Bài Tập Về Phép Toán 2 Ngôi - 123doc

Nội dung

Bài tập về phép toán 2 ngôi

Hà Văn TùngBài 1: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i): x * y = x + y +xy, với x ,y ∈ ℝ(ii) m ⊗ n = m + 2n, với m , n ∈ ℕa) Tìm - 3 * 4; 0 ⊗ n; 3 ⊗ 4.b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính.B ài làm a) * : R * R → R (x,y) x * y = x + y + xyTương ứng * là một ánh xạ vì:∀ x, y ∈ ℝ ta có x + y + xy = x * y ∈ ℝ . Nên * là một phép toán hai ngôi trên ℝ.Ta có : - 3 * 4 = -3 + 4 + (-3.4) = -11b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt.- Tính giao hoán: ∀ x, y ∈ ℝ , ta có:x * y = x + y + xy → x* y = y *x y * x = y + x + yx Nên phép tính * có tính chất giao hoán.- Tính kết hợp: ∀ x, y , z ∈ ℝ , ta có: ( x * y) * z = ( x* y) + z + (x*y).z = x+ y +x.y + z + (x+y+x.y).z = x+y+z+x.y+ xz+yz+xyz (1) x * (y * z) = x+(y*z) + x.(y*z) = x + y + z + y.z + x( y+z+y.z) = x+y+z+xy+yz+xz+xyz (2)Từ (1) (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp- Tìm phần tử trung lập:Tồn tại phần tử trung lập 0 vì ∀ x ∈ ℝ. Ta có 0 * x = x* 0= x + 0 +x.0 = x- Tìm phần tử đối xứng: Với ∀ x, y ∈ R\ -1 có phần tử đối xứng là x' = - Vì x* x' = x' * x = ( - ) * x = - + x + ( - ).x = =0(ii) a) m ⊗ n = m + 2n, với m , n ∈ ℕ. ⊗ : N x N → N (m,n) m ⊗ n = m + 2nTương ứng ⊗ là một ánh xạ vì: ∀ m , n ∈ ℕ ⇒ m + 2n ∈ ℕT a có 0 ⊗ n = 0 + 2n = 2n, 3 ⊗ 4 = 3 + 4.2 = 11• Xét các phần tử đặc biệt- Tính giao hoán:∀ x, y ∈ ℕ , ta có:Trang 1 Hà Văn Tùngx ⊗ y = x + 2y → x ⊗ y ≠ y ⊗ x y ⊗ x = y + 2x Nên ⊗ không có tính giao hoán.Ví dụ: 1, 2 ∈ ℕ1 ⊗ 2 = 1 + 4 = 52 ⊗ 1 = 2 + 2.1 = 4⇒ 5 ≠ 4- Tính chất hợp: ∀ x, y , z ∈ , ℕ ta có: ( x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y + 2z = x + 2y + 2z (1) x ⊗ (y ⊗ z) = x +2( y ⊗ z) = x +2( y + 2z) = x + 2y + 4z (2)Từ (1) (2) suy ra phép toán ⊗ không có tính chất kết hợp.- Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập là 0Vì m ⊗ 0 = ⊗ m + 2.0 = m ( m ∈ ) ℕ∀m ∈ ℕ ∃ m' ∈ ℕ m ⊗ m' = 0 ⇒ phép toán ⊗ không có phần tử trung lậpBài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i) a * b = , với a, b ∈ ℚ(ii) a ⊕ b = a + b - ab với a, b ∈ A \ 1a) Tìm − 4 * 5; 3 ⊕ ; 5 ⊕ .b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó.Bài làmBài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi:(i) a * b = , với a, b ∈ ℚ * Q x Q → Q là một ánh xạ vì a, b ∈ ℚ ⇒ ∈ ℚNên tương ứng (*) là phép toán hai ngôi trên . ℚ Tính − 4 * 5 = = - Tính chất giao hoán: ∀ x,y ∈ ℚ ta có: x * y = và y*x= suy ra x*y=y*x nên phép toán * có tính chất giao hoán.