Sử Dụng Phương Pháp Số Phức Giải Bài Toán Điện Xoay Chiều

PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC

SỬ DỤNG TRONG ĐIỆN XOAY CHIỀU

 

& Cài đặt chế độ tính toán trong máy fx-570es:

-         Bấm MODE  2  để cài đặt tính toán với số phức.

-         Bấm SHIFT MODE   3   2   để cài đặt hiển thị số phức dạng $A\angle \varphi $.

-         Bấm SHIFT MODE  4  để cài đặt đơn vị góc là rad.

& Dạng phức của một số biểu thức:

-         $Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}\to \widetilde{Z}=R+i\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)$

-         

-        

-         $i=\frac{u}{\widetilde{Z}}=\frac{{{u}_{R}}}{R}=\frac{{{u}_{L}}}{\widetilde{{{Z}_{L}}}}=\frac{{{u}_{C}}}{\widetilde{{{Z}_{C}}}}=\frac{{{u}_{MN}}}{\widetilde{{{Z}_{MN}}}}$

 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Đặt điệp áp xoay chiều $u=220\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+\pi /3 \right)$ (V) vào hai đầu đoạn mạch theo đúng thứ tự gồm điện trở thuần $R=50\,\Omega $, tụ điện có điện dung $C=100/\pi \,\left( \mu F \right)$ và cuộn cảm thuần có độ tự cảm $L=0,5/\pi \,\left( H \right)$ mắc nối tiếp.

a) Tính tổng trở của mạch. Điện áp hai đầu đoạn mạch sớm hay trễ hơn dòng điện trong mạch bao nhiêu?

b) Viết biểu thức cường độ dòng điện qua mạch.

c) Viết biểu thức điện áp ở hai đầu chứa R và C.

d) Viết biểu thức điện áp ở hai đầu chứa L và C.

Hướng dẫn

a) ${{Z}_{L}}=\omega L=50$($\Omega $) ; ${{Z}_{C}}=\frac{1}{\omega C}=100$($\Omega $)

$\widetilde{Z}=R+i\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)=50+i\left( 50-100 \right)=50\sqrt{2}\angle -\frac{\pi }{4}$

Tổng trở của mạch $Z=50\sqrt{2}\,\Omega $.

Điện áp trễ pha hơn dòng điện là $\frac{\pi }{4}$.

b) $i=\frac{u}{\widetilde{Z}}=\frac{{{U}_{0}}\angle {{\varphi }_{u}}}{R+i\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}=\frac{220\sqrt{2}\angle \frac{\pi }{3}}{50+i\left( 50-100 \right)}=4,4\angle \frac{7\pi }{12}$

$\Leftrightarrow i=4,4\cos \left( 100\pi t+\frac{7\pi }{12} \right)\,\left( A \right)$

c) ${{u}_{RC}}=i\widetilde{{{Z}_{RC}}}=\frac{u}{\widetilde{Z}}\widetilde{{{Z}_{RC}}}=\frac{220\sqrt{2}\angle \frac{\pi }{3}}{50+i\left( 50-100 \right)}\left[ 50+i\left( 0-100 \right) \right]\approx 491,935\angle 0,725$

$\Leftrightarrow {{u}_{RC}}=491,935\cos \left( 100\pi t+0,725 \right)\,\left( V \right)$

d) ${{u}_{CL}}=i\widetilde{{{Z}_{CL}}}=\frac{u}{\widetilde{Z}}\widetilde{{{Z}_{CL}}}=\frac{220\sqrt{2}\angle \frac{\pi }{3}}{50+i\left( 50-100 \right)}\left[ 0+i\left( 50-100 \right) \right]=220\angle \frac{\pi }{12}$

$\Leftrightarrow {{u}_{CL}}=220\cos \left( 100\pi t+\frac{\pi }{12} \right)\,\left( V \right)$

Ví dụ 2: Một mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp gồm điện trở thuần $R=25\,\Omega $, cuộn cảm thuần có cảm kháng ${{Z}_{L}}=25\,\Omega $ và tụ điện có dung kháng ${{Z}_{C}}=10\,\Omega $. Nếu dòng điện qua mạch có biểu thức $i=2\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+\pi /6 \right)\,\left( A \right)$ thì biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch là?

Hướng dẫn

$u=i\widetilde{Z}=\left( 2\sqrt{2}\angle \frac{\pi }{6} \right)\left[ 15+i\left( 25-10 \right) \right]=60\angle \frac{5\pi }{12}$

$\Rightarrow u=60\cos \left( 100\pi t+\frac{5\pi }{12} \right)\,\left( V \right)$

Ví dụ 3: Đặt điệp áp xoay chiều $u=220\sqrt{2}\cos 100\pi t\,\left( V \right)$ vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần $R=55\,\Omega $ mắc nối tiếp với tụ điện thì công suất tiêu thụ trên đoạn mạch là 440 W. Viết biểu thức cường độ dòng điện qua đoạn mạch.

Hướng dẫn

$i=\frac{u}{\widetilde{Z}}=\frac{220\sqrt{2}}{55+i\left( 0-55 \right)}=4\angle \frac{\pi }{4}\Leftrightarrow i=4\cos \left( 100\pi t+\frac{\pi }{4} \right)\,\left( A \right)$

Ví dụ 4: Một đoạn mạch xoay chiều nối tiếp gồm cuộn cảm thuần có độ tự cảm $0,6/\pi \,\left( H \right)$, điện trở thuần R và tụ điện có điện dung C. Biết biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch và dòng điện trong mạch lần lượt là $u=240\sqrt{2}\cos 100\pi t\,\left( V \right)$ và $i=4\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t-\pi /6 \right)\,\left( A \right)$. Giá trị của R và C lần lượt là?

Hướng dẫn

\[{{Z}_{L}}=\omega L=60\]($\Omega $) $\Rightarrow \widetilde{Z}=R+i\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)=R+i\left( 60-{{Z}_{C}} \right)$

Mà $\widetilde{Z}=\frac{u}{i}=\frac{240\sqrt{2}}{4\sqrt{2}\angle -\frac{\pi }{6}}=30\sqrt{3}+30i$

Ví dụ 5: Đặt vào hai đầu hộp kín X (chỉ gồm các phần tử mắc nối tiếp) một điệp áp xoay chiều $u=100\cos \left( 100\pi t+\pi /6 \right)\,\left( V \right)$ thì cường độ dòng điện qua mạch $i=2\cos \left( 100\pi t+2\pi /3 \right)\,\left( A \right)$. Nếu thay điện áp trên bằng điện áp khác có biểu thức $u=400\sqrt{2}\cos \left( 200\pi t+\pi /3 \right)\,\left( V \right)$ thì cường độ dòng điện $i=5\sqrt{2}\cos \left( 200\pi t-\pi /6 \right)\,\left( A \right)$. X có thể chứa:

A. $R=25\,\Omega $, $L=\frac{2,5}{\pi }\left( H \right)$, $C=\frac{{{10}^{-4}}}{\pi }\,\left( F \right)$

B. $L=\frac{0,7}{\pi }\,\left( H \right)$, $C=\frac{{{10}^{-3}}}{12\pi }\,\left( F \right)$

C. $L=\frac{1,5}{\pi }\,\left( H \right)$, $C=\frac{1,{{5.10}^{-4}}}{\pi }\,\left( F \right)$

D. $R=25\,\Omega $, $L=\frac{5}{12\pi }\,\left( H \right)$

Hướng dẫn

$\widetilde{Z}=R+i\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)=\frac{u}{i}=\frac{100\angle \frac{\pi }{6}}{2\angle \frac{2\pi }{3}}=-50i$ $\Rightarrow R=0$; ${{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}=-50$ (1)

Từ (1), (2) suy ra 

$L=\frac{{{Z}_{L}}}{\omega }=\frac{0,7}{\pi }\,\left( H \right)$; $C=\frac{1}{{{Z}_{C}}\omega }=\frac{{{10}^{-3}}}{12\pi }\,\left( F \right)$

$\Rightarrow $ Chọn B

Ví dụ 6: Cuộn dây có hệ số tự cảm $L=\frac{2}{\pi }\,\left( H \right)$, có điện trở $r=100\,\Omega $ mắc nối tiếp với đoạn mạch X. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp $u=120\sqrt{2}\cos 100\pi t\,\left( V \right)$ thì cường độ dòng điện qua cuộn dây là $i=0,6\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t-\pi /6 \right)\,\left( A \right)$. Tính hiệu điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch X.

