Tìm M để Bất Phương Trình Có Nghiệm

Trang chủ » Cho Bpt M(x-m) =x-1 » Tìm M để Bất Phương Trình Có Nghiệm

Có thể bạn quan tâm

Tìm m để bất phương trình có nghiệm Bất phương trình chứa tham số lớp 10 Bài trước Tải về Bài sau Lớp: Lớp 10 Môn: Toán Dạng tài liệu: Chuyên đề Loại File: Word + PDF Phân loại: Tài liệu Tính phí

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Tìm hiểu thêm » Mua ngay Từ 79.000đ Hỗ trợ Zalo

Tìm tham số m để bất phương trình có nghiệm

  • I. Bài tập tham khảo có hướng dẫn
  • II. Bài tập tự rèn luyện củng cố kiến thức

Bất phương trình toán học là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 10 và lớp 11. Một dạng bài tập thường gặp là tìm m để bất phương trình có nghiệm, nơi người học cần xác định giá trị của tham số mmm sao cho bất phương trình có ít nhất một nghiệm thực. Đây là một dạng toán giúp học sinh phát triển kỹ năng giải quyết các bài toán phương trình, bất phương trình và rèn luyện tư duy logic. 

Tìm m để bất phương trình có nghiệm môn Toán lớp 10 vừa được VnDoc.com tổng hợp và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng phân tích các phương pháp giải quyết bài toán tìm m, cách xác định điều kiện để bất phương trình có nghiệm, đồng thời làm quen với các ví dụ minh họa cụ thể để áp dụng vào bài tập. Bài viết được tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Tìm m để bất phương trình có nghiệm

I. Bài tập tham khảo có hướng dẫn

Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Hướng dẫn giải:

Đặt x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0  có hai nghiệm thỏa mãn {{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} kf(0)\le 0 \\ kf(1)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}+2m\le 0 \\ {{m}^{2}}-1\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow -1\le m\le 0 \right.\({{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} kf(0)\le 0 \\ kf(1)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}+2m\le 0 \\ {{m}^{2}}-1\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow -1\le m\le 0 \right.\)

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x2 - 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0\Leftrightarrow \left| m \right|>\sqrt{2}\Leftrightarrow\(\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0\Leftrightarrow \left| m \right|>\sqrt{2}\Leftrightarrow\) \left\{\begin{matrix} m>\sqrt{2} \\ -2 < m <-\sqrt{2} \end{matrix}\right.\(\left\{\begin{matrix} m>\sqrt{2} \\ -2 < m <-\sqrt{2} \end{matrix}\right.\)

Vậy với |m| < \sqrt{2}\(\sqrt{2}\) thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 <  mx + 4

Hướng dẫn giải:

Bất phương trình tương đương với: m2x - mx < 4 ⇔ (m2 - m)x < 1; m2 - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m2 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành x<\frac{1}{m^{2}-m}\(x<\frac{1}{m^{2}-m}\) luôn có nghiệm là x<\frac{1}{m^{2}-m}\(x<\frac{1}{m^{2}-m}\)

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2 + 1)x2 + (2m - 1)x - 5 < 0. Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Hướng dẫn giải:

Ta có:\left\{ \begin{matrix}f(-1)\le 0 \\f(1)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\{{m}^{2}}+2m-5\le 0 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-1\le m\le 3 \\-\sqrt{6}\le m\le \sqrt{6}-1 \\\end{matrix} \right. \right.\(\left\{ \begin{matrix}f(-1)\le 0 \\f(1)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\{{m}^{2}}+2m-5\le 0 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-1\le m\le 3 \\-\sqrt{6}\le m\le \sqrt{6}-1 \\\end{matrix} \right. \right.\)

⇔ -1 ≤ m ≤ \sqrt 6\(\sqrt 6\) - 1

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; \sqrt{6}\(\sqrt{6}\) - 1)

Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x2 - 2mx + 2m - 6 < 0

Hướng dẫn giải:

+ Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x (loại)

+ Với m\ne -4 \Rightarrow f(x) < 0,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \(\left\{ \begin{matrix} \Delta '>0 \\ a.f(0)\ge 0 \\ \dfrac{S}{2}<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-m>0 \\ m\ge 0 \\ -m<0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m>1\)

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

Bài 8. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m\(m\) để bất phương trình \left( m^{2} - 4 \right)x^{2} + (m - 2)x + 1 < 0\(\left( m^{2} - 4 \right)x^{2} + (m - 2)x + 1 < 0\) vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét m^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2\(m^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2\)

Với m = - 2\(m = - 2\), bất phương trình trở thành x > \frac{1}{4}\(x > \frac{1}{4}\): không thỏa mãn.

Với m = 2\(m = 2\), bất phương trình trở thành 1 < 0\(1 < 0\): vô nghiệm.

Do đó m = 2\(m = 2\) thỏa mãn.

Xét m \neq \pm 2\(m \neq \pm 2\). Yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow \left( m^{2} - 4 \right)x^{2} + (m - 2)x + 1 \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}\(\Leftrightarrow \left( m^{2} - 4 \right)x^{2} + (m - 2)x + 1 \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}\)

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4 > 0 \\ \Delta = (m - 2)^{2} - 4\left( m^{2} - 4 \right) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - \dfrac{10}{3} \\ m > 2 \\ \end{matrix} \right.\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4 > 0 \\ \Delta = (m - 2)^{2} - 4\left( m^{2} - 4 \right) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - \dfrac{10}{3} \\ m > 2 \\ \end{matrix} \right.\)

Kết hợp hai trường hợp, ta được m \leq - \frac{10}{3}\(m \leq - \frac{10}{3}\) hoặc m \geq 2\(m \geq 2\).

Bài 9. Tìm các giá trị của m\(m\) để các biểu thức sau luôn âm:

a. f(x) = mx^{2} - x - 1\(f(x) = mx^{2} - x - 1\)

b. g(x) = (m - 4)x^{2} + (2m - 8)x + m - 5\(g(x) = (m - 4)x^{2} + (2m - 8)x + m - 5\)

Hướng dẫn giải

a. Với m = 0\(m = 0\) thì f(x) = - x - 1\(f(x) = - x - 1\) lấy cả giá trị dương (chẳng hạn f( - 2) = 1\(f( - 2) = 1\)) nên m = 0\(m = 0\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m \neq 0\(m \neq 0\) thì f(x) = mx^{2} - x - 1\(f(x) = mx^{2} - x - 1\) là tam thức bậc hai do đó f(x) < 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = m < 0 \\ \Delta = 1 + 4m < 0 \\ \end{matrix} \right.\(f(x) < 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = m < 0 \\ \Delta = 1 + 4m < 0 \\ \end{matrix} \right.\)

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ m > - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < m < 0 \right.\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ m > - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} \Leftrightarrow - \frac{1}{4} < m < 0 \right.\)

Vậy với - \frac{1}{4} < m < 0\(- \frac{1}{4} < m < 0\) thì biểu thức f(x)\(f(x)\) luôn âm.

b. Với m = 4\(m = 4\) thì g(x) = - 1 < 0\(g(x) = - 1 < 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m \neq 4\(m \neq 4\) thì g(x) = (m - 4)x^{2} + (2m - 8)x + m - 5\(g(x) = (m - 4)x^{2} + (2m - 8)x + m - 5\) là tam thức bậc hai dó đó g(x) < 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = m - 4 < 0 \\ \Delta\(g(x) < 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = m - 4 < 0 \\ \Delta' = m - 4 < 0 \\ \end{matrix} \right.\)

\Leftrightarrow m < 4\(\Leftrightarrow m < 4\)

Vậy với m \leq 4\(m \leq 4\) thì biểu thức g(x)\(g(x)\) luôn âm.

