Quan Hệ Giữa Các Biến Cố A Biến Cố Xung Khắc - Tài Liệu Text - 123doc

1. Trang chủ >
2. Giáo Dục - Đào Tạo >
3. Cao đẳng - Đại học >

Quan hệ giữa các biến cố a Biến cố xung khắc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (424.7 KB, 22 trang )

Trang 2§1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN1.1. Phép thử và biến cố • Phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm hay quan sátmột hiện tượng nào đó để xem có xảy ra hay khơng. Hiện tượng có xảy ra hay khơng trong phép thử được gọilà biến cố ngẫu nhiên. Biến cố ngẫu nhiên thường ñược ký hiệu A, B, C…VD 1. + Tung ñồng tiền lên là một phép thử, biến cố là “mặt sấp xuất hiện” hay “mặt ngửa xuất hiện”.+ Chọn ngẫu nhiên một số sản phẩm từ một lơ hàng để kiểm tra là phép thử, biến cố là “chọn ñược sản phẩmtốt” hay “chọn ñược phế phẩm”. + Gieo một số hạt lúa là phép thử, biến cố là “hạt lúa nảymầm” hay “hạt lúa không nảy mầm”. 1.2. Các loại biến cốa Không gian mẫu và biến cố sơ cấp • Trong một phép thử, tập hợp tất cả các kết quả có thểxảy ra được gọi là khơng gian mẫu ký hiệu làΩ. • Mỗi phần tửω ∈ Ω khơng thể phân nhỏ thành hai biến cố ñược gọi là biến cố sơ cấp.VD 2. Xét phép thử gieo 3 hạt lúa. Gọi Ailà biến cố “có i hạt nảy mầm” i = 0, 1, 2, 3. Khi đó các Ailà các biến cố sơ cấp và Ω = {A, A1, A2, A3}. Gọi B là “có ít nhất 1 hạt nảy mầm” thì B khơng làbiến cố sơ cấp.b Biến cố chắc chắn và biến cố khơng thể • Trong một phép thử, biến cố nhất ñịnh xảy ra là chắcchắn, ký hiệu là Ω .• Biến cố khơng thể là biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử, ký hiệu∅ .VD 3. Từ một nhóm có 6 nam và 4 nữ chọn ra 5 người.Khi đó, biến cố “chọn được 5 người nữ” là khơng thể, biến cố “chọn được ít nhất 1 nam” là chắc chắn.c Số trường hợp đồng khả năng • Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năngxảy ra như nhau được gọi là đồng khả năng.• Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp đều đồngkhả năng thì số phần tử của khơng gian mẫu ñược gọi là số trường hợp ñồng khả năng của phép thử.VD 4. Gọi ngẫu nhiên một học sinh trong lớp để kiểm tra thìmỗi học sinh trong lớp ñều có khả năng bị gọi như nhau. d Các phép tốn• Tổng của A và B là C, ký hiệuC AB =∪ hayC = A + B, xảy ra khi ít nhất 1 trong hai biến cố A, B xảy ra.VD 5. Bắn hai viên ñạn vào 1 tấm bia. Gọi A1: “viên thứ nhất trúng bia”, A2: “viên thứ hai trúng bia” và C: “bia bị trúng ñạn” thì1 2C AA =∪ .• Tích của A và B là C, ký hiệu CAB AB == ∩, xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cùng xảy ra.VD 6. Một người chọn mua áo. Gọi A: “chọn ñược áo màuxanh”, B: “chọn ñược áo sơ–mi” và C: “chọn được áo sơ–mi màu xanh” thì C = AB.VD 7. Chọn ngẫu nhiên 10 linh kiện trong 1 lô ra kiểm tra. GọiAi: “chọn ñược linh kiện thứitốt” và C: “chọn được 10 linh kiện tốt” thì10 12 10i i 1C AA ...A A== =∩ ∩∩∩. • Phần bù của A, ký hiệu:{ }A \\ AA = Ω= ω ∈ Ω ω ∉ .VD 8. Bắn lần lượt 2 viên đạn vào 1 tấm bia.Gọi Ai: “có i viên ñạn trúng bia” i = 0, 1, 2, B: “có khơng q 1 viên đạn trúng bia”.Khi đó2B A=,2A A≠và1 2A A≠.

1.3. Quan hệ giữa các biến cố a Biến cố xung khắc

• Hai biến cố và B được gọi là xung khắc nếu chúng khơng đồng thời xảy ra trong một phép thử.• Họ các biến cố A1, A2,…, Anđược gọi là xung khắc hay đơi một xung khắc khi một biến cố bất kỳ trong họxảy ra thì các biến cố còn lại khơng xảy ra. Nghĩa lài jA A, i j= ∅ ∀ ≠ ∩.VD 9. Một hộp có 3 viên phấn màu đỏ, xanh và trắng. Chọn ngẫu nhiên 1 viên. Gọi A: “chọn ñược viên màuñỏ”, B: “chọn ñược viên màu trắng” và C: “chọn ñược viên màu xanh” thì A, B, C là xung khắc.b Biến cố đối lập • Hai biến cố A và B ñược gọi là ñối lập nhau nếu chúngthỏa mãn 2 ñiều sau: 1 A và B xung khắc với nhau.2 Phải có ít nhất một trong 2 biến cố xảy ra.VD 10. Trồng 1 cây bạch ñàn. Gọi A: “cây bạch ñàn sống”, B: “cây bạch ñàn chết” thì A và B là đối lập.• Họ các biến cố {Ai} i = 1,…, n ñược gọi là hệ ñầy ñủ các biến cố nếu thỏa mãn 2 ñiều sau:1 Họ xung khắc, nghĩa lài jA A, ij = ∅ ∀ ≠∩. 2 Phải có ít nhất 1 biến cố trong họ xảy ra,nghĩa là1 2nA A... A = Ω∪ ∪∪.VD 11. Họ {A, B, C} trong VD 9 là ñầy ñủ. Chú ý. Họ{ }A, A là ñầy ñủ với biến cố A tùy ý.Trang 3m PAn == Số biến cố thuận lợi cho ASố tất cả các biến cố có thể.VD 1. Một hộp chứa 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Tính xác suất:a Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp ñược phế phẩm. b Chọn ngẫu nhiên 1 lần từ hộp ra 2 sản phẩm ñược 2phế phẩm.VD 2. Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra 3 sản phẩm lấy 1 lần, tínhxác suất ñể: a Cả 3 sản phẩm ñều tốt; b Có đúng 2 phế phẩm.VD 3. Một lớp có 60 học sinh trong đó có 28 em giỏi toán, 30 em giỏi lý, 32 em giỏi ngoại ngữ, 15 em vừagiỏi toán vừa giỏi lý, 10 em vừa giỏi lý vừa giỏi ngoại ngữ, 12 em vừa giỏi toán vừa giỏi ngoại ngữ, 2 em giỏicả 3 môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Tính xác suất:a Chọn được em giỏi ít nhất 1 mơn. b Chọn được em chỉ giỏi tốn.c Chọn được em giỏi đúng 2 mơn.Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa dạng cổ điển • Ưu điểm: Tính được chính xác giá trị của xác suất màkhông cần thực hiện phép thử. • Hạn chế: Trong thực tế có nhiều phép thử vô hạn cácbiến cố và biến cố khơng đồng khả năng. 2.3. ðịnh nghĩa theo hình họcCho miềnΩ. Gọi độ đo củaΩlà độ dài, diện tích, thể tích ứng vớiΩlà đường cong, miền phẳng, khối. Gọi A là biến cố điểmM S∈ ⊂ Ω . Ta cóPA = Ωđộ đo S độ đo.VD 6. Tìm xác suất của ñiểm M rơi vào hình tròn nội tiếp tam giác ñều cạnh 2 cm.VD 7. Hai người bạn hẹn gặp nhau tại 1 ñịa ñiểm theo quy ước như sau:– Mỗi người ñộc lập ñi ñến ñiểm hẹn trong khoảng từ 7 ñến 8 giờ.