Xemtailieu Tải về Chuyên đề giới hạn lớp 11
LƯ SĨ PHÁP § § LSP GV-Trường THPT Tuy Phong LỜI NÓI ĐẦU Quý đọc giả, quý thầy cô và các em học sinh thân mến! Nhằm giúp các em học sinh có tài liệu tự học môn Toán, tôi biên soạn cuốn giải toán trọng tâm của lớp 11. Nội dung của cuốn tài liệu bám sát chương trình chuẩn và chương trình nâng cao về môn Toán đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định. NỘI DUNG 1. Lí thuyết cần nắm ở mỗi bài học 2. Bài tập có hướng dẫn giải và bài tập tự luyện 3. Trắc nghiệm Cuốn tài liệu được xây dựng sẽ còn có những khiếm khuyết. Rất mong nhận được sự góp ý, đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh để lần sau cuốn bài tập hoàn chỉnh hơn. Mọi góp ý xin gọi về số 01655.334.679 – 0916 620 899 Email: [email protected] Chân thành cảm ơn. Lư Sỹ Pháp GV_ Trường THPT Tuy Phong MỤC LỤC §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 01 - 15 §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 16 – 33 §3. HÀM SỐ LIÊN TỤC 34 – 42 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 43 – 51 TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 52 – 55 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 55 – 60 HÀM SỐ LIÊN TỤC 60 – 62 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 62 – 69 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 69 – 71 GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 Chương IV. GIỚI HẠN §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CẤN NẮM 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số lim un = 0 khi và chỉ khi un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở n →+∞ đi. lim vn = a ⇔ lim (vn − a) = 0 Dãy số (un) có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số un có giới hạn 0 n →+∞ n →+∞ ( ) 2. Giới hạn vô cực lim un = +∞ khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó n →+∞ trở đi. Kí hiệu: lim un = +∞ hay un → +∞ khi n → +∞ Dãy số ( un ) được gọi là có giới hạn −∞ khi n → +∞ nếu lim(−un ) = +∞ Nhận xét: lim un = +∞ ⇔ lim (−un ) = −∞ ; lim un = −∞ ⇔ lim (−un ) = +∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ Lưu ý: Thay cho viết lim un = L , lim un = ±∞ , ta viết lim un = a, lim un = ±∞ n →+∞ n →+∞ 3. Các giới hạn đặc biệt 1 1 a) lim = 0 ; lim k = 0 ; n n n b) lim q = 0 , nếu q < 1 ; lim c = c ; c) lim lim nk = +∞ , với k nguyên dương. lim qn = +∞ nếu q > 1 c = 0, nk lim(c un) = climun, với c là hằng số, k ∈ ℕ* n = 0 nếu q > 1 qn 4. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1. Nếu lim un = L và lim vn = M , thì: lim d) lim(un + vn ) = lim un + lim vn = L + M lim(un − vn ) = lim un − lim vn = L − M lim un .vn = lim un .lim vn = L .M lim(c.un ) = c.L ( với c là hằng số) lim un L = (nếu M ≠ 0 ) vn M Định lí 2. Giả sử lim un = L Nếu un ≥ 0 với mọi n thì L ≥ 0 và lim un = L lim un = L và lim 3 un = 3 L Nếu lim un = +∞ thì lim 1 =0 un 5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực a) Quy tắc 1. Nếu lim un = ±∞ và lim vn = ±∞ thì lim ( un vn ) được cho trong bảng: BT. ĐS> 11 1 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 lim un lim ( un vn ) lim vn +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ b) Quy tắc 2. Nếu lim un = ±∞ và lim vn = L ≠ 0 thì lim ( un vn ) được cho trong bảng: lim un Dấu của L lim ( un vn ) +∞ +∞ −∞ −∞ + − + − +∞ −∞ −∞ +∞ u c) Quy tắc 3. . Nếu lim un = L ≠ 0 và lim vn = 0 và vn > 0 hoặc vn < 0 thì lim n được cho trong vn bảng: Dấu của L Dấu của vn u lim n vn + + +∞ + − −∞ + − −∞ − − +∞ u Chú ý . Nếu lim un = L > 0, lim vn = ±∞ thì lim n = 0 vn 6. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa mãn q < 1 Công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un) u u S = u1 + u2 + u3 + ... + un + ... = 1 ; q < 1 hay S = u1 + u1q + u1q2 + ... + u1qn −1 + ... = 1 ; q < 1 1− q 1− q 7. Định lí kẹp về giới hạn của dãy số Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) và số thực L. Nếu un ≤ vn ≤ wn với mọi n và lim un = lim wn = L thì dãy số (vn) có giới hạn và lim vn = L. 8. Lưu ý a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn b) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn c) Nếu limun = a thì limun + 1 = a n 1 d) Số e: e = lim 1 + n →+∞ n 9. Phương pháp tìm giới hạn của dãy số - Vận dụng nội dung định nghĩa - Tìm giới hạn của một dãy số ta thường đưa về các giới hạn dạng đặc biệt và áp dụng các định lí về giới hạn hoặc các định lí về giới hạn vô cực: + Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa các lũy thừa của n, thì chia tử và mẫu cho nk, với k là số mũ cao nhất. + Nếu biểu thức có chứa n dưới dấu căn, thì có thể nhân tử số và mẫu số với cùng một biểu thức liên hợp. 10. Phương pháp tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn - Nhận dạng xem dãy số đã cho có phải là một cấp số nhân lùi vô hạn không. Sau đó áp dụng công thức tính tổng đã biết. BT. ĐS> 11 2 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp - Toán 11 Cách tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm công bội và số hạng đầu Cách viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số đã cho dưới dạng tổng của một số nhân lùi vô hạn và tính tổng này. B. BÀI TẬP n +1 với mọi n. Chứng minh rằng lim un = 0. n2 HD Giải 1 1 + 2 n +1 n +1 n n = 0 . Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy Đặt vn = 2 . Ta có lim vn = lim 2 = lim n 1 n n ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1) Mặt khác, theo giả thiết ta có un ≤ vn ≤ vn (2) Bài 1.1. Biết dãy số (un) thỏa mãn un ≤ Từ (1) và (2) suy ra un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim un = 0. Bài 1.2. Bằng định nghĩa tính giới hạn lim 3n + 1 − sin π n 3 HD Giải π π n 3n + 1 − sin sin 1 n = lim 1 + n Ta có lim − n 3 3n 3 sin n π n n ≤ 1 = 1 và lim 1 = lim 1 = 0 nên 1 có thể nhỏ hơn một số dương bé n 3 3n 3n 3n 3n 3 Mặt khác, ta lại có tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. sin Từ đó suy ra 3 π n π n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. π n sin n = lim 1 + 1 − n =1 Nghĩa là lim n n = 0 . Vậy lim n n 3 3 3 3 Bài 1.3. Cho biết dãy số (un) thỏa mãn un > n2 với mọi n. Chứng minh rằng lim un = +∞ sin 3n + 1 − sin π HD Giải Vì lim n = +∞ (giới hạn đặt biệt), nên n có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Mặt khác, theo giả thiết un > n2 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Vậy lim un = +∞ 2 BT. ĐS> 11 2 3 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 Bài 1.4. Biết dãy số (un) thỏa mãn un − 1 < Ta có lim 1 với mọi n. Chứng minh rằng lim un = 1 n3 HD Giải 1 1 = 0 nên 3 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi . Mặt 3 n n khác, ta có un − 1 < 1 1 = 3 với mọi n 3 n n Từ đó suy ra un − 1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩ là lim(un – 1) = 0. Do đó limun = 1 Bài 1.5. Cho dãy số (un) xác định bởi un = 2n + 1 n+2 1 100 b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy số (un) đều nằm trong khoảng (1,998; 2,001) HD Giải 2n + 1 −3 3 1 3 1 a) Ta có un − 2 = −2 = = . Khi đó un − 2 < ⇔ < ⇔ n > 298 100 n+2 n+2 n+2 n + 2 100 a) Tìm số n sao cho un − 2 < 3 3 < n + 2 2009 3 3 3 ⇔ un − 2 < ⇔ 2− < un < 2 + ⇔ 1,998 < un < 2, 001 2009 2009 2009 Bài 1.6. Tính các giới hạn sau 6n − 1 4n2 − n − 1 3n 2 + n − 5 2n3 − 2n + 3 a) lim b) lim c) lim d) lim 3n + 2 3 + 2n 2 2n 2 + 1 1 − 4 n3 HD Giải 1 1 1 1 n6 − 4− − 2 6 − 2 n 6n − 1 4n − n − 1 n n =2 n =2 a) lim = lim = lim b) lim = lim 2 2 3 3n + 2 2 3 + 2n 3+ +2 n3+ n n2 n b) Khi n > 2007 ⇔ n + 2 > 2009 ⇔ 3n2 + n − 5 3 c) lim = 2 2n 2 + 1 2n3 − 2n + 3 d) lim = lim 1 − 4n3 Bài 1.7. Tính các giới hạn sau: n + 1 cos n 3n + 5.4 n (−2)n + 3n a) lim n b) lim c) lim + n n n +1 n +1 4 +2 (−2) + 3 3 n HD Giải n 3 n 3 4 n + 5 +5 4 3n + 5.4 n 4 a) lim n = lim = lim =5 n n 2 n 4 +2 1 1+ 4n 1 + 4 2 BT. ĐS> 11 4 2 3 + n 2 n3 = − 1 1 2 −4 3 n 2− (−1)n d) lim 3 + n 2 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp (−2)n + 3n 1 b) lim = n +1 n +1 3 (−2) + 3 Toán 11 n + 1 cos n n +1 cos n c) lim + n = lim + lim n = 1 n 3 3 n n 1 (−1)n d) lim 3 + n = lim 3 + lim − = 3 2 2 Bài 1.8. Tính các giới hạn 3n2 + 1 + n 1 − 2n 2 a) lim b) lim (n + 1)(3 − 2n)2 9n 2 − n + 1 c) lim 4n − 2 n3 + 1 HD Giải d) lim 4n 2 + 1 + n 2n + 1 1 1 1 1 +n 3+ 2 + 2 3n + 1 + n n n n n a) lim = lim = lim =0 2 2 1 1 − 2n 1 − 2n −2 n2 8 3 9 4− − 2 + 3 2 3 2 (n + 1)(3 − 2n) 4n − 8n − 3n + 9 n n n =4 b) lim = lim = lim 3 3 1 n +1 n +1 1+ 3 n n 3+ 2 1 1 + 2 9n − n + 1 3 9n 9n = lim = c) lim 4n − 2 4n − 2 4 1 4 + 2 +1 2 4n + 1 + n 3 n = lim = d) lim 1 2n + 1 2 2+ n Bài 1.9. Tính các giới hạn sau 3n 1 − 2 ( c) lim ( a) lim a) lim ( = lim b) lim ( ) n + n +1 − n ) n 2 + n − n2 − 1 4 2 n +n− 2 ( n − 1 ) = lim n 2 + n + n2 − 1 = lim ( n − n − n ) = lim 2 BT. ĐS> 11 n ( d) lim n 2 2 n +1 b) lim n2 − n − n ( n2 − 1 − n 2 + 2 HD Giải n2 + n − n2 − 1 )( ) n2 + n + n2 − 1 ) ) n2 + n + n2 − 1 1 n 1 + 1 n = 1 1 2 1+ + 1− 2 n n n2 − n − n )( n2 − n + n n2 − n + n ) = lim 5 −n 1 n 1 − + 1 n =− 1 2 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp c) lim Toán 11 ) ( n + n +1− n 4 n 4 + n 2 + 1 − n 2 = lim d ) lim n ( ) 2 = lim n ( ( n2 + n + 2 − n + 1 a) +∞ 1 = lim ) ( ( ) 1 3n + 2 − 2n + 1 1 d) lim n 2 + 2n − n HD Giải 1 c) 3 2 +1 n =1 2 1+ n + 2n + n = lim n 2 + 2n − n 2 2 n2 + 3n − n + 2 c) lim n n 2 − 1 + n2 + 2 1 1 + +1 n2 n 4 b) lim n 2 + 2n − n Bài 1.11. Tính các giới hạn sau a) lim 1 2 n2 − 1 + n2 + 2 −3n 3 =− 2 1 2 1− 2 + 1+ 2 n n b) 0 d) lim )( 1 n2 = 1+ n2 + 1 − n + 1 3n + 2 c) lim 1+ = lim n2 − 1 − n2 + 2 n Bài 1.10. Tính các giới hạn sau: a) lim 4 n 4 + n2 + 1 + n 2 n − 1 − n + 2 = lim 2 2 n −1 − n ) b) lim ) ( 3 )( ( ) 4n 2 + 1 − 2n + 1 d) lim HD Giải n 3 − 2n 2 − n n2 + 2n − n ) n2 + 3n − n n2 + 3n + n a) lim n + 3n − n + 2 = lim + 2 2 n + 3n + n 3n 3 7 = lim + 2 = lim + 2 = 2 3 n 1 + 3 + 1 1+ +1 n n 2 3 3 n − 2n 2 − n 3 n3 − 2n 2 + n 3 n3 − 2n 2 + n 2 b) lim 3 n3 − 2n2 − n = lim 2 3 n3 − 2n 2 + n 3 n3 − 2n 2 + n 2 ( ) 2 ) ( = lim ) ( ( 3 n − 4n + 4n + n n − 2n + n 6 BT. ĐS> 11 5 2 3 2 ) ) −2 n 2 3 ( 2 −2 = lim 3 1− 6 4 4 3 2 + 4 + 1− +1 n n n =− 2 3 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp c) lim n ( Toán 11 4n 2 + 1 − 2n + 1 d ) lim n (n −1− n) ) n − 1 − n = lim n 2 + 2n − n n −1 + n ( = lim 4n2 + 1 − (2n − 1) ( n = − lim n 2 + 2n − n )( 1 n 1 − + 1 n )( =− 4n2 + 1 + (2n − 1) n 2 + 2n + n )( 1 2 )( n2 + 2n + n 4n 2 + 1 − (2n − 1) ) ) 2 2 1 + + 1 4n n + 2n + n n 4 = lim = lim = =1 1 1 4 2n 4n2 + 1 + (2n − 1) 4+ 2 +2− n n ( ( ) 2 ) Bài 1.12. Tính các giới hạn sau: d) ) b) lim 2.3n − 5.4 n c) lim d) lim 2.3n − n + 2 a) +∞ ; c) lim ( a) lim 3n 4 − 10n + 12 ( n2 − n + n ) HD Giải b) −∞ 1 n 2 − n + n = lim n 1 − + 1 = +∞ n ) ( 2.3n − n + 2 = lim 2 − ( 3) n 2− n 2 n 2 + n với mọi n. Vì lim n = 0; lim n = 0 nên n 3 3 3 3 n 2 + = 2 > 0 . Ngoài ra lim 3n 3n ( 3) n = +∞ Do đó lim 2.3n − n + 2 = +∞ Bài 1.13. Tính các giới hạn sau: 2 a) lim n2 − n +1 b) lim(− n2 + n n + 1) 1 2 3 n −1 d) lim 2 + 2 + 2 + ... + 2 n +1 n +1 n +1 n +1 HD Giải 1 2 1+ − 2 3 2 2 n +n −2 n n = +∞ a) lim n2 − = lim = lim 1 1 n +1 n +1 + n 2 n3 1 1 b) lim(− n2 + n n + 1) = lim(−n 2 ) 1 − + 2 = −∞ n n c) lim n 1 + 2 + 3 + ... + n n2 + n + 1 n(n + 1) n 1 + 2 + 3 + ... + n = lim 2 2 = lim c) lim n2 + n + 1 n + n +1 1+ n BT. ĐS> 11 1 n 1 1 2 1 + + 2 n n 7 = 2 2 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 2 3 n −1 1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) n(n − 1) 1 d) lim 2 + 2 + 2 + ... + 2 = lim 2 = = lim 2 n +1 n +1 2n + 2 2 n +1 n +1 n +1 Bài 1.14. Tìm các giới hạn sau 2 n +1 − 3.5n + 3 2 n +1 − 3n + 11 a) lim 3.2 n − 5n +1 + 10 b) lim c) lim 3.2 n + 7.4 n 3n + 2 + 2 n + 3 − 4 ( ) 3n + 2n +1 f) lim 3.4 n − n + 2 n +1 5+3 HD Giải n 2 1 a) lim 3.2 n − 5n +1 + 10 = lim 5n 3. − 5 + 10. n 5 5 2 n 1 n Ta có lim 5 = +∞ , lim 3. − 5 + 10. n = −5 < 0 . Do vậy lim 3.2 n − 5n +1 + 10 = −∞ 5 5 d) lim 13.3n − 5n 3.2n + 5.4 n ( e) lim ) ( ) n 2 3 2. − 3 + n n +1 n 2 − 3.5 + 3 5 5 b) lim = lim n n n n 3.2 + 7.4 2 4 3. + 7.2. 5 5 n n n 2 n 2 n 4 2 4 3 Ta có lim 2. − 3 + n = −3 < 0 ; lim 3. + 7.2. = 0 và 3. + 7.2. > 0, ∀n 5 5 5 5 5 5 2 n +1 − 3.5n + 3 Vậy lim = −∞ 3.2 n + 7.4 n 2 n +1 − 3n + 11 1 c) Chia tử và mẫu cho 3n, ta được lim n + 2 =− n +3 9 3 +2 −4 n 13.3n − 5n 0 d) Chia tử và mẫu cho 4n, và lưu ý lim n = 0 nếu q < 1 . Vậy lim = =0 q 3.2n + 5.4 n 5 e) Xét un = Vậy lim 3n + 2 n +1 3n + 2 n +1 1 n , chia tử và mẫu cho 3 , khi đó lim = 5 + 3n +1 5 + 3n +1 3 3n + 2n +1 3 = n +1 3 5+3 n 2 f) lim 3.4 n − n + 2 = lim 2 n 3 − n + n 4 4 Ta có lim 2 n = +∞ , lim 3 − n 2 + = 3 > 0 . Do vậy lim 3.4 n − n + 2 = +∞ 4n 4n Bài 1.15. Tính các giới hạn 1 1 1 1 a) lim + + + ... + n(n + 1) 1.2 2.3 3.4 2.12 + 3.2 2 + ... + (n + 1)n2 c) lim n4 BT. ĐS> 11 1 1 1 1 b) lim + + + ... + (2n − 1)(2n + 1) 1.3 3.5 5.7 1 1 1 d) lim + + ... + 3 n3 + 2 n3 + n n +1 HD Giải 8 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 1 1 1 n 1 a) lim + + + ... + = lim 1 − = lim =1 n(n + 1) n +1 1.2 2.3 3.4 n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b) Ta có + + + ... + = 1 − + − + ... + − = 1 − 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) 2 3 3 5 2n − 1 2n + 1 2 2n + 1 1 1 1 1 1 Nên lim + + + ... + = (2n − 1)(2n + 1) 2 1.3 3.5 5.7 2.12 + 3.22 + ... + (n + 1)n2 13 + 23 + 33 + ... + n3 + 12 + 22 + 32 + ...n 2 c) lim = lim n4 n4 2 2 n(n + 1) n(n + 1)(2 n + 1) 1 2 3 1 1+ + 2+ 3 2 + 6 n n n n =1 = lim = lim + 4 4 6 4 n 1 1 d) Vì ≤ với mọi k ∈ ℕ* 3 3 n +k n +1 1 1 1 n 1 + + ... + ≤ < Do đó 0 < n n3 + 1 n3 + 2 n3 + n n3 + 1 1 1 1 1 Mà lim = 0 nên suy ra lim + + ... + = 0 3 3 3 n n +2 n +n n +1 Bài 1.16. Tìm các giới hạn của dãy số (un) sau, biết 1 1 1 1 1 1 a) un = + + ... + b) un = + + ... + 1 2 n n2 + 1 n2 + 2 n2 + n 1 1 1 3sin n + 4 cos n c) un = + + ... + d) un = n +1 n+ 1 n+ 2 n+ n HD Giải 1 1 1 1 1 1 a) Ta có + + ... + ≤ un ≤ + + ... + , ∀n ∈ ℕ* 2 2 2 2 2 2 n +n n +n n +n n +1 n +1 n +1 n n n n Do đó: ≤ un ≤ . Mà lim = 1 = lim n2 + n n2 + 1 n2 + n n2 + 1 1 1 1 Vậy lim un = lim + + ... + = 1 2 n2 + 2 n2 + n n +1 1 1 1 n b) Ta có un ≥ + + ... + = = n , ∀n ∈ ℕ* n n n n 1 1 1 Mà lim n = +∞ . Vậy lim un = lim + + ... + = +∞ 2 n 1 1 1 1 1 1 1 c) Ta có + + ... + ≤ un ≤ + + ... + , ∀n ∈ ℕ* n+ n n+ n n+ n n+ 1 n+ 1 n+ 1 n n n n Do đó ≤ un ≤ . Mà lim = 1 = lim n +1 n +1 n+ n n+ n 1 1 1 + + ... + Vậy lim un = lim =1 n+ n n+ 1 n+ 2 3sin n + 4 cos n 5 5 d) Ta có ≤ , ∀n ∈ ℕ* . Mà lim = 0. n +1 n +1 n +1 BT. ĐS> 11 9 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Vậy lim un = lim Toán 11 3sin n + 4 cos n =0 n +1 Bài 1.17. Tính tổng S = 2 − 2 + 1 − 1 2 + 1 − ... 2 HD Giải Dãy số vô hạn 2, − 2,1, − Vì q = − 1 2 = 1 2 1 1 2 1 , ,... là một cấp số nhân với công bội q = − =− 2 2 2 2 < 1 nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn. Do đó S = 2 − 2 + 1 − 1 2 + 1 − ... = 2 2 1+ = 1 2 2 2 2 +1 1 1 (−1)n Bài 1.18. Tính tổng S = −1 + − 2 + ... + n −1 + ... 10 10 10 HD Giải n 1 1 (−1) 1 Dãy số −1, , − 2 ,..., n −1 ,... là một cấp số nhân với công bội q = − 10 10 10 10 1 1 Vì q = − = < 1 nên dãy số này là một cấp số nhân lùi vô hạn. 10 10 Do đó S = −1 + 1 1 (−1)n − 2 + ... + n −1 + ... = 10 10 10 Bài 1.19. Tìm tổng cấp số nhân −1 10 =− 11 1 1− − 10 1 1 1 1 , 2 , 3 ,..., n ,... 2 2 2 2 HD Giải 1 1 1 1 1 1 , 2 , 3 ,..., n ,... là một cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = , q = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Do đó S = + 2 + 3 + ... + n + ... = 2 = 1 1 2 2 2 2 1− 2 Bài 1.20. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777…dưới dạng một phân số. HD Giải 7 7 7 Ta có 0, 777... = + 2 + 3 + ... 10 10 10 7 1 Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = , q = 10 10 7 7 7 7 7 Do đo 0,777... = + 2 + 3 + ... = 10 = 7 9 10 10 10 1− 10 Bài 1.21. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,313131…dưới dạng một phân số. HD Giải Dãy số BT. ĐS> 11 10 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 2 31 31 1 31 1 31 0,313131... = + . + . . + ... = 100 100 100 100 100 100 1 = 31 99 1 100 Bài 1.22. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202… (chu kì là 02), b = 2,131313 …(chu kì 13) và c = 2,131131131…( chu kì 131). Hãy viết a, b, c dưới dạng một phân số. HD Giải 2 2 2 2 2 101 Ta có a = 1,020202... = 1 + + + ... + + ... = 1 + 100 = 1 + = 2 n 1 100 100 99 99 100 1− 100 2 2 2 1 (vì , ,... ,... là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội q = ) 2 n 100 100 100 100 13 13 13 13 13 211 Ta có b = 2,131313... = 2 + + + ... + + ... = 2 + 100 = 2 + = 2 n 1 100 100 99 99 100 1− 100 131 131 131 131 131 2129 Ta có c = 2,131131131... = 2 + + + ... + + ... = 2 + 1000 = 2 + = 2 n 1 1000 1000 999 999 1000 1− 1000 Bài 1.23. 5 39 a) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là , tổng ba số hạng đầu tiên của nó là . 3 25 Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó. 2 b) Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 3 HD Giải a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có u1 5 = (1) 1 − q 3 3 39 u1 1 − q 1 − q = 25 (2) ( Thay (1) vào (2), ta được 1− ) 5 39 2 1 − q3 = ⇔ q = thay vào (1), ta được u1 = 1 3 25 5 ( ) n −1 2 b) un = 3 Bài 1.24. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 3 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là và số hạng đầu là một số dương. 4 HD Giải Gọi u1 là số hạng đầu, q là công bội và S là tổng của cấp số nhân đã cho. BT. ĐS> 11 11 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Khi đó S = Toán 11 u1 = 12 1 − q 3 u1 (1 − q ) = 4 u1 > 0 u1 . Theo giả thiết, ta có 1− q (1) (2) . u12 = 9 3 3 Nhân (1) với (2), ta có ⇔ u1 = 3 ⇒ q = . Vậy u1 = 3; q = 4 4 u1 > 0 Bài 1.25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là 12 và 5 tổng cấp số nhân này là 15. HD Giải Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có 12 4 1 u1q = 5 q = q = ⇔ 5 5 hoặc u 1 u = 3 = 15 u1 = 12 1 1 − q Bài 1.26. a) Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 10, tổng năm số hạng đầu tiên của nó là 155 . 16 Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó. 1 b) Tính tổng S = 9 + 3 + 1 + ... + n −3 + ... 3 HD Giải a) Gọi u1 và q là số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Theo đề bài, ta có u1 = 10 (1) 1 − q 5 155 u1 1 − q (2) 1 − q = 16 ( ) 155 1 ⇔ q = thay vào (1), ta được u1 = 5 16 2 1 1 b) Vì 9,3,1,..., n −3 ,... là cấp số nhân lùi vô hạn, có q = và u1 = 9 nên : 3 3 1 9 27 S = 9 + 3 + 1 + ... + n −3 + ... = = 1 2 3 1− 3 1 7 Bài 1.27. Giải phương trình + x + x 2 + ... + x n + ... = , trong đó x < 1 . x 2 HD Giải u x Vì x < 1 , nên với u1 = 1, q = x . Ta có S = 1 = x + x 2 + ... + x n + ... = 1− q 1− x Thay (1) vào (2), ta được 10(1 − q5 ) = BT. ĐS> 11 12 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 1 x= 1 1 1 x 7 x − x +1 7 3 Do đó: + x + x 2 + ... + x n + ... = + S ⇔ + = ⇔ = ⇒ x x x 1− x 2 x (1 − x ) 2 x = 2 3 u = 2 Bài 1.28. Cho dãy số (un) xác định bởi 1 . Biết (un) có giới hạn khi n → +∞ , hãy tìm u = 2 + u ; n ≥ 1 n +1 n giới hạn đó. HD Giải a = −1 Đặt limun = a. Ta có un +1 = 2 + un ⇒ lim un+1 = lim 2 + un ⇒ a = 2 + a ⇒ a2 − a − 2 = 0 ⇒ a = 2 2 Vì un > 0 nên lim un = a ≥ 0 . Vậy limun = 2. 1 u1 = 2 Bài 1.29. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi un +1 = 1 ; n ≥ 1 2 − un Dãy số (un) có giới hạn hay không khi n → +∞ ? Nếu có, hãy tìm giới hạn đó. HD Giải 1 2 3 4 n Ta có u1 = ; u2 = ; u3 = ; u4 = . Từ đó ta dự đoán un = (1) 2 3 4 5 n +1 Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp: 1 1 - n = 1, ta có u1 = = (đúng) 1+1 2 k - Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ( k ≥ 1 ), nghĩa là uk = . Khi đó ta có k +1 1 1 k +1 uk +1 = = = , nghĩa là đẳng thức (1) cũng đúng với n = k + 1. k 2 − uk k+2 2− k +1 n n 1 - Vậy un = , ∀n ∈ ℕ* . Từ đó ta có lim un = lim = lim =1 1 n +1 n +1 1+ n u1 = 2 Bài 1.30. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi un + 1 ;n ≥ 1 un +1 = 2 Chứng minh rằng (un) có giới hạn hữu hạn khi n → +∞ . Tìm giới hạn đó. HD Giải 3 5 9 17 2 n −1 + 1 Ta có u1 = 2; u2 = ; u3 = ; u4 = ; u5 = . Từ đó dự đoán un = n −1 ;∀n ∈ ℕ* 2 4 8 16 2 Chứng minh dự đoán trên bằng qui nạp (tự chứng minh) n 1 n −1 1 2 n −1 + 1 Từ đó, lim un = lim un = n −1 = lim 1 + = lim 1 + 2. = 1 2 2 2 u1 = 1 Bài 1.31. Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy hồi 2un + 3 un +1 = u + 2 ; n ≥ 1 n BT. ĐS> 11 13 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 a) Chứng minh rằng un > 0 với mọi n b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. HD Giải a) Chứng minh bằng quy nạp: un > 0 với mọi n. (1) - Với n =1, ta có u1 = 1 > 0 - Giả sử (1) đúng với n = k ( k ≥ 1 ), nghĩa là uk > 0, ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n = k + 1. Ta 2u + 3 2u + 3 có uk +1 = k . Vì uk > 0 nên uk +1 = k >0 uk + 2 uk + 2 Vậy: un > 0 với mọi n. 2u + 3 2u + 3 2a + 3 Đặt limun = a. Ta có un +1 = n ⇒ lim un +1 = lim n ⇒a= ⇒a=± 3 un + 2 un + 2 a+2 Vì un > 0 với mọi n, nên lim un = a ≥ 0 . Từ đó suy ra lim un = 3 u1 = −5 Bài 1.32. Cho dãy số (un) xác định bởi 2un −6 un +1 = 3 Gọi (vn) là một dãy số xác định bởi vn = un + 18 a) Chứng minh rằng (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn b) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (vn) và tìm lim un HD Giải 2 2 a) Ta có vn +1 = un+1 + 18 = un − 6 + 18 = un + 12 3 3 Thay un = vn – 18 vào đẳng thức trên, ta được: 2 2 vn +1 = ( vn − 18) + 12 = vn . 3 3 Điều này chứng tỏ, dãy số (vn) là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = b) Gọi S là tổng CSN lùi vô hạn (vn). Khi đó S = 2 3 v1 13 = = 39 2 1− q 1− 3 Vì lim vn = 0 nên lim un = −18 C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.33. Tính các giới hạn sau sin 3n (−1)n a) lim 2 + b) lim − 1 n + 2 4 n Bài 1.34. Tìm limun với n2 − 3n + 5 −2 n 2 + n + 2 b) u = n 2n 2 − 1 3n 4 + 5 Bài 1.35. Tính các giới hạn sau: n4 − 40n3 + 15n − 7 a) lim n 4 + n + 100 n −1 c) lim n a) un = c) lim 6n 4 + n + 1 2n + 1 BT. ĐS> 11 c) un = 2n 2 − n 1 − 3n2 b) lim 2n3 + 35n2 − 10n + 3 5n5 − n3 + 2n d) lim 3.2 n − 8.7n 4.3n + 5.7n 14 n+2 d) lim n +1 d) un = 4n 2.3n + 4 n Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp e) lim Toán 11 ( 3 (2 2 n +1 3.2 n − 3n −2 n n −1 +4 ) ) Bài 1.36. Tính các giới hạn sau (−3)n + 2.5n a) lim 1 − 5n c) lim ( n 2 + 2n + 1 − n 2 + n − 1 f) lim b) lim ) d) lim ( 2 n 3n −1 − 5.2 n ( 3n −1 2 n + 4 ) ) 1 + 2 + 3 + ... + n n2 + n + 1 1 n + 2 − n +1 8 −3 2 − 33n + 5 e) lim 3n + 4 2 n +3 f) lim 3n + 4 4 +5 4 + 72 n + 3 Bài 1.37. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số a) 0,444… b) 0,212121… c) 0,32111111… d) 0,51111… e) 0,393939… f) 0,27323232… Bài 1.38. 2 n +3 3n +2 6 n +3 1 1 1 1 a) Tìm tổng cấp số nhân 1, − , , − ,..., − 2 4 8 2 n −1 ,... b) Tính tổng S = 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)3 + ... + (0,9)n −1 + ... Bài 1.39. Cho dãy số (un) xác định bởi un = 3n + 2 n +1 1 1000 b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy số (un) đều nằm trong khoảng (2,999; 3,001) a) Tìm số n sao cho un − 3 < BT. ĐS> 11 15 Chương IV. Giới hạn GV. Lư Sĩ Pháp Toán 11 §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Giới hạn hữu hạn − Cho khoảng K, x0 ∈ K và hàm số f ( x ) xác định trên K (hoặc K \ { x0 } ). lim f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì, xn ∈ K \ { x0 } và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = L x → x0 n →+∞ − Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( x0 ; b ) . lim+ f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì, x → x0 x0 < x n < b và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = L n →+∞ − Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( a; x0 ) . lim− f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì, x → x0 a < xn < x0 và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = L n →+∞ − Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( a; +∞ ) . lim f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì, x →+∞ xn > a và xn → +∞ thì lim f ( xn ) = L . n →+∞ − Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( −∞; a ) . lim f ( x ) = L khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì, x →−∞ xn < a và xn → −∞ thì lim f ( xn ) = L . n →+∞ 2. Giới hạn vô cực − Cho hàm số f ( x ) xác định trên khoảng ( −∞; a ) . lim f ( x ) = −∞ khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất x →+∞ kì, xn > a và xn → +∞ thì lim f ( xn ) = −∞ . n →+∞ − Cho khoảng K, x0 ∈ K và hàm số f ( x ) xác định trên K (hoặc K \ { x0 } ). lim f ( x ) = +∞ khi và chỉ khi với dãy số ( xn ) bất kì, xn ∈ K \ { x0 } và xn → x 0 thì lim f ( xn ) = +∞ x → x0 n →+∞ − lim f ( x ) = +∞ ⇔ lim − f ( x ) = −∞ x →+∞ x →+∞ 3. Định lí vể giới hạn hữu hạn Định lí 1. Giả sử lim f ( x ) = L và lim g( x ) = M . Khi đó x → x0 x → x0 a) lim f ( x ) ± g( x ) = L ± M x → x0 b) lim k . f ( x ) = k. lim f ( x ) = k .L;(k ∈ ℝ) x → x0 x → x0 c) lim f ( x ).g( x ) = L.M x → x0 d) lim x → x0 lim f ( x ) f ( x ) x → x0 L = = (nếu M ≠ 0, lim g( x ) ≠ 0 ) x → x0 g( x ) lim g( x ) M x → x0 e) Nếu f ( x ) ≥ 0 và lim f ( x ) = L thì L ≥ 0 và lim x → x0 x → x0 f (x) = L Các tính chất trên vẫn đúng khi x → +∞ hoặc x → −∞ Định lí 2. (Định lí giới hạn một bên) lim f ( x ) = L khi và chỉ khi lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L x → x0 x → x0 x → x0 4. Các giới hạn đặc biệt BT. ĐS> 11 16 Chương IV. Giới hạn Tải về bản full