Hướng dẫn

${{u}_{X}}=u-{{u}_{L}}=u-i\widetilde{{{Z}_{L}}}=120\sqrt{2}-\left( 0,6\sqrt{2}\angle -\frac{\pi }{6} \right)\left( 100+200i \right)=105,159\angle -1,4625$

\[\Rightarrow {{U}_{X}}=\frac{105,159}{\sqrt{2}}=74,36\,\left( V \right)\] 

Ví dụ 7: Đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn cảm thuần, đoạn mạch X và tụ điện (hình vẽ). Khi đặt vào hai đầu A, B điện áp  (${{U}_{0}}$, $\omega $, $\varphi $ không đổi) thì $LC{{\omega }^{2}}=1$, ${{U}_{AN}}=25\sqrt{2}\,\left( V \right)$ và ${{U}_{MB}}=50\sqrt{2}\,\left( V \right)$, đồng thời ${{u}_{AN}}$ sớm pha $\frac{\pi }{3}$ so với ${{u}_{MB}}$. Tính giá trị của ${{U}_{0}}$.

Hướng dẫn

${{u}_{AN}}+{{u}_{MB}}={{u}_{L}}+{{u}_{X}}+{{u}_{X}}+{{u}_{C}}=2{{u}_{X}}=2u$

$\Rightarrow u=\frac{1}{2}\left( {{u}_{AN}}+{{u}_{MB}} \right)=\frac{1}{2}\left( 50\angle \frac{\pi }{3}+100 \right)=25\sqrt{7}\angle 0,33$

$\Rightarrow {{U}_{0}}=25\sqrt{7}\,V$

 

Ví dụ 8: Đặt điện áp xoay chiều ổn định vào hai đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp (hình vẽ). Biết tụ điện có dung kháng ${{Z}_{C}}$, cuộn cảm thuần có cảm kháng ${{Z}_{L}}$ và $3{{Z}_{L}}=2{{Z}_{C}}$. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của điện áp giữa hai đầu đoạn mạch AN và điện áp giữa hai đầu đoạn mạch MB như hình vẽ. Điện áp hiệu dụng giữa hai điểm M và N là?

                                                              

Hướng dẫn

$T=4\left( \frac{2}{3}-\frac{1}{6} \right){{.10}^{-2}}=0,02\,\left( s \right)\Rightarrow \omega =2\pi f=100\pi \,\left( rad/s \right)$

${{u}_{AN}}=200\cos 100\pi t\,\left( V \right)$

${{u}_{MB}}$ sớm hơn ${{u}_{AN}}$ là $2.\frac{T}{12}=\frac{T}{6}$ tương đương về pha là $\frac{\pi }{3}$ nên ${{u}_{MB}}=100\cos \left( 100\pi t+\frac{\pi }{3} \right)\,\left( V \right)$

$3{{u}_{L}}+4{{u}_{C}}=0\Rightarrow 7{{u}_{X}}=4{{u}_{AN}}+3{{u}_{MB}}$

${{u}_{X}}=\frac{4{{u}_{AN}}+3{{u}_{MB}}}{7}=\frac{800+300\angle \frac{\pi }{3}}{7}=140,698\angle 0,267$

$\Rightarrow {{U}_{X}}=\frac{140.698}{\sqrt{2}}=99,5\,\left( V \right)$

 

Bài tập tự luyện

Bài 1: Một đoạn mạch không phân nhánh gồm điện trở thuần 80 $\Omega $, một cuộn dây có điện trở thuần 20 $\Omega $, có độ tự cảm 0,318 H và một tụ điện có điện dung 15,9 $\mu F$. Điệp áp xoay chiều giữa hai đầu đoạn mạch có giá trị hiệu dụng 200 V, có tần số 50 Hz và pha ban đầu bằng không (có dạng hàm cos). Biểu thức dòng điện là

A. $i=2\cos \left( 100\pi t+\frac{\pi }{4} \right)$ (A)               B. $i=2\cos \left( 100\pi t-\frac{\pi }{4} \right)$ (A)

C. $i=2\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t-\frac{\pi }{4} \right)$ (A)            D. $i=\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+\frac{\pi }{4} \right)$ (A)

Bài 2: Một mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R = 15 $\Omega $, cuộn cảm thuần có cảm kháng ${{Z}_{L}}$= 25 $\Omega $ và tụ điện có dung kháng ${{Z}_{C}}$ = 10 $\Omega $. Nếu dòng điện qua mạch có biểu thức $i=2\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+\pi /4 \right)$ (A) thì biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch là

A. $u=60\cos \left( 100\pi t+\frac{\pi }{2} \right)$(V)             B. $u=30\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+\frac{\pi }{4} \right)$(V)

C. $u=60\cos \left( 100\pi t-\frac{\pi }{4} \right)$(V)              D. $u=30\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t-\frac{\pi }{2} \right)$(V)

Bài 3: Mạch điện xoay chiều gồm điện trở 30 $\Omega $, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 0,6/$\pi $ (H), tụ điện có điện dung 100/$\pi $ ($\mu F$). Dòng mạch chính có biểu thức $i=4\cos \left( 100\pi t+\pi /6 \right)$ (A). Viết biểu thức điện áp giữa hai đầu đoạn mạch chứa cuộn cảm và tụ điện.

A. ${{u}_{LC}}=160\cos \left( 100\pi t-\frac{\pi }{3} \right)$ (V)                B. ${{u}_{LC}}=160\cos \left( 100\pi t+\frac{2\pi }{3} \right)$ (V)

C. ${{u}_{LC}}=160\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t-\frac{\pi }{3} \right)$ (V)   D. ${{u}_{LC}}=160\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+\frac{\pi }{3} \right)$ (V)

Bài 4: Một đoạn mạch xoay chiều nối tiếp AB gồm điện trở 100 $\Omega $, cuộn cảm thuần có cảm kháng 100 $\Omega $ và tụ điện có dung kháng 200 $\Omega $. Biết điện áp tức thời giữa hai đầu bản tụ có biểu thức ${{u}_{C}}=100\cos \left( 100\pi t-\pi /6 \right)$ (V) (t đo bằng giây). Biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch AB là

A. $u=100\cos \left( 100\pi t-\frac{\pi }{4} \right)$ (V)           B. $u=50\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+\frac{\pi }{3} \right)$ (V)      

C. $u=100\cos \left( 100\pi t-\frac{\pi }{6} \right)$ (V)           D. $u=50\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+\frac{\pi }{12} \right)$ (V)    

Bài 5: Một cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và điện trở thuần R. Đặt vào hai đầu cuộn cảm điện áp $u=120\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t+\pi /6 \right)$ (V) thì dòng điện trong mạch có biểu thức $i=2\cos \left( 100\pi t-\pi /12 \right)$ (A). Giá trị của R là

A. 30 $\Omega $                  B. 75 $\Omega $                   C. 60 $\Omega $                  D. $30\sqrt{3}$ $\Omega $

Bài 6: Cho một đoạn mạch điện xoay chiều gồm hai phần tử mắc nối tiếp. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch và dòng điện trong mạch có biểu thức $u=100\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t-\pi /2 \right)$ (V) và $i=10\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t-\pi /4 \right)$ (A). Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Đoạn mạch chứa cuộn cảm thuần và tụ điện.

