Bài Tập Về Phép Toán Hai Ngôi - Tài Liệu, Ebook

Có thể bạn quan tâm

Đăng ký
Đăng nhập
Liên hệ

Thư viện tài liệu, ebook tổng hợp lớn nhất Việt Nam

Website chia sẻ tài liệu, ebook tham khảo cho các bạn học sinh, sinh viên

Trang Chủ
Tài Liệu
Upload

Trang Chủ › Khoa Học Tự Nhiên›Toán Học›Bài tập về phép toán hai ngôi Bài tập về phép toán hai ngôi

Tên đề tài : Bài tập về phép toán hai ngôiBài 1: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i): x * y = x + y +xy, với x ,y ( ℝ (ii) m ( n = m + 2n, với m , n ( ℕ Tìm - 3 * 4; 0 ( n; 3 ( 4. Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính. Bài làm a) * : R * R ( R (x,y) ( x * y = x + y + xy Tương ứng * là một ánh xạ vì: ( x, y ( ℝ ta có x + y + xy = x * y ( ℝ . Nên * là một phép toán hai ngôi trên ℝ. Ta có : - 3 * 4 = -3 + 4 + (-3.4) = -11 b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt. - Tính giao hoán: ( x, y ( ℝ , ta có: x * y = x + y + xy ( x* y = y *x y * x = y + x + yx Nên phép tính * có tính chất giao hoán. - Tính kết hợp: ( x, y , z ( ℝ , ta có: ( x * y) * z = ( x* y) + z + (x*y).z = x+ y +x.y + z + (x+y+x.y).z = x+y+z+x.y+ xz+yz+xyz (1) x * (y * z) = x+(y*z) + x.(y*z) = x + y + z + y.z + x( y+z+y.z) = x+y+z+xy+yz+xz+xyz (2) Từ (1) (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp Tìm phần tử trung lập: Tồn tại phần tử trung lập 0 vì ( x ( ℝ. Ta có 0 * x = x* 0= x + 0 +x.0 = x Tìm phần tử đối xứng: Với ( x, y ( R -1 có phần tử đối xứng là x` = - Vì x* x` = x` * x = ( - ) * x = - + x + ( - ).x = =0 (ii) a) m ( n = m + 2n, với m , n ( ℕ. ( : N x N ( N (m,n) ( m ( n = m + 2n Tương ứng ( là một ánh xạ vì: ( m , n ( ℕ ( m + 2n ( ℕ T a có 0 ( n = 0 + 2n = 2n, 3 ( 4 = 3 + 4.2 = 11 Xét các phần tử đặc biệt Tính giao hoán: ( x, y ( ℕ , ta có: x ( y = x + 2y ( x ( y ≠ y ( x y ( x = y + 2x Nên ( không có tính giao hoán. Ví dụ: 1, 2 ( ℕ 1 ( 2 = 1 + 4 = 5 2 ( 1 = 2 + 2.1 = 4 ( 5 ≠ 4 Tính chất hợp: ( x, y , z ( , ℕ ta có: ( x ( y) ( z = x ( y + 2z = x + 2y + 2z (1) x ( (y ( z) = x +2( y ( z) = x +2( y + 2z) = x + 2y + 4z (2) Từ (1) (2) suy ra phép toán ( không có tính chất kết hợp. Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập là 0 Vì m ( 0 = ( m + 2.0 = m ( m ( ) ℕ (m ( ℕ ( m` ( ℕ m ( m` = 0 ( phép toán ( không có phần tử trung lập Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i) a * b = , với a, b ( ℚ (ii) a ( b = a + b - ab với a, b ( A 1 Tìm ( 4 * 5; 3 ( ; 5 ( . Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó. Bài làm Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (

