Trong Không Gian Hai đường Thẳng Song Song Là Hai đường Thẳng

Trường hợp 1:Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng, có ba khả năng xảy ra:

Nội dung chính Show

• 2. Tính chất :
• Cách chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian
• Hướng dẫn cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian qua 2 phương pháp thường dùng. Có các ví dụ minh họa kèm lời giải chi tiết.
• Bài tập chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian
• 30 câu trắc nghiệm Phép tịnh tiến có lời giải – Toán lớp 11
• Tổng hợp kiến thức cơ bản Toán lớp 11 – Nguyễn Thanh Nhàn
• Lý thuyết khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
• Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian
• Tổng hợp các chuyên đề Toán lớp 11
• 30 câu trắc nghiệm cấp số cộng, cấp số nhân có đáp án
• Đề cương ôn tập Toán 11 học kỳ II năm 2017-2018

a) a và b có điểm chung duy nhất M. Ta nói a và b cắt nhau tại M và kí hiệu là \(a\cap b\) = {M}. Ta có thể viết \(a\cap b\) = M.

b) a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a // b.

c) a trùng b, kí hiệu là \(a\equiv b\)

Như vậy, hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau hay a chéo với b.

2. Tính chất :

Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

* Lưu ý: Hai đường thẳng song song a và b xác định một mặt phẳng, kí hiệu là mp(a, b) hay (a, b)

Định lí 2: (về giao tuyến của ba mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó.

Định lí 3 : Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với đường thẳng c ta kí hiệu a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Đường thẳng, mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song

Các dạng toán có hướng dẫn giải về Đường thẳng, mặt phẳng trong không gian

Cách chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian

Hướng dẫn cách chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian qua 2 phương pháp thường dùng. Có các ví dụ minh họa kèm lời giải chi tiết.

Nhắc lại định nghĩa: Hai đường thẳng gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

Để chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian (lớp 11) chúng ta có thể áp dụng trong các cách dưới đây:

– Cách 1: Chứng minh chúng đồng phẳng rồi sử dụng các định lí đường trung bình, Thales đảo … quen thuộc trong hình học phẳng.

– Cách 2: Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.

– Cách 3: Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Bài tập chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian

Bài 1:Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD.Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD

Bài giải

Gọi E là trung điểm của AB. theo tính chất trọng tâm ta có tỉ số EJ/ED = EI/EC = 1/3 ( Tính chất trọng tâm)

⇒ IJ // CD ( Định lí talet đảo )

Bài 2:Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trungđiểm các cạnh SA , SB , SC , SD

a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành

b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD

Bài giải

Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành:

Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB

Trong tam giác SCD, ta có C’D’//CD Mặt khác AB // CD ⇒ A’B’ // C’D’

Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành

Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:

Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)

Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’.Gọi N = Mx ∩ AD

Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN

Bài 3:

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB

a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD

b. Tìm P = SC ∩ (ADN)

c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?

Bài giải

Chứng minh : MN∕ ∕ CD :

Trong tam giác SAB, ta có : MN∕ ∕AB

Mà AB∕ ∕CD ( ABCD là hình thang )

Vậy : MN ∕ ∕ CD

Tìm P = SC ∩(ADN):

• Chọn mp phụ (SBC)⊃ SC
• Tìm giao tuyến của (SBC ) và (ADN)

Ta có : N là điểm chung của (SBC ) và (ADN)

Trong (ABCD), gọi E = AD∩ AC

⇒ ( SBC) ∩ (ADN ) = NE

• Trong (SBC), gọi P = SC ∩ NE

Vậy : P = SC ∩ ( ADN )

Chứng minh : SI //AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ?

SI = (SAB)∩(SCD)

AB // CD

⇒ SI // AB // CD (1)

Trong tam giác SAI có SI // MN , SI = 2MN và AB = 2 MN⇒ SI = AB (2)

Từ (1) và (2)⇒ SABI là hình bình hành

Bài 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SK = 2/3SB .

a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)

b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD. Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành

Bài giải

Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK):

Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung của (SAB) và (IJK) Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB

Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD:

Gọi L = Kx ∩ SA

Thiết diện là hình thang IJKL

Do : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD⇒ IJ = 1/2(AB + CD)

Xét tam giácSAB có : LK/AB = SK/SB = 2/3 ⇒ LK =2/3.AB

IJKL là hình bình hành ⇔ IJ = KL⇔ 1/2.(AB + CD) = 2/3.AB⇔ AB = 3.CD

Vậy : thiết diện IJKL là hình bình hành ⇔ AB = 3.CD

Bài 5:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD

a. Chứng minh : PQ // SA.

b. Gọi K = MN ∩ PQ. Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.

Bài giải

Chứng minh : PQ // SA.

Xét tam giác SCD.Ta có : NP // CD ⇔ DP/SD = CN/CS (1)

tương tự MN // SB ta có CN /CS = CM/CB (2)

Ta có MQ // AB⇒ CM / CB = DQ/ DA (3)

từ (1), (2) và (3) ⇒ DP / DS = DQ / DA ⇒ PQ // SA

Toán lớp 11 - Tags: đường thẳng, không gian, song song

• 30 câu trắc nghiệm Phép tịnh tiến có lời giải – Toán lớp 11

• Tổng hợp kiến thức cơ bản Toán lớp 11 – Nguyễn Thanh Nhàn

• Lý thuyết khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau

• Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian

• Tổng hợp các chuyên đề Toán lớp 11

• 30 câu trắc nghiệm cấp số cộng, cấp số nhân có đáp án

• Đề cương ôn tập Toán 11 học kỳ II năm 2017-2018

- Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

- Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó ( hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó).

- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau

Cách chứng minh hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau:

Dùng phương pháp phản chứng: Giả sử \(a, b\) không chéo nhau - tức là \(a\) và \(b\) cùng nằm trong mặt phẳng \((P)\), lập luận dẫn tới mâu thuẫn vậy \(a\) và \(b\) chéo nhau.

Cách chứng minh hai đường thẳng \(a\) và \(b\) song song:

Sử dụng các tính chất nêu trên hoặc đưa về một mặt phẳng rồi sử dụng các tính chất trong hình học phẳng: Tính chất hình bình hành; Đường trung bình của tam giác; Định lí Ta-let....

Loigiaihay.com