Các Dạng Bài Tập Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian

Hướng dẫn học sinh cách viết phương trình mặt phẳng, một dạng toán cơ bản trong chương trình Toán lớp 12.

A. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(α;β;γ) và có vecto pháp tuyến n(a;b;c). Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình tổng quát là: a(x-α)+b(y-β)+c(z-γ)=0.

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;3) nhận véc tơ n(4;2;5) là véc tơ pháp tuyến.

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng (P) là:

4(x-1)+2(y-2)+5(z-3)=0

⇔4x+2y+5z-23=0.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

Phương pháp: Giả sử (P) là mặt phẳng trung trực của đoanh AB. Ta xác định yếu tố điểm mà (P) đi qua chính là trung điểm AB. Còn vecto pháp tuyến chính là vecto AB.

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(2;1;3)$ và điểm $B(4;-2;3)$. Viết phương trình mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Điểm $I\left(2 ;-\dfrac{1}{2} ; 3\right)$ là trung điểm của đoạn $A B$ và $I \in(P)$. $\overrightarrow{A B}=(2 ;-3 ; 0)$ là một véc tơ pháp tuyến của $(P)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

$2(x-2)-3\left(y+\dfrac{1}{2}\right)+0(z-3)=0$

$\Leftrightarrow 2 x-3 y-\dfrac{11}{2}=0$

2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm cho trước

Phương pháp: Giả sử mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C. Để tìm yếu tố véc tơ pháp tuyến chúng ta lấy tích có hướng của véc tơ AB và véc tơ AC.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;-2;3), điểm B(0;-2;4) và điểm C(4;1;3). Viết PT mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{A B}=(-2 ; 0 ; 1), \overrightarrow{A C}=(2 ; 3 ; 0)$.

Vậy $\vec{n}=\overrightarrow{A B} \wedge \overrightarrow{A C}=(-3 ; 2 ;-6)$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C)$.

Do đó phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là:

$-3(x-2)+2(y+2)-6(z-3)=0$

$\Leftrightarrow-3 x+2 y-6 z+28=0$

*Lưu ý về cách viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:

Trong không gian $O x y z$, phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm $A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c)$ với $a b c \neq 0$ là:

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$

3. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm vuông góc với 2 mặt phẳng cho trước

Phương pháp: Giả sử ta cần viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với (P), (Q). Yếu tố điểm đã có là điểm A. Yếu tố véc tơ pháp tuyến chính là tích có hướng hai véc tơ pháp tuyến của (P) và (Q).

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và các mặt phẳng (P):x+y+z-3=0, (Q): 2x-y+3z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua A vuông góc với mặt phẳng (P) và (Q).

Lời giải:

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n_{p}}=(1 ; 1 ; 1)$.

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\overrightarrow{n_{Q}}=(2 ;-1 ; 3)$.

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(R)$ là $\overrightarrow{n_{R}}=\overrightarrow{n_{p}} \wedge \overrightarrow{n_{Q}}=(4 ;-1 ;-3)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(R)$ là

$4(x-1)-(y-2)-3(z-3)=0 \Leftrightarrow 4 x-y-3 z+7=0$

4. Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm vuông góc với đường thẳng cho trước

Phương pháp: Giả sử ta cần viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d. Yếu tố điểm đã có là điểm A. Yếu tố véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) chính là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.

Ví dụ 4: Trong không gian $O x y z$, cho điểm $M(1 ;-2 ; 2)$ và đường thẳng $\Delta: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z+2}{-1}$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$.

Lời giải:

Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u}=(2 ; 3 ;-1)$. Đây cũng là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $2 x+3 y-z+6=0$.