14 trang | Chia sẻ: aloso | Lượt xem: 7559 | Lượt tải: 1

Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài tập về phép toán hai ngôi, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênBài 1: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i): x * y = x + y +xy, với x ,y Î ℝ (ii) m Ä n = m + 2n, với m , n Î ℕ Tìm - 3 * 4; 0 Ä n; 3 Ä 4. Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính. Bài làm a) * : R * R ® R (x,y) a x * y = x + y + xy Tương ứng * là một ánh xạ vì: " x, y Î ℝ ta có x + y + xy = x * y Î ℝ . Nên * là một phép toán hai ngôi trên ℝ. Ta có : - 3 * 4 = -3 + 4 + (-3.4) = -11 b) Xét các tính chất và phần tử đặc biệt. - Tính giao hoán: " x, y Î ℝ , ta có: x * y = x + y + xy ® x* y = y *x y * x = y + x + yx Nên phép tính * có tính chất giao hoán. - Tính kết hợp: " x, y , z Î ℝ , ta có: ( x * y) * z = ( x* y) + z + (x*y).z = x+ y +x.y + z + (x+y+x.y).z = x+y+z+x.y+ xz+yz+xyz (1) x * (y * z) = x+(y*z) + x.(y*z) = x + y + z + y.z + x( y+z+y.z) = x+y+z+xy+yz+xz+xyz (2) Từ (1) (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp Tìm phần tử trung lập: Tồn tại phần tử trung lập 0 vì " x Î ℝ. Ta có 0 * x = x* 0= x + 0 +x.0 = x Tìm phần tử đối xứng: Với " x, y Î R\ -1 có phần tử đối xứng là x' = - Vì x* x' = x' * x = ( - ) * x = - + x + ( - ).x = =0 (ii) a) m Ä n = m + 2n, với m , n Î ℕ. Ä : N x N ® N (m,n) a m Ä n = m + 2n Tương ứng Ä là một ánh xạ vì: " m , n Î ℕ Þ m + 2n Î ℕ T a có 0 Ä n = 0 + 2n = 2n, 3 Ä 4 = 3 + 4.2 = 11 Xét các phần tử đặc biệt Tính giao hoán: " x, y Î ℕ , ta có: x Ä y = x + 2y ® x Ä y ≠ y Ä x y Ä x = y + 2x Nên Ä không có tính giao hoán. Ví dụ: 1, 2 Î ℕ 1 Ä 2 = 1 + 4 = 5 2 Ä 1 = 2 + 2.1 = 4 Þ 5 ≠ 4 Tính chất hợp: " x, y , z Î , ℕ ta có: ( x Ä y) Ä z = x Ä y + 2z = x + 2y + 2z (1) x Ä (y Ä z) = x +2( y Ä z) = x +2( y + 2z) = x + 2y + 4z (2) Từ (1) (2) suy ra phép toán Ä không có tính chất kết hợp. Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập là 0 Vì m Ä 0 = Ä m + 2.0 = m ( m Î ) ℕ "m Î ℕ $ m' Î ℕ m Ä m' = 0 Þ phép toán Ä không có phần tử trung lập Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i) a * b = , với a, b Î ℚ (ii) a Å b = a + b - ab với a, b Î A \ 1 Tìm - 4 * 5; 3 Å ; 5 Å . Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó. Bài làm Bài 2: Chứng tỏ rằng các quy tắc cho tương ứng sau đây là phép toán hai ngôi: (i) a * b = , với a, b Î ℚ * Q x Q ® Q là một ánh xạ vì a, b Î ℚ Þ Î ℚ Nên tương ứng (*) là phép toán hai ngôi trên . ℚ Tính - 4 * 5 = = Tính chất giao hoán: " x,y Î ℚ ta có: x * y = và y*x= suy ra x*y=y*x nên phép toán * có tính chất giao hoán. Tính chất kết hợp: " x,y, z Î ℚ ta có: (x*y)*z= = = (1) x *(y*z) = = = (2) Từ (1), (2) suy ra phép toán * không có tính chất kết hợp. . Phép toán * không có phần tử trung lập. Do đó " x Î ℚđều không có phần tử đối xứng đối với phép toán *. (ii) a Å b = a + b – ab với a, b Î ℚ ℚ ⊕ ℚ ® ℚ ( a, b ) a a + b – ab " a, b Î ℚ a/ Tính 3 ⊕ = 3 + - 3 . = ⊕ = 5 + - 5 . = 3 b/ Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của mỗi phép tính đó Tính chất giao hoán: " x, y Î ℚ, ta có: x ⊕ y = x + y - xy x ⊕ y = y ⊕ x y ⊕ x = y + x - yx Phép toán ⊕ có tính giao hoán Tính chất kết hợp: " x, y, z Î ℚ, ta có: (x ⊕ y ) ⊕z = x ⊕ y + z - (x ⊕ y ).z = x + y - xy + z - (x + y - xy).z = x + y - xy + z - xz - yz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (1) x ⊕ (y ⊕z ) = x + ((y ⊕z ) - x.(y ⊕z ) = x + y + z - yz - x(y + z - yz) = x + y + z - xy - xz - yz - xyz (2) Từ (1),(2) Þ ⊕có tính chất kết hợp Phần tử trung lập là 0 Vì a ⊕0 = a + 0 - a.0 = a Î ℚ, " a Î ℚ thì $ a' Î ℚ : a + a' = 0 Bài 3: Xét các quy tắc sau có phải là phép toán hai ngôi hay không? Hãy xác định các tính chất giao hoán, kết hợp và các phần tử đặc biệt. a * b = , với " a,b Î ℤ a * b = " a,b Î ℝ a * b = " a,b Î ℚ* a * b = " a,b Î ℝ a * b = a + b + 1 " a,b Î ℚ Giải Bài 3: Câu a) a * b = " a , b Î ℤ *: Z x Z ® Z (a,b) a a*b = $ 4, - 6 Î ℤ, ta có: 4 * (-6) = = Ï ℤ Þ Nên * không là một ánh xạ. Vậy * không là phép toán hai ngôi. Câu b) a * b = " a,b Îℝ R x R ® R (a,b) a a*b= " a,b Îℝ " a, b Î R ta có: = a + b Î ℝ Þ Nên * là một ánh xạ. - Tính chất giao hoán: " x , y Î ℝ, ta có: x * y = và y * x = suy ra x * y = y * x Nên phép toán * có tính chất giao hoán. Tính chất kết hợp: " x , y, z Î ℝ, ta có: (x*y)*z = +z = + z = (1) x*(y*z) = = = (2) Từ(1) và (2) suy ra phép toán * có tính chất kết hợp. Tìm phần tử trung lập: Tồn tại phần tử trung lập là 0 vì với " x Î ℝ , ta có: 0 * x = x * 0 = = x. - Tìm phần tử đối xứng: x * x¢ = x¢ * x = 0 Û = 0 * Với " x ≠ 0 không tồn tại phần tử đối xứng của x đối với phép toán * * Khi x = 0 phần tử của x là 0. Câu c) a * b = " a,b Î ℚ* *: Q * Q ® Q* (a,b) a Î ℚ* Tương ứng * là một ánh xạ vì với "a,b Î ℚ* thì Î ℚ* Nên tương ứng phép toán * là phép toán hai ngôi trên ℚ* Tính giao hoán: " x, y Î ℚ*, ta có x * y = Þ ≠ Þ x * y ≠y * x y * x = Vậy phép toán * không có tính giao hoán. Ví dụ: $ , Î ℚ* mà * = = ≠ Þ không có tính chất g/hoán * = = : = Tính chất kết hợp: " x, y , z Î ℚ*, ta có (x*y)*z = $ 2, 3 , 1 Î ℚ* , ta có (2*3)*1= = = (1) 2*(3*1) = = = (2) Từ (1)(2) suy ra * không có tính chất kết hợp. Tìm phần tử trung lập d/ a * b = " a,b Î ℝ ℝ * ℝ ® ℝ ( a, b) a a * b = " a,b Î ℝ Ta có: " a,b Î ℝ Nên * là một ánh xạ Tính giao hoán: " x , y Î ℝ ta có: x * y = x * y = y * x y * x = Vậy phép toán * không có tính giao hoán. Tính chất kết hợp: " x , y, z Î ℝ ta có: (x * y )* z = = = = (1) x * (y * z ) = = = = (2) Từ (1),(2) Þ * không có tính kết hợp. Bài 4: Cho phép Å trên ℝ x ℝ được xác định như sau " (a,b) , (c, d) Î ℝ x ℝ , (a,b) Å (c, d) = (a + c + 1975, b x d) Tìm phần tử trung lập, phần tử đối xứng (nếu có) của phép Å Bài làm " (a,b) , (c, d) Î ℝ x ℝ , (a,b) Å (c, d) = (a + c + 1975, b x d) Ta có ( - 1975,1) là phần tử trung lập của phép toán Å trên ℝ x ℝ vì " (x, y) Î ℝ x ℝ ta có: (x, y) * (- 1975, 1) = x - ( -1975 + x + 1975, y x 1) = (x,y) (-1975, 1) Å (x, y) = (- 1975+x+1975, 1 x y) = (x,y) (x', y') đối xứng của (x,y) (x', y') Å (x,y) = (- 1975, 1) Þ ( x' + x + 1975, y' x y) = (- 1975, 1) Þ Þ " (a, b) Î ℝ x ℝ ta có: (-3950-a, ) là phần tử đối xứng của (a, b) qua Å trên ℝ x ℝ vì (a, b) Å (-3950-a, ) = a +(-3950-a+1975, b x ) = (-1975,1) Bài 1. Trên tập ℕ ta định nghĩa m Ä n = m + n - 1 , " m, n Î ℕ a) Tìm 2 Ä 1; 3 Ä 5 ; 1 Ä 4 b) Chứng minh rằng ( ℕ , Ä) là một vị nhóm Abel Bài làm Tìm 2 Ä 1; 3 Ä 5 ; 1 Ä 4 + 2 Ä 1= 2+1 - 1 =2 Chứng minh rằng ( , Ä) là một nhóm Abel Tính giao hoán: " x, y Î ℕ , ta có: x Äy = x+y-1 Þ x Ä y=y Ä x . Nên phép toán Ä có tính chất giao hoán. y Ä x = y+x-1 - Tính chất kết hợp: " x, y , z Î ℕ , ta có: (x Ä y) Ä z = x Ä y+z -1 = x+y-1+z-1=x+y+z-2(1) x Ä (y Ä z) = x+y Ä z - 1 = x+ y+z -1 -1 = x+y+z-2(2) Từ (1),(2) suy ra phép toán Ä có tính chất kết hợp. Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập cuả phép toán Ä là 1. vì " m Î ℕ . Ta có 1 Ä m = m Ä 1 = m+ 1-1=m Vậy ( ℕ , Ä) là một vị nhóm Abel. Bài 2. Với a, b Î ℤ ta định nghĩa a Ä b = a + b -1 Tìm 0 Ä 2; - 1 Ä 1; - 3 Ä 4; - 4 Ä 0. Chứng minh rằng( ℤ, Ä) là một nhóm Abel. Bài làm a Ä b = a + b -1 a) 0 Ä 2 = 0+2-1=1 b) Chứng minh rằng(ℤ , Ä) là một nhóm Abel. - Tính chất giao hoán: " x, y Î ℤ , ta có: x Äy = x+y-1 Þ x Ä y=y Ä x . Nên phép toán Ä có tính chất giao hoán. y Ä x = y+x-1 - Tính chất kết hợp: " x, y , z Î ℤ , ta có: (x Ä y) Ä z = x Ä y + z - 1 = x+y - 1+ z - 1=x + y + z - 2 (1) x Ä (y Ä z) = x+ y Ä z - 1 = x+ y + z - 1 - 1 = x + y + z - 2 (2) Từ (1),(2) suy ra phép toán Ä có tính chất kết hợp. Tìm phần tử trung lập: Phần tử trung lập cuả phép toán Ä là 1. vì " m Î ℤ . Ta có 1 Ä m = m Ä 1 = m+ 1- 1= m - Tìm phần tử đối xứng: " x Î ℤ, phần tử đối xứng của " x Î ℤ đối với phép toán Ä là x¢: x¢ Ä x =1 Û x¢ + x - 1 = 1 Û x¢ = x - 2 Î Z. Vì x¢ Ä x = x Ä x¢ = x¢ +x - 1 = 2 – x + x - 1=1./. Bài 3: Gọi ( Z , Å ) là nhóm cộng các lớp đồng dư theo mdul 4. Ta định nghĩa ánh xạ f : Z ® Z n a) Chứng minh rằng f là toàn cấu nhóm cộng các số nguyên lên nhóm Z b) Tìm f( ), từ đó suy ra f là không phải là đẳng cấu nhóm. Giải f là đồng cấu nhóm cộng Å: là một đồng cấu " x, y Î ℤ , ta có: f (x+y) = f ( x) +f (y) = + = suy ra f (x+y) = f (x) +f (y) (1) Å f là toàn ánh Imf = f(x)/ x Î ℤ = / x Î ℤ = , , , = Z Þ f là 1 toàn ánh (2) Từ (1),(2) suy ra f là toàn cấu nhóm cộng b) f( ) = x / f(x) = , x Î ℤ = x / x = , x Îℤ = 4 k / k Î ℤ = 4k ≠ 0 Þ f không là đơn ánh nên f không là song ánh. Vậy f không là một đồng cấu nhóm Bài 4: Cho X là nhóm nhân giao hoán Chứng minh ánh xạ f : X ® X a f(a) = a , với k xác định thuộc ℤlà đồng cấu nhóm b) Xác định Ker f . Giải " x , y Î ℤ, ta có: f (x,y) = (xy) = = . = x . y = f(x).f(y) (vì phép nhân trên X có tính giao hoán ) Vậy f đồng cấu nhóm b) Xác định Ker f Ker f = a Î X / f(x) = 1 = a Î X / a = 1 = x Î ℤ / k = 0 Bài 5: Ta định nghĩa ánh xạ f : N ® N a 5n a) Chứng minh rằng f là tự đồng cấu vị nhóm cộng (ℕ, +). b) Tìm f(ℕ) c) Tìm f (0) Giải a) f : N ® N a 5n f là đồng cấu nhóm cộng ( ℕ,+) " (x,y) Îℕ , ta có : f(x+y) = 5(x+y) (1) f(x) + f(y) = 5x + 5y = 5(x+y) (2) từ (1), (2) Þ f(x+y) = f(x) + f(y) Þ f là tự đồng cấu nhóm cộng (ℕ,+) b) f(ℕ) = f(n) / n Î ℕ = 5 / n Î ℕ = 5ℕ c) f (0) = n Î ℕ / f(n) = 0 = n Îℕ / 5n = 0 = 0 Bài 6: Cho tập hợp A = a + b / a,b Îℤ Chứng minh rằng (A,+) là nhóm con của nhóm cộng các số thực (ℝ, +) với phép cộng thông thường trên các số. Cho ánh xạ f từ nhóm (A,+) vào nhóm (ℝ,+) f : A ® R x x Hãy chứng tỏ f là đơn cấu; f không là toàn cấu. Giải (A,+) là nhóm con nhóm cộng (ℝ,+) 0 = 0 + 0 = 0 Î A " x, y Î A , giả sử x = a +b , y = a + b ( với a , b , a , b Î ℤ) Þ x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) Î A – x = – ( a +b ) = (– a ) + (–b ) Î A Vậy (A,+) £ (ℝ.+) f (A,+) ® (ℝ,+) x f(x)=x a + b f(a+b ) = a + b Chứng minh f là đơn cấu " x, y Î A, giả sử x = a + b và y = a + b x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) Þ f(x+y) = ( a + a ) + (b + b ) (1) f(x) + f(y) = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) (2) Từ (1), (2) Þ f(x+y) = f(x) + f(y) Vậy f là đơn cấu nhóm. Chứng minh f là một đơn ánh Ker f = x Î A\ f(x) = 0 = a+b \ f(a+ b ) =0 a , b Î A = a+b \ a+ b = 0 a , b Î A = 0 + 0 = 0 Þ f là một đơn ánh Chứng minh f không là toàn cấu Imf = f(x) \ x Î A = x \ x Î A = A ≠ ℝ Vậy f không là toàn cấu. Bài 7: Cho tập hợp X = a + b \ a , b Î ℤ Chứng minh X là nhóm con của nhóm cộng các số thực ℝ. Cho ánh xạ f: X ® Z a + b a + b Chứng minh f là toàn cấu từ nhóm cộng X lên nhóm cộng các số nguyên ℤ. Giải Chứng minh ( X, +) £ (ℝ, +) 0 = 0 + 0 = 0 Î A " x, y Î X , giả sử x = a +b , y = a + b ( với a , b , a , b Î ℤ) Þ x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) Î A – x = – ( a +b ) = (– a ) + (–b ) Î A Vậy (X, +) £ (ℝ, +) b) Chứng minh f là toàn cấu " x, y Î X, giả sử x = a + b và y = a + b Ta chứng minh : f(x+y) = f(x) + f(y) Ta có: x + y = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) Î X f(x) + f(y) = ( a + a ) + (b + b ) = ( a + a ) + (b + b ) (1) f(x+y) = a +b + a + b = ( a + a ) + (b + b ) = ( a + a ) + (b + b ) (2) Từ (1), (2) Þ f là một đồng cấu (I) Chứng minh f là toàn ánh Imf = f(x) \ x Î X = f (a + b ) \ a, b Î ℤ = a + b \ a, b Îℤ = ℤ Þ f là toàn ánh (II) Từ (I), (II) Þ f là toàn cấu. Bài 8: Quy tắc f : ℤ ® G từ nhóm cộng các số nguyên đến nhóm nhân G( G là nhóm vô hạn) xác định như sau: " n Î , f(n) = a , a Î G Chứng minh f là đồng cấu nhóm. Tìm Ker f. Giải " x, y Î ℤta có: f(x+y) = a (1) f(x) + f(y) = a + a = a (2) Từ (1),(2) suy ra f(x) + f(y) = f(x) + f(y) Suy ra f là đồng cấu nhóm. Tìm Ker f Tìm Ker f = x Î ℤ/ f(x)=1 (G, .) = x Î ℤ/ a = 1 = x Î ℤ/ x = 0 = 0 CÁC BÀI TẬP VÀNH VÀ TRƯỜNG Bài 1: Tìm các ước của 0 trong các vành Z , Z , Z , Z Bài 2: Cho R là một vành. Chứng minh rằng tập Z(R) = a Î R \ ax = xa " x Î R là một vành con giao hoán của R. Bài 3: Cho tập hợp X = a+ b \ a, b Î ℤ Chứng tỏ X là vành con của vành số thực ℤ . Cho ánh xạ f : X ® Z a + b a Chứng minh f là đồng cấu từ nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ; nhưng f không là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ. Giải Bài 1: Tìm các ước của 0 trong các vành Z , Z , Z , Z Z = , , " Î Z \ = , . = ≠ 0; . = ≠ 0 = , . = ≠ 0; . = = ≠ 0 Vậy không có ước của 0 trong vành Z Z = , , , " Î Z \ = , . = ≠ 0; . = ≠ 0, . = ≠ 0, = , . = ≠ 0; . = = , . = = ≠ 0 = , . = ≠ 0; . = = ≠ 0, . = = ≠ 0. Vậy là ước của 0 trong vành Z Z , Z làm tương tự như trên. Bài 2: a) Z(R) = a Î R \ ax = xa " x Î R Z( R) Î R: hiển nhiên Z( R) ≠ Æ vì 0.x = x.0 =0 Þ 0+Z(R) " a, b Î Z(K) Þ (a-b)x=a.x - b.x = x.a - x.b = x(a-b) Þ a - b Î Z(R) và (ab)x = a(bx) = a(xb) = (a.x)b = (xa)b = x(ab) Þ a,b Î Z(R) " a, b Î Z (R) Þ a.x = x.a , " x Î R Lấy x = b , ta có ab = ba nên phép tính nhân trên Z(R) có tính quan hệ Vậy Z(R) là 1 vành con quan hệ của R Bài 3: X = a + b \ a, b Î ℤ a) X Í R: hiển nhiên " x , y Î X, giả sử x = a + b ; y = a + b ( a , a , b , b Î ℤ ) Ta có : x + y = a + b + a + b = ( a+ a ) + (b + b ) Î X x . y = ( a + b ) .( a + b ) = a . a + (a. b + b . a + 3b .b = a.a + (a.a .b.b ) + 3b b Î X thêm x - y Î X, x - y = (a - a ) + (b - b ) Î X Vậy X là vành con của vành số thực ℝ " x , y Î X, giả sử x = a + b ; y = a + b f(x+y) = f( a + b + a + b ) = f(a+a +(b +b ) = a + a (1) f(x) + f(y) = a +a (2). Từ (1),(2) suy ra f(x+y) = f(x)+f(y) Vậy f là 1 đồng cấu nhóm cộng X lên nhóm cộng ℤ. f(x +y) = f(x) + f(y) = a + a nhưng f(x.y) = f(a +b ). (a +b ) = a.a +3b b (1) f(x.y) = a +a (2) Từ (1),(2) suy ra f(x+y) ≠ f(x.y) Vậy f không là đồng cấu từ vành X đến vành ℤ . Bài 1: Thay mỗi chữ trong các phép tính sau bởi các chữ số thích hợp 0,b x a, b = 0, ab 0,a x a,a = 0, a a a,bcaa - b,dbc = c,baba 4,896 −a,bab = 0,0ab 0,ab x c,c x ,c = ,cabc 0,a x 0,b x a,b = 0,bbb 21,ab = a,b x 2,6 98,697 - 0,0abc = ,cabc 0,a x 0,a = 0,0a Bài 2: Biễu diễn các phân số , thành tổng các phân số có tử là 1, mẫu số khác nhau. Bài 3: Cho các số hữu tỷ sau: , , , , Trong các phân số trên, số nào là số thập phân? Hãy biểu diễn các số đó ở dạng thu gọn. Không quy đồng, hãy sắp xếp dãy số trên theo thứ tự từ bé đến lớn Bài 4: Không quy đồng mẫu số, hãy sắp xếp các số hữu tỷ sau theo thứ tự từ bé đến lớn a) , , , b) , , Giải Bài 1: Thay mỗi chữ trong các phép tính sau bởi các chữ số thích hợp 0,b x a, b = 0, ab Ta có: x = Þ b x = (1) Þ b = = 1 . Thế b = 1 vào (1) Ta có: 1 x 10.a +1 = 10.a + 1 Þ a = 0 ® 9 Thử lại: 0,1 x 0,1 = 0,01 Đáp số: Þ 0,a x a,a = 0, a a Ta có: x = Þ a x = Þ a = 0,1 Thử lại: 0,1 x 1,1 = 0,11 a,bcaa - b,dbc = c,baba 98,697 - 0,0abc = ,cabc Û 98,697 = ,cabc + 0,0abc Û = + 986970 = x 1001 + 986970 = x 1002 = = 985 Thử lại: 98697 - 0,0985 = 98,5985 Đáp số: a = 9, b = 8, c = 5 4,896 − a,bab = 0,0ab = 0,0ab + a,bab Û = + 4896 = + x 101 4896 = x 102 = = 48 Thử lại: 4,896 − 4,848 = 0,048 Đáp số: a = 4, b = 8 Bài 2: Biểu diễn phân số , thành các phân số có tử số bằng 1, mẫu số khác nhau. Ta có: = = + + = + + = = + + = + + = = + Bài 3: Cho các số hữu tỷ sau , , , , Trong các số trên số nào là số thập phân? Số thập phân: , , Biểu diễn ở dạng thu gọn: = = = 0,5 = = = = 0,75 = = = 1,2 = = = = 1,125 Sắp xếp dãy số trên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: = 1+ < Þ < (1) = 1 + = 1 - > Þ < (2) = 1 - = < (3) = , = Þ < (4) Vậy từ (1) đến (4). Ta có: < < < < Bài 4: Sắp xếp các số sau theo thứ tự từ bé đến lớn a) , , , Ta có: , , 1, so sánh ba số bé hơn 1 = 1 − < (1) = 1 − < < Þ < (2) Vậy < < < b/ , , , Ta có: = 1 − > Þ < (1) = 1 − * = 1 − > Þ < (2) = 1 − = Þ < Þ < (3) = và = Þ > Þ > (4) = và = Þ > Þ > (5) Từ (1), (4) Þ < (6) Từ (1),(2),(3),(4)(5),(6) Þ < < < Chúc các anh chị và các bạn thi tốt!

Các file đính kèm theo tài liệu này:

Bài tập về phép toán hai ngôi.doc

Tài liệu liên quan

Bài giảng môn Xác suất - Chương 2: Định nghĩa xác suất
31 trang | Lượt xem: 753 | Lượt tải: 0
Đề thi hết học phần lí thuyết số môn Toán lí
1 trang | Lượt xem: 830 | Lượt tải: 0
Bài giảng Xác suất thống kê - Nguyễn Độc Lập
138 trang | Lượt xem: 1740 | Lượt tải: 3
Toán học - Phương pháp tính (computation methods) - Giải tích số (numerical analysis)
10 trang | Lượt xem: 1227 | Lượt tải: 0
Mô phỏng hệ số trước hàm mũ, d0 trong kim loại Fe vô định hình - Đặng Thị Uyên
6 trang | Lượt xem: 636 | Lượt tải: 0
Hai góc đối đỉnh
7 trang | Lượt xem: 2061 | Lượt tải: 0
Toán học - Chapter 4: Vector space
42 trang | Lượt xem: 874 | Lượt tải: 0
Đề thi thử giữa kỳ môn: Xác suất thống kê - Mã đề: 570
4 trang | Lượt xem: 917 | Lượt tải: 0
Chương 2 : Luận lý mệnh đề
24 trang | Lượt xem: 1829 | Lượt tải: 1
Toán học - Chương 2: Định thức và hệ phương trình đại số tuyến tính
45 trang | Lượt xem: 1804 | Lượt tải: 1