Tích Vectơ – Wikipedia Tiếng Việt

Trong toán học, phép tích vectơ hay nhân vectơ hay tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trên các vectơ trong không gian vectơ ba chiều. Nó là một trong hai phép nhân thường gặp giữa các vectơ (phép toán kia là nhân vô hướng). Nó khác nhân vô hướng ở chỗ là kết quả thu được là một giả vectơ thay cho một vô hướng. Kết quả này vuông góc với mặt phẳng chứa hai vectơ đầu vào của phép nhân.

Định nghĩa

[sửa | sửa mã nguồn]

Phép nhân vectơ của vectơ a và b được ký hiệu là a × b hay [ a → , b → ] {\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]} , định nghĩa bởi:

a × b = n ^ | a | | b | sin ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {\hat {n}} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta }

với θ là góc giữa a và b (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa a và b, và n là vectơ đơn vị vuông góc với a và b.

Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với a và b (khi a và b không cùng phương), vì nếu n vuông góc với a và b thì -n cũng vậy.

Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải. (a, b, a × b) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.

Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ. May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ.

Tính chất

[sửa | sửa mã nguồn]

Phép tính này phản giao hoán:

a × b = -(b × a)

Nó phân phối được trên phép cộng vectơ:

a × (b + c) = a × b + a × c

Nó kết hợp được với nhân vô hướng:

(r.a) × b = a × (r.b) = r.(a × b).

với "." chỉ nhân vô hướng.

Nó không có tính kết hợp,

(a × b) × c ≠ {\displaystyle \neq } a × (b × c)

(Ví dụ: khi a song song với b vế trái bằng 0 trong khi về phải (nói chung) khác không.)

Nó thỏa mãn đẳng thức Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

2 vectơ không cùng phương thì tích có hướng là một vectơ vuông góc với 2 vectơ đã cho.

Các tính chất trên cho thấy không gian vectơ ba chiều với phép nhân vec tơ tạo thành một đại số Lie.

Tích có hướng trong hệ tọa độ Descartes

[sửa | sửa mã nguồn]

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) {\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})} và n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) {\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})} , khi đó tích có hướng giữa 2 vectơ là vectơ có tọa độ

[ n 1 → , n 2 → ] = ( | B 1 C 1 B 2 C 2 | , | C 1 A 1 C 2 A 2 | , | A 1 B 1 A 2 B 2 | ) {\displaystyle [{\vec {n_{1}}},{\vec {n_{2}}}]=({\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}})}

Ứng dụng

[sửa | sửa mã nguồn]

Ý nghĩa hình học

[sửa | sửa mã nguồn]

Nhiều công thức tính trong không gian vectơ ba chiều liên quan đến nhân vectơ, nhờ vào kết quả là vectơ vuông góc với hai vectơ đầu vào.

• Diện tích hình bình hành ABCD: S = | [ A B → ; A D → ] | = A B . A D . s i n ( A ) {\displaystyle S=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\right\vert =AB.AD.sin(A)}
• Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D': V = | [ A B → ; A D → ] ⋅ A A ′ → | {\displaystyle V=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\cdot {\vec {AA'}}\right\vert }
• 2 vector u → {\displaystyle {\vec {u}}} và v → {\displaystyle {\vec {v}}} cùng phương ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } [ u → ; v → ] = 0 → {\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}]={\vec {0}}}
• 3 vector u → {\displaystyle {\vec {u}}} , v → {\displaystyle {\vec {v}}} , w → {\displaystyle {\vec {w}}} đồng phẳng ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } [ u → ; v → ] . w → = 0 {\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}].{\vec {w}}=0}

Ứng dụng trong vật lý

[sửa | sửa mã nguồn]

Phép tính này xuất hiện ở công thức tính lực Lorentz do một trường điện từ tác động lên một điện tích. Công thức tính mômen lực hay mômen động lượng cũng liên quan đến nhân vectơ.

Xem thêm

[sửa | sửa mã nguồn]

• Quy tắc bàn tay phải

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]

• Vector Cross Product Lưu trữ ngày 29 tháng 9 năm 2007 tại Wayback Machine which allows you to cross two 3D vectors. Look under the Vector Cross Product heading. (bằng tiếng Anh)
• Nhân vectơ trong không gian có số chiều lớn hơn 3 Lưu trữ ngày 5 tháng 9 năm 2015 tại Wayback Machine chỉ có thể thực hiện trong không gian 7 chiều. (bằng tiếng Anh)
• Tích vectơ Lưu trữ ngày 19 tháng 9 năm 2016 tại Wayback Machine trên Từ điển bách khoa Việt Nam

x t s Đại số tuyến tính
Đại cương Thuật ngữ
Khái niệm cơ bản	Vô hướng Vectơ Không gian vectơ Phép nhân vô hướng Chiếu vectơ Hệ sinh Ánh xạ tuyến tính Phép chiếu tuyến tính Độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Cơ sở Chuyển cơ sở Vectơ hàng và cột Không gian hàng và cột Hạt nhân Giá trị riêng và vectơ riêng Ma trận chuyển vị Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận	Khối Phân rã Nghịch đảo Định thức con Tích Hạng Biến đổi Quy tắc Cramer Phép khử Gauss
Song tuyến tính	Trực giao Tích vô hướng Không gian tích trong Tích ngoài Quá trình Gram–Schmidt
Đại số đa tuyến tính	Định thức Tích vectơ Tích ba Tích vectơ 7 chiều Đại số hình học Đại số ngoài Song vectơ Đa vectơ Tenxơ Cấu xạ ngoài
Xây dựng không gian vectơ	Không gian đối ngẫu Tổng trực tiếp Không gian hàm Thương Không gian con Tích tenxơ
Đại số tuyến tính số	Dấu phẩy động Bình phương tối thiểu tuyến tính Ổn định số Basic Linear Algebra Subprograms Ma trận thưa Comparison of linear algebra libraries
Thể loại Mục lục Chủ đề Toán học Wikibook Wikiversity