- Tính chất kết hợp: ∀ x,y, z ∈ ℚ ta có: (x*y)*z= = = (1) x *(y*z) = = = (2)Từ (1), (2) suy ra phép toán * không có tính chất kết hợp Phép toán * không có phần tử trung lập. Do đó ∀ x ∈ ℚđều không có phần tử đối xứng đối với phép toán *.(ii) a ⊕ b = a + b – ab với a, b ∈ ℚ ℚ ⊕ ℚ → ℚ ( a, b ) ( a + b – ab ∀ a, b ∈ ℚ a/ Tính 3 ⊕ = 3 + - 3 . = Trang 2 Hà Văn Tùng5 ⊕ = 5 + - 5 . = 3 b/ Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó• Tính chất giao hoán: ∀ x, y ∈ , ℚ ta có: x ⊕ y = x + y - xy x ⊕ y = y ⊕ x y ⊕ x = y + x - yx Phép toán ⊕ có tính giao hoán• Tính chất kết hợp : ∀ x, y, z ∈ , ℚ ta có: (x ⊕ y ) ⊕z = x y + z - ⊕ (x y ).z⊕ = x + y - xy + z - (x + y - xy).z = x + y - xy + z - xz - yz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (1) x (⊕ y ⊕z ) = x + ((y ⊕z ) - x.(y ⊕z ) = x + y + z - yz - x(y + z - yz) = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (2) Từ (1),(2) ⇒ ⊕có tính chất kết hợp• Phần tử trung lập là 0 Vì a ⊕0 = a + 0 - a.0 = a ∈ , ℚ ∀ a ∈ thì ℚ ∃ a' ∈ ℚ : a + a' = 0 Bài 3: Xét các quy tắc sau có phải là phép toán hai ngôi hay không? Hãy xác định các tính chất giao hoán, kết hợp và các phần tử đặc biệt.a) a * b = , với ∀ a,b ∈ ℤb) a * b = ∀ a,b ∈ ℝc) a * b = ∀ a,b ∈ ℚ*d) a * b = ∀ a,b ∈ ℝe) a * b = a + b + 1 ∀ a,b ∈ ℚGiảiBài 3: Câu a) a * b = ∀ a , b ∈ ℤ*: Z x Z → Z (a,b) a*b = ∃ 4, - 6 ∈ ℤ, ta có: 4 * (-6) = = ∉ ℤ ⇒ Nên * không là một ánh xạ.Vậy * không là phép toán hai ngôi.Câu b) a * b = ∀ a,b ∈ℝ R x R → R(a,b) ( a*b= ∀ a,b ∈ℝ∀ a, b ∈ R ta có: = a + b ∈ ℝ ⇒ Nên * là một ánh xạ.- Tính chất giao hoán:∀ x , y ∈ ℝ, ta có: x * y = và y * x = suy ra x * y = y * xNên phép toán * có tính chất giao hoán.- Tính chất kết hợp :∀ x , y, z ∈ ℝ, ta có: (x*y)*z = +z = + z = (1) x*(y*z) = = = (2)Từ(1) và (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp.- Tìm phần tử trung lập :Trang 3 Hà Văn Tùng Tồn tại phần tử trung lập là 0 vì với ∀ x ∈ ℝ , ta có: 0 * x = x * 0 = = x. - Tìm phần tử đối xứng: x * x′ = x′ * x = 0 ⇔ = 0* Với ∀ x ≠ 0 không tồn tại phần tử đối xứng của x đối với phép toán ** Khi x = 0 phần tử của x là 0.Câu c) a * b = ∀ a,b ∈ ℚ* *: Q ∗ Q → Q* (a,b) ∈ ℚ* Tương ứng * là một ánh xạ vì với ∀a,b ∈ ℚ* thì ∈ ℚ*Nên tương ứng phép toán * là phép toán hai ngôi trên ℚ*- Tính giao hoán:∀ x, y ∈ ℚ*, ta có x * y = ⇒ ≠ ⇒ x * y ≠y * xy * x = Vậy phép toán * không có tính giao hoán. Ví dụ: ∃ , ∈ ℚ* mà * = = ≠ ⇒ không có tính chất g/hoán * = = : = - Tính chất kết hợp: ∀ x, y , z ∈ ℚ*, ta có (x*y)*z = ∃ 2, 3 , 1 ∈ ℚ* , ta có (2*3)*1= = = (1) 2*(3*1) = = = (2)Từ (1)(2) suy ra * không có tính chất kết hợp. - Tìm phần tử trung lập d/ a * b = ∀ a,b ∈ ℝ ℝ ∗ ℝ → ℝ( a, b) a * b = ∀ a,b ∈ ℝTa có: ∀ a,b ∈ ℝ Nên ∗ là một ánh xạ• Tính giao hoán: ∀ x , y ∈ ℝ ta có: x ∗ y = x ∗ y = y ∗ x y ∗ x = Vậy phép toán * không có tính giao hoán.• Tính chất kết hợp: Trang 4 Hà Văn Tùng∀ x , y, z ∈ ℝ ta có: (x ∗ y )∗ z = = = = (1) x ∗ (y ∗ z ) = = = = (2) Từ (1),(2) ⇒ ∗ không có tính kết hợp. Bài 4: Cho phép ⊕ trên ℝ x ℝ được xác định như sau ∀ (a,b) , (c, d) ∈ ℝ x ℝ , (a,b) ⊕ (c, d) = (a + c + 1975, b x d) Tìm phần tử trung lập, phần tử đối xứng (nếu có) của phép ⊕Bài làm∀ (a,b) , (c, d) ∈ ℝ x ℝ , (a,b) ⊕ (c, d) = (a + c + 1975, b x d) Ta có ( - 1975,1) là phần tử trung lập của phép toán ⊕ trên ℝ x ℝ vì∀ (x, y) ∈ ℝ x ℝ ta có: (x, y) ∗ (- 1975, 1) = x - ( -1975 + x + 1975, y x 1) = (x,y)(-1975, 1) ⊕ (x, y) = (- 1975+x+1975, 1 x y) = (x,y)(x', y') đối xứng của (x,y) (x', y') ⊕ (x,y) = (- 1975, 1) ⇒ ( x' + x + 1975, y' x y) = (- 1975, 1) ⇒ ⇒ ∀ (a, b) ∈ ℝ x ℝ ta có: (-3950-a, ) là phần tử đối xứng của (a, b) qua ⊕ trên ℝ x ℝ vì (a, b) ⊕ (-3950-a, ) = a +(-3950-a+1975, b x ) = (-1975,1) Bài 1. Trên tập ℕ ta định nghĩa m ⊗ n = m + n - 1 , ∀ m, n ∈ ℕ a) Tìm 2 ⊗ 1; 3 ⊗ 5 ; 1 ⊗ 4 b) Chứng minh rằng ( ℕ , ⊗) là một vị nhóm AbelBài làma) Tìm 2 ⊗ 1; 3 ⊗ 5 ; 1 ⊗ 4+ 2 ⊗ 1= 2+1 - 1 =2 b) Chứng minh rằng ( , ⊗) là một nhóm Abel- Tính giao hoán: ∀ x, y ∈ ℕ , ta có: x ⊗y = x+y-1 ⇒ x ⊗ y=y ⊗ x . Nên phép toán ⊗ có tính chất giao hoán. Trang 5 Hà Văn Tùngy ⊗ x = y+x-1- Tính chất kết hợp:∀ x, y , z ∈ ℕ , ta có: (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y+z -1 = x+y-1+z-1=x+y+z-2(1)x ⊗ (y ⊗ z) = x+y ⊗ z - 1 = x+ y+z -1 -1 = x+y+z-2(2)Từ (1),(2) suy ra phép toán ⊗ có tính chất kết hợp. - Tìm phần tử trung lập :Phần tử trung lập cuả phép toán ⊗ là 1. vì ∀ m ∈ ℕ . Ta có1 ⊗ m = m ⊗ 1 = m+ 1-1=mVậy ( ℕ , ⊗) là một vị nhóm Abel.Bài 2. Với a, b ∈ ℤ ta định nghĩa a ⊗ b = a + b -1a) Tìm 0 ⊗ 2; − 1 ⊗ 1; − 3 ⊗ 4; − 4 ⊗ 0.b) Chứng minh rằng( ℤ, ⊗) là một nhóm Abel.Bài làm a ⊗ b = a + b -1 a) 0 ⊗ 2 = 0+2-1=1b) Chứng minh rằng(ℤ , ⊗) là một nhóm Abel.- Tính chất giao hoán:∀ x, y ∈ ℤ , ta có: x ⊗y = x+y-1 ⇒ x ⊗ y=y ⊗ x . Nên phép toán ⊗ có tính chất giao hoán. y ⊗ x = y+x-1- Tính chất kết hợp:∀ x, y , z ∈ ℤ , ta có: (x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y + z - 1 = x+y - 1+ z - 1=x + y + z - 2 (1)x ⊗ (y ⊗ z) = x+ y ⊗ z - 1 = x+ y + z - 1 - 1 = x + y + z - 2 (2)Từ (1),(2) suy ra phép toán ⊗ có tính chất kết hợp. - Tìm phần tử trung lập :Phần tử trung lập cuả phép toán ⊗ là 1. vì ∀ m ∈ ℤ . Ta có1 ⊗ m = m ⊗ 1 = m+ 1- 1= m- Tìm phần tử đối xứng:∀ x ∈ ℤ, phần tử đối xứng của ∀ x ∈ ℤ đối với phép toán ⊗ là x′: x′ ⊗ x =1 ⇔ x′ + x - 1 = 1 ⇔ x′ = x - 2 ∈ Z. Vì x′ ⊗ x = x ⊗ x′ = x′ +x - 1 = 2 – x + x - 1=1./. Bài 3: Gọi ( Z , ⊕ ) là nhóm cộng các lớp đồng dư theo mdul 4. Ta định nghĩa ánh xạ f : Z → Z n a) Chứng minh rằng f là toàn cấu nhóm cộng các số nguyên lên nhóm Z b) Tìm f( ), từ đó suy ra f là không phải là đẳng cấu nhóm. Giảia) f là đồng cấu nhóm cộng⊕: là một đồng cấu∀ x, y ∈ ℤ , ta có: Trang 6 Hà Văn Tùng f (x+y) = f ( x) +f (y) = + = suy ra f (x+y) = f (x) +f (y) (1)⇒ ⊕ f là toàn ánh Imf = f(x)/ x ∈ ℤ = / x ∈ ℤ = , , , = Z ⇒ f là 1 toàn ánh (2)Từ (1),(2) suy ra f là toàn cấu nhóm cộng b) f( ) = x / f(x) = , x ∈ ℤ = x / x = , x ∈ℤ = 4 k / k ∈ ℤ = 4k ≠ 0 ⇒ f không là đơn ánh nên f không là song ánh.Vậy f không là một đồng cấu nhóm Bài 4: Cho X là nhóm nhân giao hoána) Chứng minh ánh xạf : X → X a f(a) = a , với k xác định thuộc ℤlà đồng cấu nhómb) Xác định Ker f .Giảia) ∀ x , y ∈ ℤ, ta có: f (x,y) = (xy) = = . = x . y = f(x).f(y) (vì phép nhân trên X có tính giao hoán )Vậy f đồng cấu nhómb) Xác định Ker f Ker f = a ∈ X / f(x) = 1 = a ∈ X / a = 1 = x ∈ ℤ / k = 0Bài 5: Ta định nghĩa ánh xạf : N → N a 5na) Chứng minh rằng f là tự đồng cấu vị nhóm cộng (ℕ, +).b) Tìm f(ℕ) c) Tìm f (0)Giải a) f : N → N a 5nf là đồng cấu nhóm cộng ( ℕ,+) ∀ (x,y) ∈ℕ , ta có : f(x+y) = 5(x+y) (1) f(x) + f(y) = 5x + 5y = 5(x+y) (2) từ (1), (2) ⇒ f(x+y) = f(x) + f(y) ⇒ f là tự đồng cấu nhóm cộng (ℕ,+) b) f(ℕ) = f(n) / n ∈ ℕ = 5 / n ∈ ℕ = 5ℕTrang 7 Hà Văn Tùng c) f (0) = n ∈ ℕ / f(n) = 0 = n ∈ℕ / 5n = 0 = 0 Bài 6: Cho tập hợp A = a + b / a,b ∈ℤ a) Chứng minh rằng (A,+) là nhóm con của nhóm cộng các số thực (ℝ, +) với phép cộng thông thường trên các số.b) Cho ánh xạ f từ nhóm (A,+) vào nhóm (ℝ,+) f : A → R x x Hãy chứng tỏ f là đơn cấu; f không là toàn cấu.Giảia) (A,+) là nhóm con nhóm cộng (ℝ,+)• 0 = 0 + 0 = 0 ∈ A ∀ x, y ∈ A , giả sử x = a +b , y = a + b ( với a , b , a , b ∈ ℤ) ⇒ x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) ∈ A – x = – ( a +b ) = (– a ) + (–b ) ∈ AVậy (A,+) ≤ (ℝ.+)b) f (A,+) → (ℝ,+) x f(x)=x a + b f(a+b ) = a + b • Chứng minh f là đơn cấu ∀ x, y ∈ A, giả sử x = a + b và y = a + b x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) ⇒ f(x+y) = ( a + a ) + (b + b ) (1)f(x) + f(y) = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) (2) Từ (1), (2) ⇒ f(x+y) = f(x) + f(y) Vậy f là đơn cấu nhóm.• Chứng minh f là một đơn ánh Ker f = x ∈ A\ f(x) = 0 = a+b \ f(a+ b ) =0 a , b ∈ A = a+b \ a+ b = 0 a , b ∈ A = 0 + 0 = 0 ⇒ f là một đơn ánh • Chứng minh f không là toàn cấu Imf = f(x) \ x ∈ A = x \ x ∈ A = A ≠ ℝVậy f không là toàn cấu. Bài 7: Cho tập hợp X = a + b \ a , b ∈ ℤ a) Chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực ℝ.b) Cho ánh xạ f: X → Z a + b a + bChứng minh f là toàn cấu từ nhóm cộng X lên nhóm cộng các số nguyên ℤ.Giảia) Chứng minh ( X, +) ≤ (ℝ, +) Trang 8 Hà Văn Tùng• 0 = 0 + 0 = 0 ∈ A ∀ x, y ∈ X , giả sử x = a +b , y = a + b ( với a , b , a , b ∈ ℤ) ⇒ x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) ∈ A – x = – ( a +b ) = (– a ) + (–b ) ∈ AVậy (X, +) ≤ (ℝ, +)b) Chứng minh f là toàn cấu ∀ x, y ∈ X, giả sử x = a + b và y = a + b Ta chứng minh : f(x+y) = f(x) + f(y)Ta có: x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) ∈ Xf(x) + f(y) = ( a + a ) + (b + b ) = ( a + a ) + (b + b ) (1) f(x+y) = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) = ( a + a ) + (b + b ) (2) Từ (1), (2) ⇒ f là một đồng cấu (I) • Chứng minh f là toàn ánh Imf = f(x) \ x ∈ X = f (a + b ) \ a, b ∈ ℤ = a + b \ a, b ∈ℤ = ℤ ⇒ f là toàn ánh (II) Từ (I), (II) ⇒ f là toàn cấu.Bài 8: Quy tắc f : ℤ → G từ nhóm cộng các số nguyên đến nhóm nhân G( G là nhóm vô hạn) xác định như sau: ∀ n ∈ , f(n) = a , a ∈ G Chứng minh f là đồng cấu nhóm. Tìm Ker f.Giải∀ x, y ∈ ℤta có: f(x+y) = a (1)f(x) + f(y) = a + a = a (2)Từ (1),(2) suy ra f(x) + f(y) = f(x) + f(y) Suy ra f là đồng cấu nhóm.• Tìm Ker fTìm Ker f = x ∈ ℤ/ f(x)=1 (G, .) = x ∈ ℤ/ a = 1 = x ∈ ℤ/ x = 0 = 0CÁC BÀI TẬP VÀNH VÀ TRƯỜNG Bài 1: Tìm các ước của 0 trong các vành Z , Z , Z , Z Bài 2: Cho R là một vành. Chứng minh rằng tập Z(R) = a ∈ R \ ax = xa ∀ x ∈ R là một vành con giao hoán của R. Bài 3: Cho tập hợp X = a+ b \ a, b ∈ ℤ a) Chứng tỏ X là vành con của vành số thực ℤ .b) Cho ánh xạ f : X → Z a + b aTrang 9 Hà Văn TùngChứng minh f là đồng cấu từ nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ; nhưng f không là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ. GiảiBài 1: Tìm các ước của 0 trong các vành Z , Z , Z , Z Z = , , ∀ ∈ Z \ = , . = ≠ 0; . = ≠ 0 = , . = ≠ 0; . = = ≠ 0 Vậy không có ước của 0 trong vành Z Z = , , , ∀ ∈ Z \  = , . = ≠ 0; . = ≠ 0, . = ≠ 0,  = , . = ≠ 0; . = = , . = = ≠ 0 = , . = ≠ 0; . = = ≠ 0, . = = ≠ 0. Vậy là ước của 0 trong vành Z Z , Z làm tương tự như trên.Bài 2: a) Z(R) = a ∈ R \ ax = xa ∀ x ∈ R • Z( R) ∈ R: hiển nhiên • Z( R) ≠ ∅ vì 0.x = x.0 =0 ⇒ 0+Z(R)• ∀ a, b ∈ Z(K) ⇒ (a-b)x=a.x - b.x = x.a - x.b = x(a-b) ⇒ a - b ∈ Z(R) và (ab)x = a(bx) = a(xb) = (a.x)b = (xa)b = x(ab) ⇒ a,b ∈ Z(R)• ∀ a, b ∈ Z (R) ⇒ a.x = x.a , ∀ x ∈ R Lấy x = b , ta có ab = ba nên phép tính nhân trên Z(R) có tính quan hệ Vậy Z(R) là 1 vành con quan hệ của RBài 3: X = a + b \ a, b ∈ ℤ a) X ⊆ R: hiển nhiên ∀ x , y ∈ X, giả sử x = a + b ; y = a + b ( a , a , b , b ∈ ℤ ) Ta có : x + y = a + b + a + b = ( a+ a ) + (b + b ) ∈ X x . y = ( a + b ) .( a + b ) = a . a + (a. b + b . a + 3b .b = a.a + (a.a .b.b ) + 3b b ∈ X thêm x - y ∈ X, x - y = (a - a ) + (b - b ) ∈ XVậy X là vành con của vành số thực ℝc) ∀ x , y ∈ X, giả sử x = a + b ; y = a + b f(x+y) = f( a + b + a + b ) = f(a+a +(b +b ) = a + a (1) f(x) + f(y) = a +a (2). Từ (1),(2) suy ra f(x+y) = f(x)+f(y)Vậy f là 1 đồng cấu nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ.• f(x +y) = f(x) + f(y) = a + a nhưng f(x.y) = f(a +b ). (a +b ) = a.a +3b b (1)• f(x.y) = a +a (2) Từ (1),(2) suy ra f(x+y) ≠ f(x.y)Vậy f không là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ .Trang 10 [...]... Trang 12 Hà Văn Tùng Bài 1: Thay mỗi chữ trong các phép tính sau bởi các chữ số thích hợp a) 0,b x a, b = 0, ab b) 0,a x a,a = 0, a a c) a,bcaa - b,dbc = c,baba d) 4,896 −a,bab = 0,0ab e) 0,ab x c,c x ,c = ,cabc f) 0,a x 0,b x a,b = 0,bbb g) 21 ,ab = a,b x 2, 6 h) 98,697 - 0,0abc = ,cabc i) 0,a x 0,a = 0,0a Bài 2: Biễu diễn các phân số , thành tổng các phân số có tử là 1, mẫu số khác nhau. Bài 3:... có: (x*y)*z = +z = + z = (1) x*(y*z) = = = (2) Từ(1) và (2) suy ra phép tốn * có tính chất kết hợp. - Tìm phần tử trung lập : Trang 3 Hà Văn Tùng ⇔ 4896 = x 1 02 ⇔ = = 48 Thử lại: 4,896 − 4,848 = 0,048 Đáp số: a = 4, b = 8 Bài 2: Biểu diễn phân số , thành các phân số có tử số bằng 1, mẫu số khác nhau. Ta có: = = + + = + + = = + + = + + = = + Bài 3: Cho các số hữu tỷ sau , , , , a) Trong... 0,75 = = = 1 ,2 = = = = 1, 125 b) Sắp xếp dãy số trên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: = 1+ < ⇒ < (1) = 1 + = 1 - > ⇒ < (2) = 1 - = < (3) = , = ⇒ < (4) Vậy từ (1) đến (4). Ta có: < < < < Bài 4: Sắp xếp các số sau theo thứ tự từ bé đến lớn a) , , , Ta có: , , < 1 và > 1, so sánh ba số bé hơn 1 = 1 − < (1) = 1 − < < ⇒ < (2) Vậy < <... (1) x (⊕ y ⊕z ) = x + ((y ⊕z ) - x.(y ⊕z ) = x + y + z - yz - x(y + z - yz) = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (2) Từ (1), (2) ⇒ ⊕có tính chất kết hợp • Phần tử trung lập là 0 Vì a ⊕0 = a + 0 - a.0 = a ∈ , ℚ ∀ a ∈ thì ℚ ∃ a' ∈ ℚ : a + a' = 0 Bài 3: Xét các quy tắc sau có phải là phép tốn hai ngơi hay khơng? Hãy xác định các tính chất giao hốn, kết hợp và các phần tử đặc biệt. a) a * b =... trên. Bài 2: a) Z(R) = a ∈ R \ ax = xa ∀ x ∈ R • Z( R) ∈ R: hiển nhiên • Z( R) ≠ ∅ vì 0.x = x.0 =0 ⇒ 0+Z(R) • ∀ a, b ∈ Z(K) ⇒ (a-b)x=a.x - b.x = x.a - x.b = x(a-b) ⇒ a - b ∈ Z(R) và (ab)x = a(bx) = a(xb) = (a.x)b = (xa)b = x(ab) ⇒ a,b ∈ Z(R) • ∀ a, b ∈ Z (R) ⇒ a.x = x.a , ∀ x ∈ R Lấy x = b , ta có ab = ba nên phép tính nhân trên Z(R) có tính quan hệ Vậy Z(R) là 1 vành con quan hệ của R Bài. .. = a + b ; y = a + b f(x+y) = f( a + b + a + b ) = f(a+a +(b +b ) = a + a (1) f(x) + f(y) = a +a (2) . Từ (1), (2) suy ra f(x+y) = f(x)+f(y) Vậy f là 1 đồng cấu nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ. • f(x +y) = f(x) + f(y) = a + a nhưng f(x.y) = f(a +b ). (a +b ) = a.a +3b b (1) • f(x.y) = a +a (2) Từ (1), (2) suy ra f(x+y) ≠ f(x.y) Vậy f không là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ . Trang 10 ... + 1 ∀ a,b ∈ ℚ Giải Bài 3: Câu a) a * b = ∀ a , b ∈ ℤ *: Z x Z → Z (a,b) a*b = ∃ 4, - 6 ∈ ℤ, ta có: 4 * (-6) = = ∉ ℤ ⇒ Nên * không là một ánh xạ. Vậy * khơng là phép tốn hai ngơi. Câu b) a * b = ∀ a,b ∈ℝ R x R → R (a,b) ( a*b= ∀ a,b ∈ℝ ∀ a, b ∈ R ta có: = a + b ∈ ℝ ⇒ Nên * là một ánh xạ. - Tính chất giao hốn: ∀ x , y ∈ ℝ, ta có: x * y = và y * x = suy ra x * y = y * x Nên phép tốn * có tính chất... nào là số thập phân? Hãy biểu diễn các số đó ở dạng thu gọn. b) Khơng quy đồng, hãy sắp xếp dãy số trên theo thứ tự từ bé đến lớn Bài 4: Không quy đồng mẫu số, hãy sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự từ bé đến lớn a) , , , b) , , G iải Bài 1: Thay mỗi chữ trong các phép tính sau bởi các chữ số thích hợp a) 0,b x a, b = 0, ab Ta có: x = ⇒ b x = (1) ⇒ b = = 1 . Thế b = 1 vào (1) Ta có: 1 x 10.a...Hà Văn Tùng 5 ⊕ = 5 + - 5 . = 3 b/ Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó • Tính chất giao hốn: ∀ x, y ∈ , ℚ ta có: x ⊕ y = x + y - xy x ⊕ y = y ⊕ x y ⊕ x = y + x - yx Phép tốn ⊕ có tính giao hốn • Tính chất kết hợp : ∀ x, y, z ∈ , ℚ ta có: (x ⊕ y ) ⊕z = x y + z - ⊕ (x y ).z⊕ = x + y - xy + z - (x + y - xy).z ... = ,cabc + 0,0abc ⇔ = + ⇔ 986970 = x 1001 + ⇔ 986970 = x 10 02 ⇔ = ⇔ = 985 Thử lại: 98697 - 0,0985 = 98,5985 Đáp số: a = 9, b = 8, c = 5 d) 4,896 − a,bab = 0,0ab = 0,0ab + a,bab ⇔ = + ⇔ 4896 = + x 101 Trang 11 Hà Văn Tùng Chứng minh f là đồng cấu từ nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ; nhưng f khơng là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ. Giải Bài 1: Tìm các ước của 0 trong các vành Z , Z , Z , Z Z = , . x ⊗ y) ⊗ z = x ⊗ y + 2z = x + 2y + 2z (1) x ⊗ (y ⊗ z) = x +2( y ⊗ z) = x +2( y + 2z) = x + 2y + 4z (2) Từ (1) (2) suy ra phép toán ⊗ không có tính chất. chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó .Bài làmBài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i) a * b = , với a, b

Ngày đăng: 12/09/2012, 16:20