– Mỗi người đến điểm hẹn nếu khơng gặp người kia thì đợi 30 phút hoặc đến 8 giờ thì khơng ñợi nữa.Tìm xác suất ñể hai người gặp nhau. 2.4. Tính chất của xác suất1 PA1 ≤≤ , với mọi biến cố A; 2P ∅ = ;3 P1 Ω = .2.5. Ý nghĩa của xác suất • Xác suất là số ño mức ñộ tin chắc, thường xuyên xảy racủa 1 biến cố trong phép thử. Chú ý. Xác suất phụ thuộc vào điều kiện của phép thử.§3. CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1. Cơng thức cộng xác suấta Biến cố xung khắc • A và B xung khắc thì:PA BPA PB= +∪ .• Họ {Ai} i = 1, 2,…, n thì:1 2n 12 nP A A... A=PA +PA +...+PA ∪∪ ∪.b Biến cố tùy ý • A và B là hai biến cố tùy ý thì:PA BPA PBPAB =+ −∪ .• Họ {Ai} i = 1, 2,…, n các biến cố tùy ý thì:n ni ii ji 1 i 1i j n 1i jk 12 ni j kP APA PA APA A A +...+ 1 PA A ...A= =−   =−    + −∑ ∑∑ ∪.c Biến cố ñối lậpP A 1PA = −. VD 1. Một hộp phấn có 10 viên trong đó có 3 viên màuñỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên phấn. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 viên phấn màu đỏ.VD 2. Có 33 học sinh tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi gồm 2 vòng thi. Biết rằng có 17 học sinh thi đỗ vòng 1;14 học sinh thi ñỗ vòng 2 và 11 học sinh trượt cả hai vòng thi. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong danh sáchdự thi. Tìm xác suất để học sinh đó chỉ thi đỗ duy nhất 1 trong 2 vòng thi.3.2. Cơng thức nhân xác suất a Xác suất có điều kiện• Trong một phép thử, xét 2 biến cố bất kỳ A, B vớiPB . Xác suất có điều kiện của A với điều kiện Bñã xảy ra ñược ký hiệu và ñịnh nghĩa: PABP A B PB= .• Xác suất có điều kiện cho phép chúng ta sử dụng thông tin về sự xảy ra của 1 biến cố ñể dự báo xác suất xảy rabiến cố khác.• Tính chất: 1P A B 1≤ ≤ ;2 P B B1 = ;3 P A B1 P A B= − ;4 nếu A1và A2xung khắc thì:1 21 2P A A BP A B P A B= +∪ .VD 3. Một hộp có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng. Người thứ nhất đã bốc 1 vé khơng trúng thưởng. Tínhxác suất để người thứ 2 bốc ñược vé trúng thưởng mỗi người chỉ bốc 1 vé.b Cơng thức nhân • A và B là 2 biến cố độc lập nếu B có xảy ra hay khơngcũng khơng ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A và ngượclại, nghĩa là P A BPA =và P B APB =. Khi đó ta cóPAB PA.PB= .• Với A, B khơng độc lập phụ thuộc thì: PABPBP A B PAP B A= =.Trang 43.3. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes. a Cơng thức xác suất đầy đủ• Cho họ các biến cố {Ai} i = 1, 2,…, n ñầy ñủ và B là biến cố bất kỳ trong phép thử, ta có:n ii i 11 1n nPB PA B APA P B A ...PA P B A== =+ +∑. VD 7. Một ñám đơng có số đàn ơng bằng nửa số đàn bà.Xác suất để đàn ơng bị bịnh tim là 0,06 và ñàn bà là 0,0036. Chọn ngẫu nhiên 1 người từ đám đơng, tính xácsuất để người này bị bịnh tim.b Cơng thức Bayes • Cho họ các biến cố {Ak} k = 1, 2,…, n ñầy ñủ và B là biến cố bất kỳ trong phép thử. Xác suất ñể xuất hiện Aksau khi ñã xuất hiện B là:k kk ni ii 1PA P B A P A BPA P B A==∑. VD 8. Tỷ số ôtô tải và ôtô con đi qua đường có trạmbơm dầu là 52. Xác suất để 1 ơtơ tải đi qua đường này vào bơm dầu là 10; ơtơ con là 20. Có 1 ơtơ quađường để bơm dầu, tính xác suất để đó là ơtơ tải.VD 9. Có 3 bao lúa cùng loại. Bao 1 nặng 20kg chứa 1 hạt lép, bao 2 nặng 30kg chứa 1,2 hạt lép và bao 3nặng 50kg chứa 1,5 hạt lép. Trộn cả 3 bao lại rồi bốc ngẫu nhiên 1 hạt thì được hạt lép.Tính xác suất ñể hạt lép này là của bao thứ ba. VD 10. Ba kiện hàng đều có 20 sản phẩm với số sảnphẩm tốt tương ứng là 12, 15, 18. Lấy ngẫu nhiên 1 kiện hàng giả sử 3 kiện hàng có cùng khả năng rồi từ kiệnđó lấy tùy ý ra 1 sản phẩm. a Tính xác suất để sản phẩm chọn ra là tốt.b Giả sử sản phẩm chọn ra là tốt, tính xác suất để sản phẩm ñó thuộc kiện hàng thứ hai.Chương II. BIẾN ðẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN§1. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1.1. Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiêna Khái niệm • Một biến số được gọi là ngẫu nhiên nếu trong kết quảcủa phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của cácnhân tố ngẫu nhiên. • Các biến ngẫu nhiên được ký hiệu: X, Y, Z, …còn cácgiá trị của chúng là x, y, z,…VD 1. Khi tiến hành gieo n hạt ñậu ta chưa thể biết có baonhiêu hạt sẽ nảy mầm, số hạt nảy mầm có thể là 0, 1, …, n. Kết thúc phép thử gieo hạt thì ta biết chắc chắn có baonhiêu hạt nảy mầm. Gọi X là số hạt nảy mầm thì là X biến ngẫu nhiên và X = {0, 1, 2, …, n}.b Phân loại biến ngẫu nhiên • Biến ngẫu nhiên bnn ñược gọi là rời rạc nếu các giátrị có thể có của nó lập nên 1 tập hợp hữu hạn hoặc ñếm ñược.• Biến ngẫu nhiên ñược gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của nó lấp đầy 1 khoảng trên trục số.VD 2. + Biến X trong VD 1 là bnn rời rạc tập hữu hạn. + Gọi Y là số người ñi qua 1 ngã tư trên đường phố thì Ylà bnn rời rạc tập đếm ñược. VD 3. + Bắn 1 viên ñạn vào bia, gọi X là “khoảng cáchtừ ñiểm chạm của viên ñạn ñến tâm của bia” thì X là biến ngẫu nhiên liên tục.+ Gọi Y là “sai số khi ño 1 đại lượng vật lý” thì Y là biến ngẫu nhiên liên tục.1.2. Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên • Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là mộtcách biểu diễn quan hệ giữa các giá trị của biến ngẫu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giátrị đó.1.2.1. Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên a Trường hợp rời rạc• Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có1 2nX {x , x ,..., x }= với xác suất tương ứng lài ip PXx == .Ta có phân phối xác suất dạng bảngX x1x2… xnP p1p2… pnTrong đó:ip ≥ ;n ii 1p 1==∑;i i 1p 1∞ ==∑vô hạn;ii a xbPa Xb p=∑.VD 4. Một lơ hàng có 12 sản phẩm tốt và 8 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 8 sản phẩm.Gọi X là số phế phẩm trong 8 sản phẩm lấy ra. Tìm phân phối xác suất của X và chứng minh:0 8 17 7 18 0 88 12 8 128 12 8 1220C C C C... C CC C C+ ++ += .Trang 5x ∈ ℝ ñược gọi là hàm mật ñộ xác suất của X nếu thỏa:1 fx0, x ≥∀ ∈ ℝ ; 2fxdx 1+∞ −∞=∫; 3b aPa Xb fxdx=∫a b.Chú ý 1 Nhiều khi người ta dùng ký hiệu fXx ñể chỉ hàm mật ñộ xác suất của X.2 Doa aPX afxdx == =∫nên ta không quan tâm ñến xác suất ñể X nhận giá trị cụ thể. Suy rab aPa Xb PaX bPa Xb PaX bfxdx ≤= ≤= ≤≤ ==∫. 3 Về mặt hình học, xác suất biến ngẫu nhiên bnn Xnhận giá trị trong a; b bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi x = a, x = b, y = fx và trục Ox.4 Nếu fx thỏafx 0, x≥ ∀ ∈ℝ vàfxdx 1+∞ −∞=∫thì fx là hàm mật ñộ xác suất của 1 bnn nào ñó.VD 6. Chứng tỏ34x , x 0; 1f x 0, x0; 1 ∈ = ∉ là hàm mật ñộxác suất của biến ngẫu nhiên X. VD 7. Cho bnn X có hàm mật ñộ xác suất:20, x 1f x k, x 1x  = ≥ .Tìm k và tínhP 1 X2 −≤.1.2.2. Hàm phân phối xác suất • Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kýhiệu Fx hoặc FXx, là xác suất ñể X nhận giá trị nhỏ hơn x với x là số thực bất kỳ. Fx = PX x,x ∀ ∈ℝ . – Hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trịcủa X nằm bên trái của số x. – Với biến ngẫu nhiên rời rạc X = {x1, x2, …, xn}:i ii ix xx xFx PXx p= ==∑ ∑. – Với biến ngẫu nhiên liên tục X:xFx ftdt−∞=∫.• Giả sử1 2nx x... x, ta có hàm phân phối xác suất của X:1 11 21 22 31 2n 1 n 1x xp xx xp px xx Fx........................................................... pp ...p xx x− −≤ ≤+ ≤= ++ +≤ neáuneáu neáuneáun n1 xx      nếu• Tính chất:1Fx 1, x≤ ≤ ∀ ∈ℝ ; 2 Fx không giảm.3F 0; F1 −∞ =+∞ =; 4Pa Xb FbFa ≤= −.• Liên hệ với phân phối xác suất 1 X rời rạc: pi= Fxi+1– Fxi; 2 X liên tục: Fx liên tục tại x vàF x fx′ =.VD 8. Một phân xưởng có 2 máy hoạt ñộng ñộc lập. Xác suất trong 1 ngày làm việc các máy đó hỏng tươngứng là 0,1 và 0,2. Gọi X là số máy hỏng trong 1 ngày làm việc.Lập hàm phân phối xác suất của X và vẽ ñồ thị của Fx.VD 9. Tuổi thọ Xgiờ của 1 thiết bị có hàm mật độ xácsuất20, x 100f x 100, x 100x  = ≥ .a Tìm hàm phân phối xác suất của X. b Thiết bị ñược gọi là loại A nếu tuổi thọ của nó kéo dàiít nhất là 400 giờ. Tính tỉ lệ xác suất loại A. VD 10. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất:a cos x, x ;2 2fx 0, x; 22  π π  ∈ −    =   π π  ∉ −   . Tìm a và hàm phân phối xác suất Fx.VD 11. Thời gian chờ phục vụ của khách hàng là bnnXphút liên tục có hàm ppxs40, x Fxax , x 0; 3]1, x 3≤  =∈  . a Tìm a và hàm mật độ xác suất fx của X.b Tính P2 Y5 ≤với2Y X1 =+. c Vẽ ñồ thị của Fx.Trang 6x ϕvà bnn rời rạc X có phân phối xác suất cho trước. Tìm phân phối xác suất củax ϕ.a Trường hợp 1 biến VD 12. Lập bảng phân phối xác suất của2Y XX 2= ϕ =+ , biết: X–1 12 P0,1 0,30,4 0,2b Trường hợp nhiều biến VD 13. Cho bảng:Y X–1 11 0,10,15 0,052 0,30,2 0,2Lập bảng phân phối xác suất của: a2Y 2XX 1= +− . bZ X, Y2X Y5 = ϕ= −+ . c2 2Z X, YX Y= ϕ =− .1.4. Phân phối xác suất của bnn 2 chiều X, Y rời rạc a ðịnh nghĩa• Cặp 2 ñại lượng ngẫu nhiên rời rạc ñược xét ñồng thời X, Y ñược gọi là 1 vector ngẫu nhiên rời rạc.Ký hiệu biến cố X x.Y y = X x; Y y. • Hàm phân phối xác suất ñồng thời của X và Y là:Fx, y PXx; Y y, x, y= ∀∈ ℝ . • X và Y được gọi là độc lập nếu:X YFx, y F x.F y, x, y= ∀∈ ℝ .Chú ý 1 Nếu X, Y độc lập thì hàm phân phối ñồng thời của X,Y ñược xác ñịnh qua các hàm phân phối của X, của Y. 2 Chương trình chỉ xét hàm phân phối biên của X, Y.b Bảng phân phối xác suất ñồng thời của X, YY Xy1y2… yj… ynPXx1x2…. xi…. xmp11p12… p1j… p1np21p22… p2j… p2n.................................................. pi1pi2… pij… pin……………………………….. pm1pm2… pmj… pmnp1p2... pi… pmPYq1q2… qj… qn1 Pij= PX = xi, Y = yji = 1,…,m; j = 1,…,n là xác suất ñể X = xi, Y = yjvàm nij i 1 j 1p 1= ==∑∑.c Phân phối xác suất biên lề Từ bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y ta có:• Phân phối xác suất biên của XX x1x2… xi… xmPXp1p2… pi… pmn nij ij ii j 1j 1p pXx , Y ypX xp= == == == =∑ ∑.• Phân phối xác suất biên của YY y1y2… yi… ynPYq1q2… qi… qnm mij ij jj i 1i 1p pXx , Y ypY yq= == == == =∑ ∑.Tính chất. X và Y ñộc lậpij ijp p .q , i, j⇔ =∀ .VD 14. Cho bảng phân phối xác suất ñồng thời của X và Y:Y X10 2030 4010 0,20,04 0,0120 0,10,36 0,0930 0,050,1 400,05 a Tìm phân phối biên của X, của Y.b Xét xem X và Y có độc lập khơng ? c Tìm phân phối xác suất của Z = X + Y.§2. CÁC ðẶC TRƯNG SỐ THAM SỐ ðẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN • Những thơng tin cơ đọng phản ánh từng phần về biếnngẫu nhiên giúp ta so sánh giữa các ñại lượng với nhau được gọi là các đặc trưng số.Có ba loại ñặc trưng số: – Các ñặc trưng số cho xu hướng trung tâm của bnn:Kỳ vọng toán, Trung vị, Mod,… – Các ñặc trưng số cho ñộ phân tán của bnn:Phương sai, ðộ lệch chuẩn, Hệ số biến thiên,… – Các ñặc trưng số cho dạng phân phối xác suất.2.1. Kỳ vọng toán 2.1.1. ðịnh nghĩaa Biến ngẫu nhiên rời rạc • Cho X = {x1, x2,…, xn} với xác suất tương ứng là p1, p2,…, pnthì kỳ vọng toán gọi tắt là kỳ vọng của X, ký hiệu EX hay MX, là:n 1 12 2 n ni i i 1EX x px p ...x p x p== ++ +=∑.VD 1. Một lô hàng gồm 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lơ hàng đó, gọi X là sốphế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất và tính kỳ vọng của X.Trang 7• Bnn X có hàm mật độ là fx thì:EX x.fxdx+∞ −∞=∫.VD 2. Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X có hàm mậtđộ xác suất23 x2x, x 0; 1fx 40, x 0; 1 +∈ =  ∉ .Chú ý 1 NếuX {xA} =∈ , X liên tục thìEX A∈ .2 Nếu X = {x1,…, xn} thì:1 n1 nEX [min{x ,..., x }; max{x ,..., x }]∈ .VD 3. Thời gian chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục T ñơn vị: phút có hàm mật ñộ xác suất34 t , t0; 3 ft81 0, t0; 3 ∈ =  ∉ . Tính thời gian trung bình chờ mua hàng của 1 khách hàng.VD 4. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật ñộ xác suất2ax bx , x0; 1 fx0, x 0; 1 +∈ =  ∉ . Cho biết EX = 0,6 hãy tính1 P X2      .2.1.2. Ý nghĩa của EX • Kỳ vọng là giá trị trung bình theo xác suất của biếnngẫu nhiên X, nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của X.• Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần chọn phương án cho năng suất hay lợi nhuận cao, người tachọn phương án sao cho năng suất kỳ vọng hay lợi nhuận kỳ vọng cao.VD 5. Theo thống kê, một người Mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên 1 năm có xác suất là 0,992 và người đó chếttrong vòng 1 năm tới là 0,008. Một chương trình bảo hiểm đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho 1 nămvới số tiền chi trả là 10000 USD, phí bảo hiểm là 100 USD. Hỏi cơng ty đó có lãi khơng?VD 6. Một dự án xây dựng ñược viện C thiết kế cho cả 2 bên A và B xét duyệt một cách ñộc lập. Xác suất khảnăng ñể A và B chấp nhận dự án này khi xét duyệt thiết kế là 70 và 80. Nếu chấp nhận dự án thì bên A phảitrả cho C là 400 triệu đồng, còn ngược lại thì phải trả 100 triệu đồng. Nếu chấp nhận dự án thì bên B phải trảcho C là 1 tỉ ñồng, còn ngược lại thì phải trả 300 triệu đồng. Biết chi phí cho thiết kế của C là 1 tỉ ñồng và 10thuế doanh thu. Hỏi viện C có nên nhận thiết kế hay khơng?

2.1.3. Tính chất của EX 1 EC = C với C là hằng số.

2 ECX = C.EX. 3 EX±Y = EX±EY, với X và Y là hai biến ngẫu nhiên.4 EXY = EX.EY nếu X và Y là hai bnn độc lập. 5 NếuY X= ϕthì:i iix p , EYxfxdx,+∞ −∞ ϕ =   ϕ ∑ ∫neáu X rời rạc nếu X liên tục.VD 7. Tính EY với2Y XX 3= ϕ =−, biết X có bảng phân phối xác suất:X –1 0 1 2P 0,1 0,3 0,35 0,25VD 8. Cho bnn X có hàm mật ñộ xác suất:22 , x[1; 2] fxx 0, x[1; 2] ∈ =  ∉ . a Tính EX.b Tính kỳ vọng của52 YX X= −.2.2. Phương sai 2.2.1. ðịnh nghĩa

Xem Thêm

Tài liệu liên quan

• Slide bài giảng xác suất thống kê
  • 22
  • 5,061
  • 52

Tải bản đầy đủ (.pdf) (22 trang)

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(424.7 KB) - Slide bài giảng xác suất thống kê-22 (trang) Tải bản đầy đủ ngay ×