Bài 10. Tìm m để g(x) = \left( 2m^{2} + m - 6 \right)x^{2} + (2m - 3)x - 1\(g(x) = \left( 2m^{2} + m - 6 \right)x^{2} + (2m - 3)x - 1\) không dương.

Hướng dẫn giải

Xét 2m^{2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 2 \\ m = \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.\(2m^{2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 2 \\ m = \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.\)

+)m = - 2 \Rightarrow g(x) = - 7x - 1 > 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{7}\(m = - 2 \Rightarrow g(x) = - 7x - 1 > 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{7}\) (không thỏa mãn yêu cầu bài toán)

+) m = \frac{3}{2} \Rightarrow g(x) = 0\(m = \frac{3}{2} \Rightarrow g(x) = 0\) (không thỏa mãn)

Xét 2m^{2} + m - 6 \neq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq - 2 \\ m \neq \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.\(2m^{2} + m - 6 \neq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq - 2 \\ m \neq \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.\)

g(x) \leq 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2m^{2} + m - 6 < 0 \\ \Delta\(g(x) \leq 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2m^{2} + m - 6 < 0 \\ \Delta' = 12m^{2} - 8m - 15 \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\)

2m^{2} + m - 6 \neq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq - 2 \\ m \neq \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.\(2m^{2} + m - 6 \neq 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \neq - 2 \\ m \neq \dfrac{3}{2} \\ \end{matrix} \right.\)

Bài 11. Tìm các giá trị của m\(m\) để biểu thức sau luôn dương

h(x) = \frac{- x^{2} + 4(m + 1)x + 1 - 4m^{2}}{- 4x^{2} + 5x - 2}\(h(x) = \frac{- x^{2} + 4(m + 1)x + 1 - 4m^{2}}{- 4x^{2} + 5x - 2}\)

Hướng dẫn giải

Tam thức - 4x^{2} + 5x - 2\(- 4x^{2} + 5x - 2\) có a = - 4 < 0,\ \ \Delta = - 7 < 0\(a = - 4 < 0,\ \ \Delta = - 7 < 0\)

suy ra - 4x^{2} + 5x - 2 < 0\ \ \forall x\(- 4x^{2} + 5x - 2 < 0\ \ \forall x\)

Do đó h(x)\(h(x)\) luôn dương khi và chỉ khi h\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' \leq 0 \\ a < 0 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m^{2} - 7m + 2 \leq 0 \\ 2m^{2} - 3m - 2 < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \right.\)

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{3} \leq m \leq 2 \\ - \frac{1}{2} < m < 2 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq m < 2 \right.\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{3} \leq m \leq 2 \\ - \frac{1}{2} < m < 2 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq m < 2 \right.\)

Kết hợp hai trường hợp ta được \frac{1}{3} \leq m \leq 2\(\frac{1}{3} \leq m \leq 2\) là giá trị cần tìm.

Bài 13: Phương trình x^{2} + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0\(x^{2} + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0\) (m\(m\) là tham số) có nghiệm khi

A. \left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ .\(\left\lbrack \begin{matrix} m = - 1 \\ m = - 5 \\ \end{matrix} \right.\ .\)                      B. - \ 5 \leq m \leq - \ 1.\(- \ 5 \leq m \leq - \ 1.\)

C. \left\lbrack \begin{matrix} m < - \ 5 \\ m > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ .\(\left\lbrack \begin{matrix} m < - \ 5 \\ m > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ .\)                    D. \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \ 5 \\ m \geq - \ 1 \\ \end{matrix} \right.\ .\(\left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \ 5 \\ m \geq - \ 1 \\ \end{matrix} \right.\ .\)

Hướng dẫn giải

Xét phương trình x^{2} + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0,\(x^{2} + 2(m + 2)x - 2m - 1 = 0,\) có

Từ khóa » Cho Bpt M(x-m) =x-1