 đơn giản

Phương pháp bình phương 2 vế được sử dụng để giải PT chứa căn bậc 2. Đây được xem là phương pháp đơn giản và hay được sử dụng nhất, thường được dùng với các phương trình dạng: \(\sqrt{f(x)}=g(x)\)

• Bước 1: Tìm điều kiện của \(x\) để \(f(x) \geq 0; g(x) \geq 0\)
• Bước 2: Bình phương hai vế, rồi rút gọn
• Bước 3: Giải tìm \(x\) và kiểm tra có thỏa mãn điều kiện hay không.

Ví dụ :

Giải phương trình: \(\sqrt{x^2-4x+3}=3x-7\)

Cách giải:

ĐKXĐ:

\(\left\{\begin{matrix} x^2-4x+3 \geq 0\\ 3x-7 \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)(x-3)\geq 0\\3x \geq 7 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} \left[\begin{array}{l} x \geq 3\\x \leq 1 \end{array}\right.\\ x\geq \frac{7}{3} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x\geq 3\)

Bình phương 2 vế, ta có :

\(x^2-4x+3=3x-7 \Leftrightarrow x^2-7x+10=0\)

 \(\Leftrightarrow (x-2)(x-5)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=2\\x=5 \end{array}\right.\)

Kiểm tra điều kiện thấy \(x=5\) thỏa mãn

Kết luận: Nghiệm của phương trình đã cho là \(x=5\)

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 lớp 9 nâng cao

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Phương pháp này sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để chứng minh:

Vế trái \(\geq\) Vế phải hoặc  Vế trái \(\leq\) Vế phải rồi sau đó “ép” cho dấu “=” xảy ra.

Ví dụ :

 Giải phương trình : \(\sqrt{5x-x^2-4} + \sqrt{x-1} =2\sqrt{2}\)

Cách làm :

Điều kiện xác định :

\(\left\{\begin{matrix} 5x-x^2-4 \geq 0\\ x-1 \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)(x-4) \leq 0\\ x \geq 1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 1\leq x \leq 4\)

Áp dụng BĐT \(\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)}\), ta có :

\(\sqrt{5x-x^2-4} + \sqrt{x-1} \leq \sqrt{2(6x-x^2-5)}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

 \( 5x-x^2-4=x-1 \Leftrightarrow (x-1)(x-3)=0 \)

\( \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1\\x=3 \end{array}\right. \hspace{1cm}  (1)\)

Ta có : \(6x-x^2-5 = -(x^2-6x+9)+4 =4-(x-3)^2\leq 4\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x=3  \hspace{1cm} (2)\)

Vậy :

\(\sqrt{5x-x^2-4} + \sqrt{x-1} \leq \sqrt{2(6x-x^2-5)} \leq \sqrt{8}=2\sqrt{2}\) 

Do đó, để thỏa mãn phương trình đã cho thì \((1)(2)\) phải thỏa mãn, hay \(x=3\)

Phương pháp đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình

Với các phương trình dạng : \(\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} =k\) ta có thể đặt ẩn phụ \(\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{f(x)}\\ b=\sqrt{g(x)} \end{matrix}\right.\) rồi giải hệ phương trình hai ẩn \(a,b\)

Ví dụ :

Giải phương trình :\(\sqrt{x^2+5} – \sqrt{x^2-3} =2\)

Cách giải:

Điều kiện xác định : \(\left[\begin{array}{l} x \geq \sqrt{3}\\x \leq -\sqrt{3} \end{array}\right.\)

Đặt \(\left\{\begin{matrix} a= \sqrt{x^2+5}\\ b= \sqrt{x^2-3} \end{matrix}\right.\) ta có :

\(\left\{\begin{matrix} a-b =2\\ a^2-b^2=8 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=2\\ (a-b)(a+b)=8 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a-b=2\\a+b=4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=1 \end{matrix}\right.\)

Thay vào ta tìm được \(x=1\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x=1\)

