5 Giới Hạn Dãy Số Nâng Cao Tổng Của Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (17 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Tư liệu khác

5 giới hạn dãy số nâng cao tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (720.32 KB, 17 trang )

BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ NÂNG CAO – TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNCHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠNMÔN TOÁN LỚP 11THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COMA. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHỨA TỔNG ĐẶC BIỆTI. PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH1. Phương pháp làm bàiL  lim Sn  lim  u1  u2  ...  un + Nhận ra S n là tổng của n số hạng trong dãy số  un  cho bởi SHTQ un .+ Do n   nên S n không là một tổng hữu hạn các số hạng. Ta không thể tách giới hạn đề bài thành tổngnhiều giới hạn nhỏ được.* Ta biến đổi tính tổng trước bằng cách.a. Phương pháp áp dụng CSN, CSNNắm vững tính chất CSC, CSN đã học:CSC: Sn  u1  un  .n  nu12CSN: Sn  u1.n  n  1 d.2u1  qn. Đặc biệt nếu q  1 . Ta có CSN lùi vô hạn: Sn  1 .1 q1 qb. Phương pháp sai phân – thu gọnCác công thức đối với dãy số quen thuộc111 n  n  1 n n  1Tổng quát:11 n  a  n  b 1   n  b   n  a  1  11 .b  a   n  a  n  b   b  a  n  a n  b Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!n  n  12112  22  32  ...  n 2  n  n  1 2n  161  2  3  ...  n  n  n  1 1  2  3  ...  n   2 33323c. Phương pháp sử dụng định lí kẹpCho 3 dãy số  un  ,  vn  ,  wn  .vn  un  wn nNếu lim vn  lim wn  L  L thì lim un  L .2. Kinh nghiệm giải nhanhSử dụng máy tính cầm tayChức năng tính tổng SHIFT LOG100Ta cho n  100 , CALC cho X  100 hoặc 1000 nhưng sẽ phải chờ hơi lâu: Sn    un x 1II. BÀI TẬP ÁP DỤNGBài 1: Tính giới hạn: L  lim1  3  5  ...   2n  1n2Hướng dẫn giải+ Nhận ra tử là tổng n số hạng đầu của 1 CSC  un  với u1  1, d  2, u n  2n 1 .Sn 1  2n  1 n  n2 .2 L  lim2n2 1.n2  1Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!n  1 2Bài 2: Tính giới hạn: L  lim  2  2  ...  2  .n n nHướng dẫn giảin 1  2  ...  n 1 2L  lim  2  2  ...  2   limn n2n nNhận ra tử là tổng của n số hạng đầu của 1 CSC  un  : Sn  L  lim1  n  n .21  n  n  lim n  1  1 .2n22n21  2  22  ...  2nBài 3: Tính giới hạn: L  lim.1  3  32  ...  3nHướng dẫn giải+ Nhận ra tử và mẫu là tổng  n  1 số hạng đầu của CSN:ST 11  2n 1 1 211  3n 1  2n 1  13n 1  1SM 1 32n 12  2  14.2n  2L  lim n 1 lim3 13.3n  1nn214.    2.  3 3   4.0  2.0  0 lim  n3013 3 111 Bài 4: Tính giới hạn: L  lim ... . 1.2 2.3nn13Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!Hướng dẫn giải n  1  n  1  11n  n  1n  n  1n n 111 1 1 1 1L  lim      ...  n n 1 1 2 2 31 L  lim 1  1 n 1  111Bài 5: Tính giới hạn: L  lim .... 1.3 3.5 2n  1 2n  1 Hướng dẫn giải1 2n  1 2n  11  2n  1   2n  1 1  11  2  2n  1 2n  12  2n  1 2n  1 1 1 1 1 111 L  lim       ... 2n  1 2n  1  2 1 3 3 51 1  1L  lim  1   2  2n  1   2Bài 6: Tính giới hạn: L  lim12  22  ...  n2.n  n 2  1Hướng dẫn giảiTa có: 12  22  ...  n2 n  n  1 2n  16 n  n  1 2n  1  n  1 2n  1  2  1 .  limL  lim 26 36  n 2  1 6n  n  1 4Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!1 1 1 Bài 7: Tính giới hạn: L  lim 1  2 1  2  ... 1  2  . 2  3   n Hướng dẫn giải1 n2  1  n  1 n  1 n  1 n  1Ta có: 1  2  2 .nnn2nn 1 3   2 4   3 5   n  1 n  1  L  lim  .  .  .  .  .  ... .n   2 2   3 3   4 4   nn 1 1L  lim2n2Sử dụng ALPHA LOGBài 8: Tính lim un với: un 1n 121n 22 ... 1n n2n   .*Hướng dẫn giảiVới mọi n Lại có lim*ta có: nnn2  1 lim1n n2nn2  n un  n.1n2  1.1Do đó theo định lí kẹp, ta có lim un  1 .B. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNI. PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH5Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!1. Phương pháp làm bàiCho  un  là một CSN có công bội q với q  1 gọi là CSN lùi vô hạn. Gọi S n là tổng n số hạng đầu của CSN,ta có: Sn  u1  u2  ...  un u1.1 q2. Kinh nghiệm giải nhanha. Sử dụng máy tính cầm tay tính tổngChức năng tính tổng SHIFT LOG100Ta cho n  100 hoặc 1000 nhưng sẽ phải chờ hơi lâu: Sn    un  .x 1b. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số+ Cách 1: Ta tách số cần biểu diễn dưới dạng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.+ Cách 2: Ta nhập số đó vào máy tính và kéo dài phần chu kì tuần hoàn rồi ấn bằng.II. BÀI TẬP ÁP DỤNGBài 9: Tính các tổng sau:1 1 1b) S  1    ...    2 4 21 11a) S   2  ...  n  ...3 33c) S  2  2  1 n 1 ...1 1  ...2 2Hướng dẫn giải1 11a) S   2  ...  n  ...3 33Xét dãy số  un  :1 1111, 2 , ... , n … là 1 CSN có u1  , q  .3 3333111 111Vì q   1 nên dãy số này là CSN lùi vô hạn. Do đó: S   2  ...  n  ...  3  .1 23 333131 1 1b) S  1    ...    2 4 26n 1 ...Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!1 1 1Xét dãy số  un  : 1,  , , ...,   2 4 2n11… là 1 CSN có u1  1, q   .21 11 1Vì q   1 nên dãy số này là CSN lùi vô hạn. Do đó: S  1    ...    2 42 2c) S  2  2  1  ... 11122.31 1  ...2 2Xét dãy số  un  : 2,  2, 1, Vì q n 121 1., … là 1 CSN có u1  2, q  22 221 1 1 nên dãy số này là CSN lùi vô hạn. Do đó: S  2  2  1   ... 22 22212 42 2 .Bài 10: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số.b) 2,131313...a) 0,777...Hướng dẫn giảia) Ta có: 0,777... 777 2  3  ...10 10 10Đây là tổng của một CSN lùi vô hạn với u1 71,q .101077Do đó: 0, 777...  10  .1 9110a) Ta có: 2,131313...  2 7131313 ...2100 100 1003Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!Ta thấy S 131313131., q ...  ... là tổng của một CSN lùi vô hạn với u1 23100 1001001001001313 211Do đó: 2,131313...  2  100  2 .1999911001  a  a 2  ...  a n  ...Bài 11: Tính giới hạn L với a  1, b  11  b  b 2  ...  b n  ...Hướng dẫn giảiKhi n   cả tử và mẫu đều là CSN lùi vô hạn.11 b.L  lim 1  a 11 a1 bBài 12: Trong hình vuông cạnh a, người ta nối các trung điểm 4 cạnh với nhau và được hình vuông thứ hai,tiếp tục làm như thế ta được hình vuông thứ 3,… Tính giới hạn của tổng các diện tích của các hình vuông tạothành.Hướng dẫn giảiTa gọi an và un lần lượt là cạnh và diện tích hình vuông thứ n được tạo thành. 2a 2Khi đó: a1  a, a2 ; ..., an  a 2 2  un   an 821a  2n 1n 12Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!1  un  là một CSN có u1  a 2 , q  .2Do đó S là tổng của tất cả các hình vuông tạo thành thì lim S Bài 13: Giải phương trìnhu1a2 2a 2 .1 q 1 1217 x  x 2  ...  x n   x  1 .x2Hướng dẫn giảiVì x  1 nên S  x  x 2  ...  x n  ... là tổng của một CSN lùi vô hạnS x.1 xPT 1x7x2  x  1 7   x  0x 1 x 2x 1  x  21x3 2 x2  2 x  2  7 x  7 x2  9x2  9x  2  0   tm x  231 2 Vậy tập nghiệm x   ;  .3 3 C. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒII. PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH1. Phương pháp làm bài+ Từ công thức truy hồi đề cho, tìm công thức SHTQ un , từ đó tìm được lim un .+ Để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn, ta cần chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bịchặn dưới. Sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn.+ Chú ý quan trọng:Nếu lim un  a thì lim un 1  lim un  2  a .2. Kinh nghiệm giải nhanha. Sử dụng phương pháp quy nạp để dự đoán và chứng minh công thức SHTQ.b. Sử dụng các phương pháp tìm nhanh công thức SHTQ đã học trong bài dãy số9Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!u1  2Bài 14: Cho dãy số  un  xác định bởi . Biết  un  có giới hạn khi n   , hãy tìm giớiu2un1n n 1hạn đó.Hướng dẫn giảiBằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được un  2 n *nên  un  bị chặn trên. Đồng thời dãy tăng nên  un có giới hạn.Đặt lim  un   a  limun 1  a .Ta cólim un 1  lim 2  un  a  2  a a  1 a2  a  2  0  a  2Vì un  0 nên lim  un   a  0 .Vậy lim  un   2 .Bài 15: Cho dãy số  un 1u12xác định bởi . Tìm lim un .un 1  1  n  12  unHướng dẫn giảiBằng quy nạp ta chứng minh được un  1 n *nên  un  bị chặn trên. Đồng thời dãy số tăng nên  un  cógiới hạn.Cách 1: Đặt lim un  a  lim un1  a .Ta có: lim un 1  lima12  un1a  2 a  1.22aa10Vậy lim  un  1 .Cách 2:10Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!1234Ta có u1  , u2  , u3  , u4  .2345Ta dự đoán un n.n 1Ta dễ dàng chứng minh được công thức trên đúng n Từ đó lim un  lim*nhờ phương pháp quy nạp đã học.n1.n 1BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM13n 1   ... 22Câu 1: Tính giới hạn L  lim 2n2  1A. L 18B. L  1C. L 12D. L 14Hướng dẫn giải13n 11 n  n  1 1   ...   1  2  ...  n   .222 2222n n1 L  lim24  n  1 4Chọn D.Câu 2: Tính giới hạn L  lim2  4  6  ...  2 n3n2  4B. L A. L  013C. L 23D. L  1Hướng dẫn giải2  4  6  ...  2n  2  2n  .n  n2 n  1n2  n 1 L  lim 23n  4 3Chọn B. 111Câu 3: Tính giới hạn L  lim   ... n  n 3  1.4 2.511Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!A. L 1118B. L  2C. L  1D. L 32D. L 14Hướng dẫn giảiChọn A.13  23  ...  n3Câu 4: Tính giới hạn L  lim2n 2  n 2  1A. L  1B. L 12C. L 18Hướng dẫn giải n  n  1 1  2  ...  n   2 3323L  limn2  n  124.2n  n  12218Chọn C.Câu 5: Cho dãy số  un  xác định bởi u1  2, un1 A. L  1un  1, n  1 . Tính L  lim un .2C. L  2B. L  0D. L  Hướng dẫn giảiLL 1 L  1.2Chọn A.Câu 6: Cho dãy số  un  xác định bởi u1  1, un 1 A. L  3B. L   32un  3, n  1 . Tính L  lim un .un  2C. L   3D. L  2Hướng dẫn giải12Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!a2a  3a  3.a2Do un  0 n  lim un  3 .Chọn A.11Câu 7: Tính tổng S  9  3  1   ...  n3  ...33A. S 272C. S  16B. S  14D. S  15Hướng dẫn giải1Đây là tổng của CSN lùi vô hạn u1  9, q  .39S11327.2Chọn A.Câu 8: Tính tổng S  2 A. S  2  12222 ...  n 1  ...2482C. S  2 2B. S  2D. S 12Hướng dẫn giảiĐây là tổng của CSN lùi vô hạn u1  2, q S 1.222 2.112Chọn C.Hoặc1 1 1S  2 1    ...  n 1  ... 2 2 41S  2.2 211213Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!Câu 9: Tính tổng S A. S 1 1 1   ...2 6 1834B. S 83C. S 23D. S 38D. S 12D. S 1cos2 xHướng dẫn giải11Đây là tổng của CSN lùi vô hạn u1  , q   .2313S 2  .1 813Chọn D.1 1 1 1 1 1Câu 10: Tính tổng S          ...   n  n   ... 2 3  4 92 3 A. S  1B. S 23C. S 34Hướng dẫn giải111 1 1 1S     ...  n  ...      ...  n  ... 232 4 3 911.1 132S 1 112 21123Chọn D.Câu 11: Tính tổng S  1  cos2 x  cos4 x  ...  cos2 n x  ... với cos x  1 .A. S  sin 2 xB. S  cos 2 xC. S 1sin 2 xHướng dẫn giảiS11 2 .21  cos x sin xChọn C.14Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!Câu 12: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giảnA. T  17C. T  133B. T  68a. Tính tổng T  a  b .bD. T  137Hướng dẫn giải111123.0,5111...  0,5  ...  n  ...  0,5  100 1 45100 100010110 a  23, b  45  T  23  45  68 .Chọn B.Câu 13: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323… được biểu diễn bởi phân số tối giảna. Khẳng định nàobđúng?A. a  b  215C. a  b  213B. a  b  214D. a  b  212Hướng dẫn giải23 23 ...104 106234854 0,17  10  a  b  4097 .14950110012132  4096  a  b  2  81920,17232323...  0,17 Chọn D.D. BÀI TẬP TỰ LUYỆNBài 1: Tính giới hạn của  un  với:a) un 1  3  5  7  ...   2n  12  5  8  11  ...   3n  1b) un 2020  2015  2010  ...4n2  n  1n 11  2  4  8  ...  2n1c) un 2.3n  11 111    ...   5 255d) un n 11 1 11    ...    4 16 4Bài 2: Tính giới hạn của  un  với:15Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!n 1  2  3  ...  nn2  n  1b) un 2.12  3.22  ...   n  1 n 2c) un n4d) un a) un e) un 123n 1 2 2 ...  2n 1 n 1 n 1n 121n 131n 23 ... 1n n3111 ... n 1 n 2n nBài 3: Tính giới hạn của  un  với:n12k 1 k  3k  2a) un  d) un 15nn1k 1 k  k  2 n 4ke) un  k 1nnc) un  b) un  k 1 k  1k 119k  121k  k k 1Bài 4: Cho dãy số  un  xác định bởi hệ thức dưới đây. Tìm lim un .11a) u1  , un1  un2  1  n  132c) u1  2012, un 1 14  3unb) u1  1, un 1 11  un n  1 n  1Bài 5: Tính tổnga) S  1  0,9  0,92  ...  0,9n1  ...b) S 1 1 11 2  3  ...  n  ...2 2 22c) S  8  4  2  ...  24n  ...d) S 2 111  ...2 1 2  2 2Bài 6: Rút gọn các tổng sau:a) S  1  sin 2 x  sin 4 x  ...   1 sin 2 n x  ... với sin x  1 .nb) S  1  tan   tan 2   tan 3   ... với 0   4.c) S  x 2  x3  x 4  ...   1 x n  ... với x  1 và n n*Áp dụng giải phương trình 2 x  1  x2  x3  x 4  ...   1 x n  ... n1613với x  16Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!Bài 7: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân:a) Biết tổng bằng 3 và công bội q 2.3b) Biết tổng bằng 32 và công bội u2  8 .c) Biết tổng bằng395và tổng 3 số hạng đầu tiên là.253Bài 8: Hãy biểu diễn các số thập phân bô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:a) 1,688888…17b) 0,353535…c) 5,231231…d) 3,124242…Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!

Tài liệu liên quan

• Một số điểm cần lưu ý khi dạy văn nâng cao 11
  • 59
  • 567
  • 1
• MỘT SỐ GIẢI PHÁP DẠY HỌC NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG HỌC MÔN HÌNH HỌC Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ
  • 14
  • 496
  • 1
• xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan nhiều lựa chọn chương “cảm ứng điện từ” vật lí 11 (nâng cao) theo các cấp bậc nhận thức bloom
  • 152
  • 609
  • 0
• skkn phương pháp dạy học nâng cao chất lượng phân môn tập làm văn tả người cho học sinh lớp 5
  • 40
  • 737
  • 1
• Tổng hợp kiến thức đầy đủ nâng cao tiếng anh 12 THPT quốc gia mới nhất
  • 37
  • 657
  • 1
• SKKN Một số biện pháp chỉ đạo nâng cao chất lượng phát triển nhận thức cho trẻ 5 – 6 tuổi thông qua hoạt động khám phá khoa học
  • 36
  • 716
  • 0
• Một số biện pháp dạy học nâng cao chất lượng dạng bài tập đạo đức lớp 3
  • 10
  • 376
  • 0
• XÂY DỰNG HỆ THỐNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN NHIỀU LỰA CHỌN CHƯƠNG “CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ” VẬT LÍ 11 (NÂNG CAO) THEO CÁC CẤP BẬC NHẬN THỨC BLOOM
  • 152
  • 516
  • 0
• MỘT số BIỆN PHÁP CHỈ đạo của HIỆU TRƯỞNG về VIỆC THỰC HIỆN PHONG TRÀO THI ĐUA xây DỰNG TRƯỜNG học THÂN THIỆN học SINH TÍCH cực góp PHẦN THÚC đẩy VIỆC NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIÁO dục tại TRƯỜNG TRUNG học cơ sở ĐÔNG yên,
  • 21
  • 362
  • 0
• Sảng kiến KN một số phương pháp giảng dạy nhằm nâng cao chất lượng môn chạy bền
  • 16
  • 324
  • 1

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(720.32 KB - 17 trang) - 5 giới hạn dãy số nâng cao tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Tải bản đầy đủ ngay ×