B. Đoạn mạch chứa điện trở thuần và tụ điện.

C. Đoạn mạch chứa cuộn cảm thuần và điện trở.

D. Tổng trở của mạch là $10\sqrt{2}$ $\Omega $.

Bài 7: Mạch điệp áp xoay chiều AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn AM gồm điện trở thuần R = 90 $\Omega $ mắc nối tiếp với tụ điện có dung kháng 90 $\Omega $, đoạn MB là cuộn dây có điện trở thuần r và cảm kháng ${{Z}_{L}}$. Biết biểu thức điện áp trên đoạn AM và trên đoạn MB lần lượt là ${{u}_{AM}}=180\sqrt{2}\cos \left( 100\pi t-\pi /2 \right)$ (V) và ${{u}_{MB}}=60\sqrt{2}\cos 100\pi t$ (V). Giá trị của r và cảm kháng ${{Z}_{L}}$ lần lượt là

A. 40 $\Omega $ và 40 $\Omega $                                   B. 30 $\Omega $ và 30 $\Omega $

C. 40 $\Omega $ và 30 $\Omega $                                   D. 30 $\Omega $ và 40 $\Omega $

Bài 8: Đoạn mạch AB gồm cuộn cảm thuần có hệ số tự cảm L = 2/$\pi $ (H) mắc nối tiếp với đoạn mạch X. Đặt vào hai đầu AB một điện áp $u=120\cos (100\pi t+\pi /12)$ (V) thì cường độ dòng điện qua cuộn dây là $i=0,6\cos \left( 100\pi t-\pi /12 \right)$ (A). Tìm hiệu điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch X.

A. 240 V              B. $60\sqrt{3}$ V                  C. $60\sqrt{2}$ V                  D. 120 V

Bài 9: Đoạn mạch xoay chiều nối tiếp gồm cuộn cảm thuần, đoạn mạch X và tụ điện (hình vẽ). Biết điện áp  (V), $LC{{\omega }^{2}}=2$, ${{U}_{AN}}={{U}_{MB}}=50\sqrt{2}$ V, đồng thời ${{u}_{AN}}$ sớm pha 2$\pi $/3 so với ${{u}_{MB}}$. Xác định góc lệch pha giữa ${{u}_{AB}}$ và ${{u}_{MB}}$.

A. $\frac{\pi }{6}$                          B. $\frac{\pi }{2}$                           C. $\frac{\pi }{3}$                              D. $\frac{\pi }{12}$

Bài 10: Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp. Đoạn mạch AM gồm điện trở thuần ${{R}_{1}}$  mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C, đoạn mạch MB gồm điện trở thuần ${{R}_{2}}$ mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm L. Đặt điện áp xoay chiều có tần số và giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB. Khi đó đoạn mạch AB tiêu thụ công suất bằng 120 W và có hệ số công suất bằng 1. Nếu nối tắt hai đầu tụ điện thì điện áp hai đầu đoạn mạch AM và MB có cùng giá trị hiệu dụng nhưng lệch pha nhau $\pi $/3 công suất tiêu thụ trên đoạn mạch AB trong trường hợp này bằng

A. 180 W             B. 160 W             C. 90 W               D. 75 W

Bài 11: Đoạn mạch AB gồm đoạn mạch AM mắc nối tiếp với đoạn mạch MB. Đoạn mạch AM gồm cuộn cảm thuần có cảm kháng 50 $\Omega $ và điện trở thuần ${{R}_{1}}$ = 50 $\Omega $ mắc nối tiếp. Đoạn mạch MB gồm tụ điện có điện dung C và điện trở thuần ${{R}_{2}}$ mắc nối tiếp. Điện áp tức thời ở hai đầu đoạn mạch AM và MB lần lượt là ${{u}_{AM}}=200\cos \left( 100\pi t+\pi /6 \right)$ (V) và ${{u}_{MB}}=100\cos \left( 100\pi t-5\pi /12 \right)$ (V). Hệ số công suất đoạn mạch AB là

A. 0,96                 B. 0,72                 C. 0,68                 D. 0,54

 

1 A

2 A

3 A

4 D

5 C

6 B

7 B

8 C

9 C

10 C

11 A

 

Bài viết gợi ý:

1. Mạch RLC nối tiếp

2. Đại cương về dòng điện xoay chiều

3. Giao Thoa Sóng

4. Đặc trưng sinh lí của âm

5. Con lắc đơn trong điện trường

6. Sóng âm

7. TỐC ĐỘ VÀ LỰC CĂNG DÂY CỦA CON LẮC ĐƠN