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 3

Giải phương trình chứa căn bậc 3 \(\sqrt[3]{f(x)}=g(x)\)

Với dạng bài này, ta lập phương hai vế để phá bỏ căn thức rồi rút gọn sau đó quy về tìm nghiệm của phương trình : \(g^3(x)-f(x)=0\)

Ví dụ:

Giải phương trình : \(\sqrt[3]{3x-4}= x-2\)

Cách giải:

Lập phương 2 vế phương trình ta có :

\(3x-4=(x-2)^3\Leftrightarrow x^3-6x^2+9x-4 =0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)^2(x-4)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1\\x=4 \end{array}\right.\)

Giải phương trình chứa căn bậc 3 \(\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{C}\)

Với dạng bài này ta lập phương 2 vế, phương trình trở thành:

\(A+B +3\sqrt[3]{AB}(\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B})=C\)

Thay \(\sqrt[3]{A}+\sqrt[3]{B}=\sqrt[3]{C}\) vào ta được :

\(\sqrt[3]{ABC}=C-A-B (2) \)

Phương trình trở về dạng \(\sqrt[3]{f(x)}=g(x)\).

Chú ý: Sau khi giải ra nghiệm, ta cần thử lại vào phương trình đã cho vì phương trình \((2)\) chỉ là hệ quả của phương trình ban đầu

Ví dụ :

Giải phương trình :

\(\sqrt[3]{3x-4}+\sqrt[3]{x+3}=\sqrt[3]{4x-1}\)

Cách giải:

Lập phương 2 vế ta được :

\((3x-4)+(x+3)+3\sqrt[3]{(3x-4)(x+3)}.(\sqrt[3]{3x-4}+\sqrt[3]{x+3})=4x-1\)

\(\Rightarrow 3\sqrt[3]{(3x-4)(x+3)}.\sqrt[3]{4x-1}=0\)

\(\Rightarrow 3\sqrt[3]{(3x-4)(x+3)}.\sqrt[3]{4x-1}=0 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=\frac{4}{3}\\x=-3 \\ x=\frac{1}{4} \end{array}\right.\)

Thử lại thấy cả 3 nghiệm đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là : \(\frac{4}{3}; -3; \frac{1}{4}\)

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 4

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 4 là gì?

Để giải phương trình chứa căn bậc 4 thì ta cần năm rõ hằng đẳng thức sau đây:

\((x+y)^4=x^4 + 4 x^3 y + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 + y^4\)

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 4

Ví dụ :

Giải phương trình : \(\sqrt[4]{x^4-4x^3+17}-x+1\)

Cách giải :

Điều kiện xác định :

\( \left\{\begin{matrix} x^4-4x^3+17 \geq 0\\ x \geq 1 \end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho tương đương với :

\(\sqrt[4]{x^4-4x^3+17}=x-1 \Rightarrow x^4-4x^3+17=(x-1)^4\)

\(\Rightarrow x^4-4x^3+17=x^4 – 4 x^3 + 6 x^2 – 4 x + 1\)

\(\Rightarrow 6x^2-4x-16=0 \Rightarrow (x-2)(3x+4)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=2\\x=-\frac{4}{3} \end{array}\right.\)

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là \(x=1\)

Tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức

Về cơ bản, cách giải bất phương trình chứa căn thức không khác cách giải PT chứa căn nhiều, nhưng trong khi trình bày chúng ta cần chú ý về dấu của bất phương trình.

Các dạng bất phương trình chứa căn lớp 10

Cách giải bất phương trình chứa căn khó 

Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách bình phương hai vế

Các bước làm cũng tương tự cách giải PT chứa căn

Ví dụ :

Giải bất phương trình : \(x-3-\sqrt{5-x} \geq 0\)

Cách giải:

Điều kiện xác định :

\(\left\{\begin{matrix} x-3 \geq 0\\ 5-x \geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq 3\\ x \leq 5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow 3 \leq x \leq 5\)

Bất phương trình đã cho tương đương với :

\(x-3 \geq \sqrt{5-x} \Leftrightarrow x^2-6x+9 \geq 5-x\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x+4 \geq 0 \Leftrightarrow (x-4)(x-1)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq 4\\ x \leq 1 \end{matrix}\right.\)

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là \(x \in \mathbb{R} | x\geq 4\)

Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách nhân liên hợp

Đây là phương pháp nâng cao, dùng để giải các bài toán bất PT chứa căn khó. Phương pháp này dựa trên việc áp dụng các đẳng thức sau :

\(\sqrt{a} – \sqrt{b} =\frac{a-b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\)

\(\sqrt{a} + \sqrt{b} =\frac{a-b}{\sqrt{a} – \sqrt{b}}\)

\(\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b} = \frac{a-b}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}\)

\(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = \frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}\)

Ví dụ :

Giải bất phương trình : \(\sqrt{x+5}-\sqrt{2x+3} \geq x^2-4\)

Cách giải:

Điều kiện :

\(\left\{\begin{matrix} x \geq -5\\ x \geq -\frac{3}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x\geq -\frac{3}{2}\)

Ta có:

\(\sqrt{x+5}-\sqrt{2x+3} = \frac{(x+5)- (2x+3)}{\sqrt{x+5}+\sqrt{2x+3}}=\frac{2-x}{\sqrt{x+5}+\sqrt{2x+3}}\)

\(x^2-4 =(x-2)(x+2)\)

Vậy bất phương trình đã cho tương đương với :

\(\frac{2-x}{\sqrt{x+5}+\sqrt{2x+3}}\geq (x-2)(x+2)\)

\(\Leftrightarrow (x-2)(x+2+\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{2x+3}}) \leq 0\)

Từ ĐKXĐ có \(x \geq \frac{3}{2} \Rightarrow x+2 \geq \frac{1}{2} >0\)

Vậy nên :

\(x+2+\frac{1}{\sqrt{x+5}+\sqrt{2x+3}} \geq 0\)

Vậy bất phương trình đã cho tương đương với :

\(x-2 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq 2\)

Kết hợp Điều kiện xác định ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là :

\(-\frac{3}{2} \leq x \leq 2\)

Tìm hiểu về hệ phương trình chứa căn khó

Giải hệ phương trình chứa căn bằng phương pháp thế

Đây là phương pháp đơn giản và thường được sử dụng trong các bài toán hệ PT chứa căn. Để giải hệ phương trình chứa căn bằng phương pháp thế, ta làm theo các bước sau :

• Bước 1: Tìm Điều kiện xác định
• Bước 2: Chọn một phương trình đơn giản hơn trong số hai phương trình, biến đổi để quy về dạng: \(x =f(y)\)
• Bước 3: Thay \(x =f(y)\) vào phương trình còn lại rồi giải phương trình theo ẩn \(y\)
• Bước 4: Từ \(y\) thay vào \(x =f(y)\) để tìm ra \(x\). Đối chiều với ĐKXĐ rồi kết luận

Ví dụ :

Giải hệ phương trình :

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1}=y+2\\ \sqrt{x+2y-1}=2y+1 \end{matrix}\right.\)

Cách giải:

Điều kiện xác định :

\(\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\y \geq -2 \\ x \geq 1-2y \\ y \geq -\frac{1}{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1 \\ x \geq 1-2y \\ y \geq -\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\)

Từ PT (1) ta có :

\(x+1=(y+2)^2=y^2+4y+4\)

\(\Leftrightarrow x= y^2-4y+3 \hspace{1cm}(*)\)

Thay vào PT (2) ta được :

\(\sqrt{y^2+4y+3+2y-1} = 2y+1\)

\(\Leftrightarrow y^2+6y+2 = 4y^2+4y+1\)

\(\Leftrightarrow 3y^2 -2y-1 =0\)

\(\Leftrightarrow (3y+1)(y-1)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=1\\ y=-\frac{1}{3} \end{array}\right.\)

Thay vảo \((*)\) ta được :

\(\left[\begin{array}{l} y=1 ; x= 8\\ y=-\frac{1}{3}; x=\frac{1}{9} \end{array}\right.\)

Kết hợp điều kiện xác định thấy cả hai cặp nghiệm đều thỏa mãn.

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Nhắc lại về hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình gồm 2 ẩn \(x;y\) sao cho khi ta thay đổi vai trò \(x;y\) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi:

\(\left\{\begin{matrix} f(x;y)=0\\g(x;y)=0 \end{matrix}\right.\)

Với:

\(\left\{\begin{matrix} f(x;y)=f(y;x)\\g(x;y)= g(y;x) \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Đối với dạng toán này, cách giải vẫn giống như các bước giải hệ phương trình đối xứng loại 1, chú ý có thêm bước tìm ĐKXĐ

• Bước 1: Tìm Điều kiện xác định
• Bước 2: Đặt \(S = x + y; P = xy\)  (với \(S^2 \geq 4P\)) . Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa \(S;P\)  .
• Bước 3: Giải hệ mới tìm \(S;P\) . Chọn \(S;P\)  thỏa mãn \(S^2 \geq 4P\)
• Bước 4: Với \(S;P\) tìm được thì \(x;y\)  là nghiệm của phương trình: \(t^2 -St +P =0\) ( sử dụng định lý Vi-ét đảo để giải )

Chú ý:

Một số biểu diễn đối xứng qua \(S;P\):

Nếu \((x;y)=(a;b)\) là nghiệm thì \((x;y)=(b;a)\) cũng là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

\(\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=3\\ \sqrt{x+1} + \sqrt{y+1}=4 \end{matrix}\right.\)

Cách giải :

ĐKXĐ:

\(\left\{\begin{matrix} x \geq -1\\y \geq -1 \\ xy \geq 0 \end{matrix}\right. \hspace{1cm} (*)\)

Đặt \(S=x+y \hspace{5mm}; P=xy\) với \(\left\{\begin{matrix} S^2 \geq 4P\\ P\geq 0 \\ S \geq -2 \end{matrix}\right. \hspace{1cm} (**)\)

Bình phương 2 vế PT (2) hệ phương trình đã cho tương đương với :

\(\left\{\begin{matrix} x+y-\sqrt{xy}=3\\ x+y+2+\sqrt{x+y+xy+1}=16 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S- \sqrt{P} =3 \\S+2+2\sqrt{S+P+1}=16 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} P= S^2 -6S +9\\ S -14 =-2\sqrt{S+P+1} \end{matrix}\right.\) với \(3\leq S\leq 14\)

Thay \( P= S^2 -6S +9 \) từ PT (1) vào PT (2) ta có :

\(S-14 = -2\sqrt{S^2-5S+10}\)

\(\Leftrightarrow S^2-28S+196 = 4(S^2-5S+10)\)

\(\Leftrightarrow 3S^2+8S-156=0 \Leftrightarrow (S-6)(3S+26)=0\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=6\\S=-\frac{26}3{} \end{matrix}\right.\)

Kết hợp ĐKXĐ ta được \(S=6 \Rightarrow P=9\)

Vậy \(x;y\) là nghiệm của phương trình :

\(t^2-6t+9 =0 \Leftrightarrow t=3\)

Vậy \(x=y=3\) ( thỏa mãn điều kiện).

Xem chi tiết >>> Các phương pháp giải Hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2

Xem thêm >>> Chuyên đề Hệ phương trình đẳng cấp cơ bản và nâng cao

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về PT chứa căn thức cũng như phương pháp giải phương trình chứa căn, bất phương trình, hệ PT chứa căn. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương trình chứa căn thức. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

4.8/5 - (5 bình chọn) Please follow and like us: