SGK Giải Tích 12 - Bài đọc Thêm: Cung Lồi, Cung Lõm Và điểm Uốn

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 12› Giải Bài Tập Toán 12› Sách Giáo Khoa - Giải Tích 12› Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Bài đọc thêm: Cung lồi, cung lõm và điểm uốn SGK Giải Tích 12 - Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Bài đọc thêm: Cung lồi, cung lõm và điểm uốn

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I - ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y =/(x) xác định trên tập D. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm sô' y = /(x) trên tập D nếu /(%) < M với mọi X thuộc D và tồn tại X'o e D sao cho /(x0) = M. Kí hiệu M = max/(x). D Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = /(x) trên tập D nếu /(x) > m với mọi X thuộc D và tồn tại Xq e D sao cho /(x0) = m. Kí hiệu m = min/(x). D Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số - ,1 y = X - 5 + — X trên khoảng (0 ; +oo). Giải. Trên khoảng (0 ; +co), ta có y' = 1 —ụ X2 y' = 0 X2 -1 = 0 X = 1. Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy trên khoảng (0 ; +co) hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất, đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy min /(x) = -3 (tại X = 1). Không tồn tại giá trị lớn nhất của/(x) (0;+oo) trên khoảng (0 ; +00). II - CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN V “Xét tính đồng biến, nghịch biến và tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sô': y = X2 trên đoạn [-3 ; 0]; y = ^ịtrên đoạn [3 ; 5].. Định lí ( . 77. 7 :> Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. \ í : / Ta thừa nhận định lí này. Ví dụ 2. Tính giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm sô' y - sinx Trên đoạn Trên đoạn 71 . 6 7Ĩ 7ti 6 ;_6~ Giải Hình 9 Từ đồ thị cùa hàm số y = sinx (H.9), ta thấy ngay 7rc 6; T a) Trên đoạn D = ta có 1 2;y Từ đó maxy = 1 ;miny = , D D 2 ^1 = 1 v2j 7ĩt b) Trên đoạn E = 6 2” ta có 1 [ 7t “2’yl2y = 15 yƯ2)= -1’=°' Vậy maxy = 1 ; miny = -1. E E Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn Cho hàm số y - -X2 +2nếu -2<x< 1 X nếu 1 < X < 3 có đồ thị như Hình 10. Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhắt của ham sổ trên đoạn [-2 ; 3] và nêu cách tính. NHẬN XÉT Nếu đạo hàm/'(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [ứ ; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó,/(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn. Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm Xị (Xị < Xj+1) mà tại đó f '(x) bằng 0 hoặc không xác định thì hàm số y - f(x) đơn điệu trên mỗi khoảng(Xị ;Xj+i). Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [a ; b] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a, b và tại các điểm X. nói trên. Quy tắc Tìm các điểm Xị, X2,...,xntrên khoảng (ứ ; ỏ), tại đó/'(x) bằng 0 hoặc f '(x) không xác định. Tính/(ứ), /Gq), /(x2),/(ố). Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có M = max f(x), m = min /(%). [ứ; b] [a; b] CHÚ Ý Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó. Chẳng hạn, hàm số /(%) - — không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên X khoảng (0 ; 1). Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên một khoảng như trong Ví dụ 3 dưới đây. Ví dụ 3. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như Hình 11 để được một cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất. Hình 11 Giải. Gọi X là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt. Rõ ràng X phải thoả mãn điều kiện 0 < X < -Ệ. Thể tích của khối hộp là V(x) = x(a - 2x)2 ^0 < X < Ta phải tìm Xq e [ o; y J sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất. Ta có V'(x) = (a - 2x)2 + x.2(a - 2x).(-2) = (a - 2x)(a - 6x). Trên khoảng Ị^o ; 1^, ta có V(x) = o X = ị. Bảng biến thiên nhất là điểm cực đại X = nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất: 6 max V(x) = Lập bảng biến thiên của hàm số /« = 1 + x2 Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của/(*) trên tập xác định. Bài tạp Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = X3 - 3x2 - 9x + 35 trên các đoạn [-4 ; 4] và [0 ; 5] ; y = X4 - 3x2 + 2 trên các đoạn [0 ; 3] và [2 ; 5] ; 2 — X y = 7—-trên các đoạn [2 ; 4] và [-3 ; -2] ; 1 - X y = ự5 - 4xtrên đoạn [-1 ; 1], Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau : a) y = 4 ; b) y = 4x3 - 3x4. + x2 Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau : ,, 4 a) y = IXI ; b) y = X + — (x > 0). X BÀI Đ ỌC THÊM CUNG LÓI, CUNG LÕM VÀ ĐlỂM uốn 1. Khái niệm về cung lồi, cung lõm và điểm uốn Xét đổ thị ACB của hàm sô' y = f(x) biểu diễn trên Hình 12. Giả sử đồ thị có tiếp tuyến tại mọi điểm. Tại mọi điểm của cung AC , tiếp tuyến luôn luôn ở phía trên của AC . Ta nói AC là một cung lồi. Nếu a là hoành độ của điểm A, c là hoành độ của điểm c, thì khoảng (ứ; c) được gọi là một khoảng lồi của đồ thị. Tại mọi điểm của cungCB, tiếp tuyến luôn luôn ở phía dưới củaCS . Ta nói CB là một cung lõm. Kí hiệu b là hoành độ của điểm B thì khoảng (c; b) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị. Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn của đồ thị. Trên Hình 12, c là một điểm uốn. CHÚ Ý Tại điểm uốn, tiếp tuyến đi xuyên qua đồ thị (H.12). Trong một sô' giáo trình, nhất là giáo trình Giải tích toán học ở Đại học, người ta gọi AC trên Hình 12 là cung lõm và CB là cung lồi. í Dấu hiệu lồị, lõm và điểm uốn Ta có hai định lí sau đây. ĐỊNH LÍ 1 X —00 0 +00 y" 0 + Đồ thị của hàm số Vậy đồ thị hàm trên khoảng (0 ; của đồ thị hàm b) Ta có / = - Bảng xét dấu y X Điểm uốn Lố ơ(0; 0) Lõm sô' lồi trên khoảng (-00; 0), lõm +00). Điểm ỡ(0 ; 0) là điểm uốn 5Ố (H.13). -cosx, y" = sinx. 1 0 7C 2% y" + 0 - Đồ thị của hàm sô' Điểm uốn Lõm Â(n; 0) Lồi Hình 13 *1 Vậy trên đoạn [0 ; 2tc), đồ thị hàm số lõm trên khoảng (0 ; 7i), lồi trên khoảng (71 ; 2n). Điểm A(n ; 0) là điểm uốn của đồ thị hàm số (H.14). Ví dụ 2. Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm sô' x + 1 x-ỉ Giải. Tập xác định :R \{1}. y' = ——, xác định với mọi X * 1 ; u-l)2 Bảng xét dấu y" y" = ———, xác định với mọi X * 1. (x-1)3 X —00 1 +00 y” - + Đồ thị của hàm sô' Lồi Lõm Vậy đồ thị của hàm số lồi trên khoảng (-00 ; 1) và lõm trên khoảng (1 ; +00). (Đồ thị không có điểm uốn vì hàm số không xác định tại điểm X = 1) (H.15).

Các bài học tiếp theo

• Bài 4. Đường tiệm cận
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Ôn tập chương I
• Bài 1. Lũy thừa
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 3. Lôgarit - Bạn có biết: Ai đã phát minh ra lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
• Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
• Ôn tập chương II

Các bài học trước

• Bài 2. Cực trị của hàm số
• Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Bài đọc thêm: Tính chất đơn điệu của hàm số - Bạn có biết: La - garăng (J. L. Lagrange)

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Giải Tích 12(Đang xem)
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 12
• Giải Bài Tập Toán 12 Giải Tích
• Giải Bài Tập Toán 12 Hình Học
• Giải Toán 12 Giải Tích
• Giải Toán 12 Hình Học
• Giải Bài Tập Giải Tích 12
• Giải Bài Tập Hình Học 12

Sách Giáo Khoa - Giải Tích 12

• Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
• Bài 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số - Bài đọc thêm: Tính chất đơn điệu của hàm số - Bạn có biết: La - garăng (J. L. Lagrange)
• Bài 2. Cực trị của hàm số
• Bài 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Bài đọc thêm: Cung lồi, cung lõm và điểm uốn(Đang xem)
• Bài 4. Đường tiệm cận
• Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Ôn tập chương I
• Chương II. HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
• Bài 1. Lũy thừa
• Bài 2. Hàm số lũy thừa
• Bài 3. Lôgarit - Bạn có biết: Ai đã phát minh ra lôgarit
• Bài 4. Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit
• Bài 5. Phương trình mũ và phương trình lôgarit
• Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
• Ôn tập chương II
• Chương III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
• Bài 1. Nguyên hàm
• Bài 2. Tích phân - Bạn có biết: Niu - ton (I. Newwton)
• Bài 3. Ứng dụng của tích phân trong hình học - Bạn có biết: Lịch sử phép tích phân - Bài đọc thêm: Tính diện tích bằng giới hạn
• Ôn tập chương III
• Chương IV. SỐ PHỨC
• Bài 1. Số phức - Bạn có biết: Các - đa - nô (G. CARDANO)
• Bài 2. Cộng, trừ và nhân số phức
• Bài 3. Phép chia số phức
• Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực - Bài đọc thêm: Phương trình đại số
• Ôn tập Chương IV
• Bài tập cuối năm
• Đáp số - Hướng dẫn