Tích Của Vectơ Với Một Số: Tổng Hợp Lý Thuyết Và Các Dạng Bài Tập

Số lượt đọc bài viết: 5.062

Cùng với chủ đề tổng và hiệu của hai vectơ, những nội dung về tích của vectơ với một số cũng là phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán lớp 10. Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu chi tiết về lý thuyết, các dạng toán cũng như một số bài tập điển hình về tích của vectơ với một số, cùng tìm hiểu nhé!. 

MỤC LỤC

• Lý thuyết tích của vectơ với một số
  • Định nghĩa tích của vectơ với một số
  • Tính chất tích của vectơ với một số
  • Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
  • Điều kiện để hai vectơ cùng phương là gì?
• Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương 
• Các dạng toán điển hình về tích của vectơ với một số 
  • Dạng 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số
  • Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức vectơ từ dữ liệu đã cho
  • Dạng 3: Xác định điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước
  • Dạng 4: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
  • Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm
  • Dạng 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước
  • Dạng 7: Xác định tính chất của hình khi biết một đẳng thức vectơ
  • Dạng 8: Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan độ dài vectơ

Lý thuyết tích của vectơ với một số

Định nghĩa tích của vectơ với một số

Cho số \(k\ne0\) và vectơ \(\overrightarrow{a}\ne0\). Tích của vectơ \(\overrightarrow{a}\) với số \(k\) sẽ là một vectơ, được kí hiệu là \(k\overrightarrow{a}\), cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k>0\), ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k<0\) và có độ dài bằng \(\left | k \right |\left | \overrightarrow{a} \right |\).

Ta quy ước \(0\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0},k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)

Tính chất tích của vectơ với một số

Với hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) bất kì, với mọi số \(h\) và \(k\), ta có: 

• \(k\left ( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right )=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)
• \(\left ( h+k \right )\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}\)
• \(h\left ( k\overrightarrow{a} \right )=\left (hk \right )\overrightarrow{a}\)
• \(1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\)
• \(\left (-1 \right ).\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}\)

Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

• Nếu \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\)
• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\).

Chứng minh: 

• \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\left (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right )+\left (\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right )=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}\) (do \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\))
• \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\left (\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right )+\left (\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \right )+\left ( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right )=3\overrightarrow{MG}+\left (\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right )=3\overrightarrow{MG}\) (do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\))

Điều kiện để hai vectơ cùng phương là gì?

• Điều kiện để hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương \(\left (\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0} \right )\) khi và chỉ khi có số \(k\) thỏa \(\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\).
• Điều cần và đủ để \(A,B,C\) thẳng hàng là có số \(k\) sao cho \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\)

Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương 

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương và vectơ \(\overrightarrow{x}\) tùy ý. Khi đó tồn tại hai số thực \(h,k\) sao cho \(\overrightarrow{x}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)

Chúng minh: 

Lấy vectơ \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{x}\). Lấy \(O\) là điểm đầu và vẽ hai vectơ \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\). Từ C kẻ các đường thẳng song song với các đường thẳng OA và OB.

Ta có: \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA’}+\overrightarrow{OB’}\).

Vì \(\overrightarrow{OA’}\) và \(\overrightarrow{OA}\) cùng phương nên tồn tại số h sao cho \(\overrightarrow{OA’}=h.\overrightarrow{OA}\).

\(\overrightarrow{OB’}\) và \(\overrightarrow{OB}\) cùng phương nên tồn tại số k sao cho \(\overrightarrow{OB’}=k.\overrightarrow{OB}\).

Vậy \(\overrightarrow{OC}=h.\overrightarrow{OA}+k.\overrightarrow{OB}\)

Hay là \(\overrightarrow{x}=h.\overrightarrow{a}+k.\overrightarrow{b}\). 

Các dạng toán điển hình về tích của vectơ với một số 

Dạng 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số

Phương pháp giải: 

Sử dụng định nghĩa tích của vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích của vectơ với một số, kết hợp các định lý pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng.

Ví dụ 1: Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), điểm \(M\) là trung điểm của \(BC\). Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.

1. \(\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}\)
2. \(\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
3. \(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}\)
4. \(\frac{3}{4}\overrightarrow{MA}+\frac{5}{2}\overrightarrow{MB}\)

Cách giải: 

1. Do \(\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CM}\) suy ra theo quy tắc ba điểm ta có: 

\(\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CA}\)

Vậy \(\left |\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA} \right |=\left |\overrightarrow{CA} \right |=a\)

     2. Vì \(\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BM}\) ne theo quy tắc trừ ta có \(\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA}\)

Theo định lý Pitago ta có: 

\(MA=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{a^2-\left (\frac{a}{2} \right )^2}=\frac{a\sqrt3}{2}\)

Vậy \(\left |\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \right |=\overrightarrow{MA}=\frac{a\sqrt3}{2}\)

    3. Gọi N là trung điểm AB, Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình bình hành AQPN.

Khi đó ta có \(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AN},2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AQ}\) suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có \(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AP}\)

Gọi L là hình chiếu của A lên QN

Vì \(MN\parallel AC\Rightarrow \widehat{ANL}=\widehat{MNB}=\widehat{CAB}=60^\circ\).

Xét tam giác vuông ANL ta có: 

\(\sin{ANL}=\frac{AL}{AN}\Rightarrow AL=AN.\sin{ANL}=\frac{a}{2}\sin{60^\circ}=\frac{a\sqrt3}{4}\)

\(\cos{ANL}=\frac{NL}{AN}\Rightarrow NL=AN.\cos{ANL}=\frac{a}{2}\cos{60^\circ}=\frac{a}{4}\)

Ta lại có \(AQ=PN\Rightarrow PL=PN+NL=AQ+NL=2a+\frac{a}{4}=\frac{9a}{4}\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ALP ta có: 

\(AP^2=AL^2+PL^2=\frac{3a^2}{16}+\frac{81a^2}{16}=\frac{21a^2}{4}\Rightarrow\frac{a\sqrt{21}}{2}\)

Vậy \(\left |\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC} \right |=AP=\frac{a\sqrt{21}}{2}\)

    4. Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho \(MK=\frac{3}{4}MA\), H thuộc tia MB sao cho \(\overrightarrow{MH}=\frac{5}{2}\overrightarrow{MB}\).

Khi đó \(\frac{3}{4}\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MK},\frac{5}{2}\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MH}\)  

Do đó \(\frac{3}{4}\overrightarrow{MA}-\frac{5}{2}\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MK}-\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{HK}\)

Ta có \(MK=\frac{3}{4}AM=\frac{3}{4}.\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{3a\sqrt3}{8},MH=\frac{5}{2}MB=\frac{5}{2}.\frac{a}{2}=\frac{5a}{4}\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông KMH ta có: 

\(KH=\sqrt{MH^2+MK^2}=\sqrt{\frac{25a^2}{16}+\frac{27a^2}{64}}=\frac{a\sqrt{127}}{8}\)

Vậy \(\left | \frac{3}{4}\overrightarrow{MA}-\frac{5}{2}\overrightarrow{MB} \right |=KH=\frac{a\sqrt{127}}{8}\)

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a.

1. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\) không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
2. Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow{u}\)

Cách giải: 

1. Gọi O là tâm hình vuông 

Theo quy tắc ba điểm ta có: 

\(\begin{align} \nonumber\overrightarrow{u}&=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\\ \nonumber&=4\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD} \end{align}\)

Mà \(\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}\) nên \(\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}\)

Suy ra \(\overrightarrow{u}\) không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.

     2. Lấy điểm \(A’\) trên tia OA sao cho \(OA’=3OA\) khi đó \(\overrightarrow{OA’}=3\overrightarrow{OA}\) do đó \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA’}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA’}\)

Mặt khác \(BA’=\sqrt{OB^2+\left (OA’ \right )^2}=\sqrt{OB^2+9OA^2}=a\sqrt5\)

Suy ra \(\left | \overrightarrow{u} \right |=a\sqrt5\).

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức vectơ từ dữ liệu đã cho

Phương pháp giải: 

Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng: 

• Các tính chất phép toán vectơ
• Các quy tắc: Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ
• Tính chất trung điểm:

M là trung điểm đoạn thẳng \(AB\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)

M là trung điểm đoạn thẳng \(AB\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}\) (Với O là điểm tùy ý)

• Tính chất trọng tâm:

G là trọng tâm của tam giác \(ABC\Leftrightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

G là trọng tâm của tam giác \(ABC\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OG}\) (Với O là điểm tùy ý)

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng: 

1. \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IJ}\)
2. \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
3. \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}\) với M là điểm bất kì

Cách giải: 

1. Theo quy tắc ba điểm ta có: 

\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JC}\)

Tương tự \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JD}\)

Mà I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}=\overrightarrow{0}\)

Vậy \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}+2\overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{IJ}\) (đpcm)

    2. Theo hệ thức trung điểm ta có \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OJ}\)

Mặt khác O là trung điểm IJ nên \(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{0}\) 

Suy ra \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\left (\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ} \right )=\overrightarrow{0}\) (đpcm)

     3. Theo câu 2. ta có \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\) do đó với mọi điểm M thì 

\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}\) (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b và trọng tâm G. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng \(a^2.\overrightarrow{GD}+b^2.\overrightarrow{GE}+c^2.\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}\)

Cách giải: 

Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho GN = a, GP = b, GQ = c và dựng hình bình hành GPRN.

