Toán 9: Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn- Lý Thuyết Và Bài Tập

Có thể bạn quan tâm

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là gì?

Các tính chất và bảng tỉ số lượng giác của một số góc đặc biệt sẽ giúp các bạn giải các bài tập về tỉ số lượng giác như thế nào?

Bạn sẽ tự trả lời được câu trả lời sau khi đọc bài viết sau.

Xem thêm:

Các bài viết Toán 9

Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Mục lục

Định nghĩa, tính chất của Tỉ số lượng giác
- Định nghĩa Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Tính chất của Tỉ số lượng giác
  - Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:
  - Ví dụ:
- Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Bài tập về Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- - Bài 1. Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34 độ rồi viết các tỉ số lượng giác của góc đó.
  - Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2 m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.
  - Bài 3. Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45 độ:
Tổng hợp các dạng bài tập về Tỉ số lượng giác
- Dạng 1: Dựng góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác của nó
  - Bài 1.
- Dạng 2: Chứng minh các công thức lượng giác
  - Bài 2.
- Dạng 3: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc
  - Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cos B = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.
  - Bài 4.
  - Bài 5.
- Dạng 4: So sánh, sắp xếp các tỉ số lượng giác
  - Bài 6.
  - Bài 7. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:
  - Bài 8.
  - Bài 9.
Luyện tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Bài 1.
- Bài 2.
- Bài 3.
- Bài 4.
- Bài 5.
- Bài 6.
- Bài 7.
Tóm tắt kiến thức cần nhớ

Định nghĩa, tính chất của Tỉ số lượng giác

Trong một tam giác vuông, nếu biết tỉ số độ dài của hai cạnh thì có biết được độ lớn của các góc nhọn hay không?

Trong một tam giác vuông, nếu biết tỉ số độ dài của hai cạnh thì ta hoàn toàn tìm được độ lớn của các góc nhọn.

Để làm được điều đó, ta cần phải biết Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Định nghĩa Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Cho góc nhọn α ( 0° < α < 90°).

Dựng tam giác ABC vuông tại A sao cho α = ∠ABC. Từ đó, ta có:

$sin\alpha =\frac{AC}{BC};\: \, cos\alpha =\frac{AB}{BC}$

$tan\alpha =\frac{AC}{AB};\, \, cot\alpha =\frac{AB}{AC}.$

Ta có cách nhớ như sau:

sin đi học (đối/huyền)

cos không hư (kề/huyền)

tan đoàn kết (đối/kề) hay tg

cot kết đoàn (kề/đối) hay cotg

Ví dụ:

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc C = β. Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc β.

Hướng dẫn:

Trước hết ta nên vẽ hình ra cho dễ nhìn ra đâu là cạnh huyền, cạnh đối và cạnh kề.

Bây giờ ta sẽ viết các tỉ số lượng giác của góc C:

$sin\beta =\frac{AB}{BC};\: \, cos\beta =\frac{AC}{BC}$

$tan\beta =\frac{AB}{AC};\: \, cos\beta =\frac{AC}{AB}$

Tính chất của Tỉ số lượng giác

Sau đây là những tính chất quan trọng của tỉ số lượng giác mà ta cần phải nhớ:

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau:

Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo là 90 độ. Ví dụ : góc 30 và góc 60 độ là hai góc phụ nhau.

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

Ví dụ:

$sin30^{o}=cos60^{o}=\frac{1}{2}$

$cos30^{o}=sin60^{o}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$tan30^{o}=cot60^{o}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$cot30^{o}=tan60^{o}=\sqrt{3}$

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Khi mới học, ta sẽ gặp các góc đặc biệt như 0, 30, 45, 60, 90 độ. Việc nhớ được các giá trị lượng giác này sẽ giúp chúng ta làm bài nhanh hơn.

Sau đây là bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt:

Bài tập về Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 1. Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34 độ rồi viết các tỉ số lượng giác của góc đó.

Hướng dẫn giải:

Đầu tiên ta hãy vẽ một góc vuông B. Trên 1 cạnh góc vuông, ta lấy điểm A.

Sau đó, đặt thước đo độ vào điểm A, đánh dấu góc 34 độ.

Nối A với điểm ta vừa đánh dấu, kéo dài cắt cạnh góc vuông còn lại tại E.

Vậy là ta đã vẽ được hình. Bây giờ các bạn có thể tự viết các tỉ số lượng giác của góc A = 34 độ.

____________________________________________________________________

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2 m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Hướng dẫn giải:

Trước tiên, ta sẽ vẽ hình tượng trưng các số đo đề bài cho.

Vì góc A và góc B là hai góc phụ nhau, nên ta có sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia:

___________________________________________________________

Bài 3. Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45 độ:

sin 60º, cos 75°, sin 52°30′, cot 82°, tan 80º

Giải:

Ta áp dụng tính chất của tỉ số lượng giác đã học ở trên: hai góc phụ nhau có sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.

sin 60º = cos 30º

cos 75º = sin 15º

sin 52º30′ = cos 37º30′ (lưu ý: 1° = 60′)

cot 82º = tan 8º

tan 80º = cot 10º

Tổng hợp các dạng bài tập về Tỉ số lượng giác

Dạng 1: Dựng góc nhọn khi biết tỉ số lượng giác của nó

Phương pháp giải:

Muốn dựng góc nhọn α biết tỉ số lượng giác của nó là a/b, ta làm như sau:

Bước 1: Xác định tỉ số lượng giác đã biết là tỉ số độ dài của những cạnh nào

Bước 2: Ta dựng tam giác vuông có các cạnh góc vuông hay cạnh huyền với đồ dài tương ứng với a và b.

Bước 3: Vận dụng định nghĩa tỉ số lượng giác để nhận ra góc α .

Bài 1.

Dựng góc nhọn α, biết:

a) sin α = 2/3

Vì sin α = đối/huyền nên ta cần vẽ các cạnh đối và cạnh huyền có tỉ lệ là 2/3.

Ta dựng một tam giác vuông có cạnh góc vuông dài 2 cm, cạnh huyền dài 3 cm, góc đối diện với cạnh góc vuông đó là góc α.

b) cos α = 0,6

cos α = 0,6 = 3/5 = kề/ huyền nên ta cần vẽ các cạnh kề và cạnh huyền có tỉ lệ là 3/5

Ta dựng một tam giác vuông có cạnh góc vuông dài 3 cm, cạnh huyền dài 5 cm, góc kề với cạnh góc vuông vừa vẽ là góc α.

c) tan α = 3/4

tan α = đối/kề nên ta cần vẽ các cạnh đối và kề có tỉ lệ là 3/4.

Ta dựng một tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông là 3 cm, 1 cạnh góc vuông là 4 cm, góc đối diện với cạnh góc vuông dài 3 cm là góc α .

d) cot α = 3/2

cot α = kề/đối nên ta cần vẽ các cạnh kề và đối có tỉ lệ 3/2.

Ta dựng một tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông là 3 cm, 1 cạnh góc vuông là 2 cm, góc đối diện với cạnh góc vuông dài 2 cm là góc α .

Dạng 2: Chứng minh các công thức lượng giác

Phương pháp giải:

Muốn chứng minh một đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác, ta phải viết ra các tỉ số độ dài cạnh tương ứng rồi tìm cách biểu diễn chúng để ra được điều phải chứng minh.

Bài 2.

Sử định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn α tùy ý, ta có:

$a)\; tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha };\: cot \alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha };\; tan\alpha .cot\alpha=1;$

$b)sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$

Hướng dẫn giải:

Tương tự, ta cũng chứng minh:

Dựa vào chứng minh trên ta có thể chứng minh ý tiếp theo.

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, theo định lý Pytago thì ta có AC² + AB² = BC² nên ta có thể chứng minh được sin² α + cos² α = 1.

Dạng 3: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc

Phương pháp giải:

Ta cần áp dụng định nghĩa, tính chất của tỉ số lượng giác vừa học để vận dụng linh hoạt vào tính cạnh, tính góc và tính tỉ số lượng giác dựa vào dữ kiện đề bài.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cos B = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Hướng dẫn giải:

Ta nhớ rằng góc B và góc C là hai góc phụ nhau. Vì thế sin C = cos B = 0,8.

Mà theo bài 14, sin² C + cos² C = 1

Vì thế cos² C = 1 – 0,8 ² = 0,36

cos C = 0,6

tan C = sin C/cos C = 4/3

cot C = 1/tan C = 3/4

______________________________________

Bài 4.

Cho tam giác vuông có một góc 60º và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60°.

Hướng dẫn giải:

___________________________________

Bài 5.

Tìm x trong hình 23.

Hướng dẫn giải:

Để tính được x ta cần áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, x chính là cạnh huyền. Nhưng ta cần phải biết độ dài cạnh AC.

Từ tỉ số lượng giác góc 45º, ta có thể tính được độ dài của cạnh đối diện góc 45º là AC.

Ta biết độ dài AD = 20 hay là cạnh kề của góc 45º nên để tính AC là dùng tỉ số lượng giác

tan 45º = AC/AD, thay số vào ta có:

1 = AC/20 nên AC = 20.

Và ta dựa vào định lý Pytago để tính x² = BC² = AC² + AB² = 20² + 21² = 841

Vậy x = 29.

Dạng 4: So sánh, sắp xếp các tỉ số lượng giác

Phương pháp giải:

Bước 1: Ta đưa các tỉ số lượng giác cần so sánh về cùng loại bằng cách sử dụng các tính chất đã học.

Bước 2: Với hai góc nhọn a và b, ta có:

sin a < sin b ⇔ a < b ; cos a < cos b ⇔ a > b

tan a < tan b ⇔ a < b ; cot a < cot b ⇔ a > b

Bài 6.

So sánh:

Hướng dẫn giải:

a) Vi 20º < 70º nên sin 20º < sin 70º

b) Vì 25º < 63º15′ nên cos 25º > cos 63º15′

c) Vì 73º20′ > 45º nên tan 73º20′ > tan 45º

d) Vì 2º < 37º40′ nên cot 2º > cot 37º40′

________________________________________

Bài 7. Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:

Hướng dẫn giải:

a) Ta sẽ đổi tất cả sang 1 loại tỉ số lượng giác: cos 14º = sin 76º ; cos 87º = sin 3º

Vì a tăng từ 0º đến 90º thì sin a tăng, nên ta có:

sin 3º < sin 47º < sin 76º < sin 78º

b) Ta sẽ đổi tất cả sang 1 loại tỉ số lượng giác: cot 25º = tan 65º ; cot 38º = tan 52º

Vì a tăng từ 0º đến 90º thì tan a tăng, nên ta có:

Vì a tăng từ 0º đến 90º thì sin a tăng, nên ta có:

tan 52 º < tan 62 º < tan 65 º < tan 73 º

___________________________________________

Bài 8.

So sánh:

Hướng dẫn giải:

a) tan 25 º = sin 25º / cos 25 º và sin 25º > 0 ; cos 25 º < 1

Ta so sánh các phân số cùng tử số:

Vì thế tan 25º > sin 25º

Các câu tiếp theo làm tương tự câu a.

______________________________________

Bài 9.

Tính: