Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trong Không Gian Oxyz - Toán Học Lớp 12

Số lượt đọc bài viết: 206.797

Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hay viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm là những dạng toán quan trọng trong chương trình toán học THPT. Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian, cùng tìm hiểu nhé!

MỤC LỤC

• Phương trình mặt phẳng trong không gian
  • Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz
  • Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
  • Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng
• Tổng kết lý thuyết viết phương trình mặt phẳng trong không gian
• Các dạng bài viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
  • Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và vector pháp tuyến
  • Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng
  • Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng khác
  • Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm cho trước

Phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng:

Ax + By + Cz + D = 0 với \(A^{2}+B^{2}+C^{2}> 0\)

Muốn viết phương trình mặt phẳng trong không gian ta cần xác định được 2 dữ kiện:

• Điểm M bất kì mà mặt phẳng đi qua.
• Vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho 2 mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì:

Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi: \(\frac{A}{A’} \neq \frac{B}{B’} \neq \frac{C}{C’}\)

Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi: \(\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} \neq \frac{D}{D’}\)

Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi: \(\frac{A}{A’} = \frac{B}{B’} = \frac{C}{C’} = \frac{D}{D’}\)

Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi: \(AA’ + BB’ + CC’ = 0\)

Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho điểm M(a, b, c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Khi đó khoảng cách từ điểm M tới (P) được xác định như sau:

\(d(A, (P)) = \frac{\left | Aa + Bb + Cc + D \right |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}\)

Tổng kết lý thuyết viết phương trình mặt phẳng trong không gian

Các dạng bài viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết 1 điểm thuộc mặt phẳng và vector pháp tuyến

Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(x_{0}; y_{0}; z_{0})\)

Mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến \(\vec{n}(A, B, C)\)

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): \(A(x-x_{0}) + B(y-y_{0}) + C(z-z_{0}) = 0\)

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M (3;1;1) và có VTPT \(\vec{n} = (1; -1; 2)\)

Cách giải:

Thay tọa độ điểm M và VTPP \(\vec{n}\) ta có:

(P): \((1)(x – 3) + (-1)(y – 1) + 2(z – 1) = 0 \Leftrightarrow x – y + 2z – 4 = 0\)

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Vì mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. Nên mặt phẳng (P) có 1 cặp vector chỉ phương là \(\vec{AB} ; \vec{AC}\)

Khi đó ta gọi \(\vec{n}\) là một vector pháp tuyến của (P), thì \(\vec{n}\) sẽ bằng tích có hướng của hai vector \(\vec{AB}\) và \(\vec{AC}\). Tức là \(\vec{n} = \left [ \vec{AB};\vec{AC} \right ]\)

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(1,1,3); B(-1,2,3); C(-1;1;2)

Cách giải:

Ta có: \(\vec{AB} = (-2;1;0); \vec{AC} = (-2,0,-1) \Rightarrow \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = (-1,-2,2)\)

Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là \(\vec{n} = \left [ \vec{AB},\vec{AC} \right ] = (-1,-2,2)\) và đi qua điểm A(1,1,3) nên có phương trình:

\((-1)(x – 1) – 2(y – 1) + 2(z – 3) = 0\Leftrightarrow -x – 2y + 2z – 3 = 0\)

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và song song với 1 mặt phẳng khác

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(x_{0}; y_{0}; z_{0})\) và song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + m =0

Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ M và pt (P) ta tìm được M.

Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình là:

\(A(x – x_{0}) + B(y – y_{0}) + C(z – z_{0}) = 0\)

Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng vector pháp tuyến.

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;-2;3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 5 = 0

Cách giải:

Vì (P) song song với (Q) nên VTPT của (P) cùng phương với VTPT của (Q).

Suy ra (P) có dạng: 2x – 3y + z + m = 0

Mà (P) đi qua M nên thay tọa độ M (1;-2;3) ta có:

\(2.1 + (-3).(-2) + 3 + m = 0 \Leftrightarrow m = -11\)

Vậy phương trình (P): 2x – 3y + z – 11 = 0  

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 đường thẳng và 1 điểm cho trước

Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(x_{0}; y_{0}; z_{0})\) và đường thẳng d.

Lấy điểm A thuộc đường thẳng d ta tìm được vector \(\vec{MA}\) và VTCP \(\vec{u}\), từ đó tìm được VTPT \(2.1 \vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ]\).

Thay tọa độ ta tìm được phương trình mặt phẳng (P)

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (3;1;0) và đường thẳng d có phương trình: \(\frac{x – 3}{-2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 1}{1}\)

Cách giải:

Lấy điểm A (3;-1;-1) thuộc đường thẳng d.

Suy ra \(\vec{MA} (0; -2; -1)\) và VTCP \(\vec{u} (-2; 1; 1)\)

Mặt phẳng (P) chứa d và đi qua M nên ta có VTPT: \(\vec{n} = \left [ \vec{MA};\vec{u} \right ] = (-1; 2; 4)\)

Vậy phương trình mặt phẳng (P): \(-1(x – 3) + 2(y – 1) – 4z = 0\Leftrightarrow -x + 2y – 4z + 1 = 0\)

Xem thêm >>> Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz

Xem thêm >>> Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết và Bài tập 

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Nếu có băn khoăn thắc mắc hay góp ý về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz, các bạn để lại bình luận bên dưới để chúng mình cùng trao đổi nhé. Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ nha <3

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây (Nguồn: Youtube.com)

4/5 - (11 bình chọn) Please follow and like us: