SGK Đại Số Và Giải Tích 11 - Bài 3. Nhị Thức Niu - Tơn

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 11› Giải Bài Tập Toán 11› Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11› Bài 3. Nhị thức Niu - tơn SGK Đại Số và Giải Tích 11 - Bài 3. Nhị thức Niu - tơn

• 
• 
• 
• 
• 

Ta có : (ứ + b)2 = a2 + 2ab + b2 = c^ư2 + cịư1/?1 + c^ồ2, (ữ + bỶ = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = c°a3 + cịứ2/?1 + cftz1^2 + C3Ố3. 1 Khai triển biểu thức (ứ + ố)4 thành tổng các đơn thức. Tổng quát, ta thừa nhận công thức khai triển biểu thức (ữ + b)" thành tổng các đơn thức như sau : (ứ + b)n = cữnan + cy-^b + ... + ckan~kbk + ... + C^W-1 + c”bn. (1) Công thức (1) được gọi là công thức nhị thức Niu-tơn. HỆ QUẢ Với a = b = 1, ta có 2n = cũn + c\ + ... + cị Với a = 1 ; b = -1, ta có 0 = cữn - cln + ... + (-l)*c* + ... + (-l)rtcị CHÚ Ý Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1) : Số các hạng tử là n + 1; Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ « đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luồn bằng n (quy ước ứ° = bữ = 1); Các hệ số của mỗi cặp hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. Ví dụ 1. Khai triển biểu thức (x + y)6. Giải. Theo công thức nhị thức Niu-tơn ta có (X + y)6 = cgx6 + CgX5y + cỊx4y2 + c^x3y3 + c£x2y4 + c^xy5 + c|y6 = X6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y 4 + 6xy5 + y6. ■ Ví dụ 2. Khai triển biểu thức (2x - 3)4 Giải. Theo công thức nhị thức Niu-tơn ta có (2x-3)4= cj(2x)4 + cị(2x)3(-3) + cJ(2x)2(-3)2 + cị2x(-3)3 + cJ(-3)4 = 16x4 - 96x3 + 216x2 - 216x + 81. ■ Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng với n > 4, ta có + C? + cl + ... = cỉ. + C3 + ... = 2n_1. Giải. Kí hiệu A = c° + C2 + ... B = c'„ + c3„ +... Theo Hệ quả ta có 2" = A + B, ữ = A-B. Từ đó suy rá A = B = 2n \ ■ II - TAM GIÁC PA-XCAN Trong công thức nhị thức Niu-tơn ở mục I, cho n = 0, 1,... và xếp các hệ số thành dòng, ta nhận được tam giác sau đây, gọi là tam giác Pa-xcan. « = 0 n = 1 n = 2 n = 3 « = 4 , n = 5 n = 6 n = 1 4 6 4 5 10 10 5 15 20 15 21 35 35 21 NHẬN XÉT Từ công thức C* = C*zỊ + c*_! suy ra cách tính các số ở mỗi dòng dựa vào các số ở dòng trước nó. Chẳng hạn cị = c\ + cị = 4 + 6= 10. 2 Dùng tam giác Pa-xcan, chứng tỏ rằng : l+2 + 3 + 4 = c| ; 1 + 2 + ... + 7 = cị . Bài tập Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn : / . \13 a) (ữ + 2Z>)5 ; b)(ữ-V2)6; c)fx--l . X 9 Q -,..9 9 1 • -Ì Tìm hệ số của X trong khai triến của biếu thức : Z" o A6 Biết hệ số của x~ trong khai triển của (1 - 3x)” là 90. Tìm n. . if Tìm SCí hạng không chứa X trong khai trien cua lx -ị—I . Từ khai triển biếu thức (3x - 4) thành đa thức, hãy tính tông các hệ sô của đa thức nhận được. Chứng minh rằng : 1110 - 1 chia hết cho 100 ; 101100 - 1 chia hết cho 10 000 ; Vĩõ[(l + Vĩõ)100 - (1 - Vĩõ)100] là một số nguyên. BẠN CÓ BIẾT ? PA-XCAN (PASCAL) Pa-xcan là nhà toán học, vật lí học và triết học người Pháp. Pa-xcan lúc nhỏ là một cậu bé thần đồng. Cha cậu nhận thấy điều này. Không muốn sớm làm mệt óc con, ông cấm cậu bé Pa-xcan học toán. Song điều này càng kích thích tính tò mò của cậu. Năm 12 tuổi, một hôm cậu hỏi cha "Hình học là gì ?". Cha cậu giải thích sơ qua cho cậu hiểu. Pa-xcan rất lấy làm thích thú. Cậu liền bước theo con đường đúng là thiên hướng của mình. Không cần sách vở, một mình cậu tự chứng minh được rằng tổng các góc trong một tam giác bằng hai góc vuông. Ở tuổi 16, Pa-xcan viết công trình đầu tiên của mình về các thiết diện cônic. Pa-xcan viết hàng loạt công trình về các chuỗi số và các hệ số nhị thức. Pa-xcan đã đưa ra bảng các hệ số của sự khai triển của (ữ + b)" dưới dạng một tam giác, ngày nay gọi là "Tam giác Pa-xcan". Pa-xcan đã tìm ra các hệ số nhị thức bằng phương pháp quy nạp toán học, đó là một trong những phát minh quan trọng của ông. Điều mới mẻ ở đây là Pa-xcan phát hiện ra rằng các hệ số nhị thức chính làsố các tổ hợp chập k của n phần tử và Pa-xcan đã dùng chúng để giải những bài toán của lí thuyết xác suất. Một cống hiến lớn nữa của Pa-xcan là việc khởi thảo phép tính các đại lượng vô cùng bé. Về mặt kĩ thuật, ngay từ năm 1642, lúc mới 19 tuổi, Pa-xcan đã sáng chế ra một máy tính để thực hiện các phép tính sô' học. Nguyên tắc của máy nay đã là xuầt phát điểm cho việc chế tạo máy tính điện tử về sau này. Để ghi nhớ cồng lao của người đầu tiên đã sáng chế ra máy tính, các nhà tin học đã đặt tên cho một ngôn ngữ máy tính rất phổ biến là ngôn ngữ Pa-xcan. Về vật lí, Pa-xcan đã nghiên cứu áp suất của khí quyển và các vấn đề thuỷ tĩnh học. Tên của Pa-xcan đã được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt Trăng.

Các bài học tiếp theo

• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Ôn tập chương II
• Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
• Bài 2. Dãy số
• Bài 3. Cấp số cộng
• Bài 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• Bài 1. Giới hạn của dãy số
• Bài 2. Giới hạn của hàm số

Các bài học trước

• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Bài 1. Quy tắc đếm
• Ôn tập chương I
• Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
• Bài 1. Hàm lượng giác

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11(Đang xem)
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
• Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
• Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
• Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
• Giải Toán 11 Hình Học
• Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
• Giải bài tập Hình học 11

Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11

• Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
• Bài 1. Hàm lượng giác
• Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
• Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Ôn tập chương I
• Chương II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT
• Bài 1. Quy tắc đếm
• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Bài 3. Nhị thức Niu - tơn(Đang xem)
• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Ôn tập chương II
• Chương III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
• Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
• Bài 2. Dãy số
• Bài 3. Cấp số cộng
• Bài 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• Chương IV. GIỚI HẠN
• Bài 1. Giới hạn của dãy số
• Bài 2. Giới hạn của hàm số
• Bài 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• Chương V. ĐẠO HÀM
• Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
• Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
• Bài 4. Vi phân
• Bài 5. Đạo hàm cấp hai
• Ôn tập chương V
• Ôn tập cuối năm