Ta có \(a^2.\overrightarrow{GD}+b^2.\overrightarrow{GE}+c^2.\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow a.GD.\overrightarrow{GN}+b.GE.\overrightarrow{GP}+c.GF.\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}(*)\)

Ta có: \(a.GD=2S_{\bigtriangleup GBC},b.GE=2S_{\bigtriangleup GCA},c.GF=2S_{\bigtriangleup GAB}\), mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên \(S_{\bigtriangleup GBC}=S_{\bigtriangleup GCA}=S_{\bigtriangleup GAB}\) suy ra \(a.GD=b.GE=c.GF\).

Vậy \((*)\Leftrightarrow\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}\)

Ta có \(AC=GP=b,PR=BC=a\) và \(\widehat{ACB}=\widehat{GPR}\) (góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)

Suy ra \(\bigtriangleup ACB=\bigtriangleup GPR\hspace{0.7cm}\left (c.g.c \right )\)

\(\Rightarrow GR=AB=c\) và \(\widehat{PGR}=\widehat{BAC}\)

Ta có \(\widehat{QGP}+\widehat{BAC}=180^\circ\Rightarrow\widehat{QGP}+\widehat{GPR}=180^\circ\Rightarrow Q,G,R\) thẳng hàng do đó G là trung điểm của QR

Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có: 

\(\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{GR}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}\)

Vậy \(a^2.\overrightarrow{GD}+b^2.\overrightarrow{GE}+c^2.\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}\).

Dạng 3: Xác định điểm M thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước

Phương pháp giải: 

• Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}\) trong đó điểm A và \(\overrightarrow{a}\) đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất điểm M sao cho \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{a}\), để dựng điểm M ta lấy A làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow{a}\) suy ra điểm ngọn vectơ này chính là điểm M.
• Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M, N, P sao cho: 

1. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
2. \(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}\)
3. \(3\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}\)

Cách giải: 

1. Gọi I là trung điểm BC suy ra \(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}\)

Do đó  \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)

\(2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{0}\)

Suy ra M là trung điểm AI

    2. Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có 

\(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow2\overrightarrow{NK}+2\overrightarrow{NH}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow \overrightarrow{NK}+\overrightarrow{NH}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow N\) là trung điểm của KH

    3. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có \(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=3\overrightarrow{PG}\)

Suy ra  \(3\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow P\) là trung điểm của AG.

Ví dụ 2: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực \(\alpha,\beta\) thỏa mãn \(\alpha+\beta\ne0\). Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn \(\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).

Từ đó, suy ra với bất kì điểm M thì \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=\left ( \alpha+\beta \right )\overrightarrow{MI}\)

Cách giải: 

Ta có: \(\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\alpha\overrightarrow{IA}+\beta\left ( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB} \right )=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow\left ( \alpha+\beta \right )\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \left ( \alpha+\beta \right )\overrightarrow{AI}=\beta\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\overrightarrow{AI}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\)

Vì A, B cố định nên vectơ \(\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\) không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn điều kiện.

Từ đó suy ra \(\alpha\overrightarrow{MA}+\beta\overrightarrow{MB}=\alpha\left ( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\ \right )+\beta\left ( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right )\\ =\left ( \alpha+\beta \right )\overrightarrow{MI}+\left ( \alpha\overrightarrow{IA}+\beta\overrightarrow{IB} \right )=\left ( \alpha+\beta \right )\overrightarrow{MI}\) (đpcm).

Dạng 4: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Phương pháp giải: 

Sử dụng tính chất phép toán vectơ, ba quy tắc phép toán vectơ và tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Đặt \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}\).

1. Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{BC}\)
2. Hãy phân tích \(\overrightarrow{CM},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{MN}\) qua các vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\)
3. Gọi I là điểm thỏa: \(\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{CM}\) Chứng minh I, A, N thẳng hàng

Cách giải: 

1. Vì \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) suy ra M thuộc cạnh AB và \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{BC}\), suy ra N thuộc tia BC và \(CN=2BC\).
2. Ta có: 

\(\begin{align} \nonumber\overrightarrow{CM}&=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\\ \nonumber\overrightarrow{AN}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+3\left ( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right )=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\\ \nonumber\overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=-\frac{7}{3}\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} \end{align}\)

    3. Ta có: 

\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=-\frac{1}{3}\left ( -2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b} \right )\\ \Rightarrow \overrightarrow{AI}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AN}\Rightarrow A,I,N\) thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho \(AB=3AM,CD=2CN\) và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích các vectơ \(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{AG}\) qua các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\)

Cách giải: Ta có: 

\(\begin{align} \nonumber\overrightarrow{AN}&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\ \nonumber\overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\\ \nonumber&=-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \end{align}\)

Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên 

\(3\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\left ( \overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \right )+\overrightarrow{AB}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)

Suy ra \(\overrightarrow{AG}=\frac{5}{18}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

Dạng 5: Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác cùng trọng tâm

Phương pháp giải: 

Để chứng minh hai điểm \(A_1\) và \(A_2\) trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau: 

Cách 1: Chứng minh \(\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{0}\)

Cách 2: Chứng minh \(\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA_2}\) với O là điểm tùy ý.

Để chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm ta làm như sau: 

Cách 1: Chứng minh G là trọng tâm \(\bigtriangleup ABC\) trùng với G’ là trọng tâm \(\bigtriangleup A’B’C’\)

Cách 2: Gọi G là trọng tâm \(\bigtriangleup ABC\) (tức ta có \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)) ta đi chứng minh \(\overrightarrow{GA’}+\overrightarrow{GB’}+\overrightarrow{GC’}=\overrightarrow{0}\)

Ví dụ 1: Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Cách giải: 

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC suy ra \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{ID},\overrightarrow{CJ}=\overrightarrow{JB}\)

Do đó \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{JI}+\overrightarrow{ID}\\ \Leftrightarrow\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{JI}\Leftrightarrow\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{0}\) hay I trùng với J.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho \(\frac{AM}{AB}=\frac{BN}{BC}=\frac{CP}{CA}\). Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Cách giải: 

Giả sử \(\frac{AM}{AB}=k\) suy ra \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BN}=k\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CP}=k\overrightarrow{CA}\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Ta có: 

\(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CP}\\ =\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=k\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{BC}+k\overrightarrow{CA}=k\left ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} \right )=\overrightarrow{0}\)

Vậy hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Dạng 6: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước

Phương pháp giải: 

Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện vectơ ta quy về một trong các dạng sau: 

1. Nếu \(\left | \overrightarrow{MA} \right |=\left | \overrightarrow{MB} \right |\) với A, B phân biệt cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB.
2. Nếu \(\left | \overrightarrow{MC} \right |=k\left | \overrightarrow{AB} \right |\) với A, B, C phân biệt cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng \(k.\left | \overrightarrow{AB} \right |\).
3. Nếu \(\overrightarrow{MA}=k \overrightarrow{AB}\) với A, B, C phân biệt và k là số thực thay đổi thì:

• M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với \(k\in R\)
• M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng \(\overrightarrow{BC}\) với \(k>0\)
• M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng \(\overrightarrow{BC}\) với \(k<0\)

     4. Nếu \(\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC},B\ne C\) với A, B, C thẳng hàng và k thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng BC

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC.

1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn: \(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
2. Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn: \(\left | 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC} \right |=\left | \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA} \right |\)

Cách giải: 

1. Ta có: 

\(2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow2\overrightarrow{IA}+3\left (\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB} \right )+4\left ( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC} \right )=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow9\overrightarrow{IA}=-3\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow\overrightarrow{IA}=-\frac{3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}}{9}\Rightarrow I\) tồn tại và duy nhất.

     2. Với I là điểm được xác định ở câu 1, ta có: 

\(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}=9\overrightarrow{MI}+\left ( 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC} \right )=9\overrightarrow{MI}\) và \(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}\) nên \(\left | 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC} \right |=\left | \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA} \right |\Leftrightarrow\left | 9\overrightarrow{MI} \right |=\left | \overrightarrow{AB} \right |\Leftrightarrow MI=\frac{AB}{9}\)

Vậy quỹ tích của M là đường tròn tâm I bán kính \(\frac{AB}{9}\)

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DN}=k\overrightarrow{DC}\). Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cách giải: 

Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của AD và BC.

Ta có: 

\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OO’}+\overrightarrow{O’B}\) và \(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OO’}+\overrightarrow{O’C}\)

Suy ra \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{OO’}\)

Tương tự vì O, I lần lượt là trung điểm của AD và MN nên \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{OI}\)

Do đó \(\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}k\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{DC}=k\overrightarrow{OO’}\)

Vậy k thay đổi, tập hợp điểm I là đường thẳng OO’.

Dạng 7: Xác định tính chất của hình khi biết một đẳng thức vectơ

Phương pháp giải:

Phân tính được định tính xuất phát từ các đẳng thức vectơ của giả thiết, lưu ý tới những hệ thức đã biết về trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác và kết quả “\(m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow m=n=0\) với \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) là hai vectơ không cùng phương”

Ví dụ 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác ABCD. Các đoạn thẳng AN và BM cắt nhau tại P. Biết: \(\overrightarrow{PM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BM};\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AN}\). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.

Cách giải: 

Ta có: 

\(\begin{align} \nonumber\overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AM}+5\overrightarrow{MP}\\ \nonumber&=5\overrightarrow{AP}-4\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AD}\\ \nonumber&=2\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN} \right )-2\overrightarrow{AD}\\ \nonumber&=2\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow ABCD \end{align}\) là hình bình hành

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thỏa mãn: \(a^2\overrightarrow{GA}+b^2\overrightarrow{GB}+c^2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\). Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

Cách giải: 

G là trọng tâm tam giác ABC nên: 

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\)

Suy ra: 

\(a^2\overrightarrow{GA}+b^2\overrightarrow{GB}+c^2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow a^2-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}+b^2\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\\ \Leftrightarrow b^2-a^2\overrightarrow{GB}+c^2-a^2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\hspace{0.7cm}\left ( * \right )\)

Vì \(\overrightarrow{GB}\) và \(\overrightarrow{GC}\) là hai vectơ không cùng phương, do đó (*) tương đương với:

\(\left\{\begin{matrix} b^2-a^2=0\\ c^2-a^2=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác ABC đều.

Dạng 8: Chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị liên quan độ dài vectơ

Phương pháp giải: 

1. Sử dụng bất đẳng thức cơ bản: 

Với mọi vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) ta luôn có: 

• \(\left |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |<\left | \overrightarrow{a} \right |+\left | \overrightarrow{b} \right |\), dấu bằng xảy ra khi \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) cùng hướng.
• \(\left |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |\ge\left | \overrightarrow{a} \right |-\left | \overrightarrow{b} \right |\), dấu bằng xảy ra khi \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) ngược hướng

1. Đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của \(\left | \overrightarrow{MI} \right |\) với M thay đổi

• Nếu M là điểm thay đổi trên đường thẳng \(\Delta\) khi đó \(\left | \overrightarrow{MI} \right |\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của M lên \(\Delta\).
• Nếu M là điểm thay đổi trên đường tròn (O) khi đó \(\left | \overrightarrow{MI} \right |\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia OI với đường tròn; \(\left | \overrightarrow{MI} \right |\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia IO với đường tròn.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất \(T=\left | \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |\)

Cách giải: 

Gọi I là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBI thì \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)

Khi đó: 

\(\begin{align} \nonumber T&=\left | \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right |\\ \nonumber&=\left | \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right |=\left | \overrightarrow{MI} \right | \end{align}\)

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên đường thẳng d.

DINHNGHIA.VN đã cùng bạn tìm hiểu chi tiết và cụ thể về chuyên đề tích của vectơ với một số. Với những nội dung trên đây, mong rằng bạn đã tìm thấy những kiến thức hữu ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề tích của vectơ với một số. Chúc bạn luôn học tập thật tốt!.

Xem thêm:

• Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng
• Chuyên đề Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
• Viết phương trình đường tròn qua phép tịnh tiến theo vecto
• Tích vô hướng của hai vectơ: Một số dạng bài tập và Ứng dụng
• Công thức SIN COS – Bảng công thức lượng giác cơ bản và nâng cao
• Đường elip là gì? Phương trình elip là gì? Tìm hiểu phương trình đường elip
• Trục tọa độ và Hệ trục tọa độ: Tổng hợp Lý thuyết và Các dạng bài tập

Xem chi tiết về chuyên đề Tích của vectơ với một số qua bài giảng dưới đây nhé:

(Nguồn: www.youtube.com)

Rate this post Please follow and like us: