Các Dạng Bài Tập Thiết Diện Qua đỉnh Của Hình Nón

Thiết diện qua đỉnh của hình nón thông thường hay gặp ở một số dạng như:

• Thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông
• Thiết diện qua đỉnh là một tam giác vuông cân
• Thiết diện qua đỉnh là một tam giác đều
• Thiết diện qua đỉnh có góc tạo bởi thiết diện và trục là số cho trước (60 độ hay 120 độ…)
• thiết diện qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy tới mặt phẳng chứa thiết diện là a (cm)
• thiết diện là một tam giác cân đồng thời tạo với mặt phẳng đường tròn đáy góc cho trước
• …

Thiết diện qua đỉnh của hình nón là hình gì?

Khi nói tới dạng toán thiết diện qua đỉnh của hình nón thì các bạn cần hiểu rằng: thiết diện tạo ra là một mặt phẳng chứa đỉnh của hình nón và luôn là một tam giác cân. Đỉnh của tam giác cân chính là đỉnh của hình nón và hai cạnh bên của tam giác chính là hai đường sinh. Các bạn có thể xem hình vẽ minh họa bên dưới.

Thiết diện chính là mặt phẳng SAB, và diện tích của thiết diện là diện tích của tam giác cân SAB với đỉnh là S, hai cạnh bên SA, SB chính là đường sinh.

Khi các bạn đã xác định được thiết diện qua đỉnh là hình gì và biết dựng được thiết diện đó thì bài toán dạng này sẽ trở nên rất đơn giản. Một số câu hỏi có thể gặp trong dạng toán này như: Tính diện tích của thiết diện, tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón, tính đường cao hay độ dài đường sinh của hình nón…

Diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{xq}=\pi.R.l$

Diện tích toàn phần của hình nón là: $S_{tp}=S_{xq} + S_d=\pi.R.l+\pi.R^2$

Thể tích khối nón là: $V=\frac{1}{3}.S.h=\frac{1}{3}\pi.R^2.h$

Xem thêm bài giảng hay:

• Các dạng bài tập thiết diện qua trục của hình nón
• Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
• 3 cách tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
• 170 câu hỏi trắc nghiệm đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm
• Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số

Các dạng bài tập thiết diện qua đỉnh của hình nón

Bài tập 1 (Câu 50 – mã đề 101 – đề toán thpt quốc gia 2017):  Cho hình nón đỉnh ? có chiều cao $h=a$ và bán kính đáy $r=2a$ . Mặt phẳng (?) đi qua ? cắt đường tròn đáy tại ? và ? sao cho $AB=2\sqrt{3}a$. Tính khoảng cách ? từ tâm của đường tròn đáy đến (?).

A. $d=\frac{\sqrt{3}a}{2}$          B. $d=a$                C. $d=\frac{\sqrt{5}a}{5}$              D. $d=\frac{\sqrt{2}a}{2}$

Hướng dẫn:

Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó ta có: $OI\bot AB; SI\bot AB \Rightarrow AB\bot(SOI)$

Từ O dựng $OH\bot SI$ mà $AB\bot OH$ (do $AB\bot(SOI)$ => $OH\bot (SI,AB)$ hay $HO\bot(SAB)$

Suy ra $OH$ là khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (SAB) hay mặt phẳng P.

Để tính được độ dài đoạn OH chúng ta cần xác định được độ dài SO và OI từ đó dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính OH.

Tính độ dài OI: 

Xét tam giác vuông OIB ($\hat{I}=90^0$) có:

$OI^2=OB^2-IB^2=r^2-\frac{AB^2}{4}=(2a)^2-(\sqrt{3}a)^2=a^2\Rightarrow OI=a$

Theo giả thiết $SO=h=a$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOI có:

$\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OI^2}+\frac{1}{OS^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{2}{a^2}$

Suy ra $OH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Do đó khoảng cách d từ điểm O tới mặt phẳng (SAB) hay mặt phẳng (P) là $OH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy đáp án chính xác là đáp án D

Bài tập 2: Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3cm và có đường sinh $l=5cm$. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh và tạo với trục một góc 30 độ. Diện tích thiết diện là:

A. $\frac{8\sqrt{11}}{3}$          B. $d=\frac{\sqrt{11}}{3}$                C. $d=\frac{2\sqrt{11}}{3}$              D. $d=\frac{11\sqrt{11}}{3}$

Hướng dẫn:

Mặt phẳng (P) qua đỉnh là mặt phẳng (SAB). Dựng $OI\bot AB,$ dựng $OH\bot SI$. Suy ra góc giữa mặt phẳng (SAB) với trục là góc ISO.

Ta có tam giác SAB là tam giác cân có SI vuông góc với AB => $S_{SAB}=\frac{1}{2}.AB.SI$. Chúng ta cần xác định độ dài đoạn AB và SI.

Tính độ dài đoạn SI:

Xét tam giác vuông SOA có: $SA^2=SO^2-OA^2=25-9=16\Rightarrow SO=4.$

Xét tam giác vuông SOI có: $cos\widehat{ISO}=\frac{SO}{SI}\Rightarrow SI=\frac{SO}{cos{30}}=\frac{4.2}{\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}$

Tính độ dài đoạn AB:

Xét tam giác vuông SAI có: $AI^2=SA^2-SI^2=25-\frac{64}{3}=\frac{11}{3}\Rightarrow AI=\sqrt{\frac{11}{3}}$

=> $AB=2AI=\frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Diện tích thiết diện là diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AB.SI=\frac{1}{2}.\frac{2\sqrt{11}}{\sqrt{3}}.\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{11}}{3}$

Vậy đáp án đúng là đáp án: A

Bài tập tự luyện

Bài tập 3: Cho hình nón có $h=20cm$, bán kính đáy $R=25cm$. Một thiết diện qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm đáy tới mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Diện tích của thiết diện đó là:

A. $100$          B. $200$                C. $500$              D. $1000$

Bài tập 4: Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác cân SAB đồng thời tạo với mặt phẳng đường tròn đáy góc 45 độ. Biết rằng đường cao của hình nón $SO=a$ và tam giác OAB vuông cân. Tính thể tích của khối nón.

A. $\frac{2\pi.a^3}{3}$          B. $\pi.a^3$                C. $\frac{\pi.a^3}{3}$              D. $\frac{\pi.a^3\sqrt{3}}{3}$

Lời kết

Qua bài giảng khá chi tiết và đầy đủ các dạng bài tập về thiết diện qua đỉnh của hình nón chắc chắn các bạn sẽ hiểu và làm được dạng toán này. Nếu các bạn thấy bài giảng hay thì hãy đăng kí nhận bài giảng mới nhất qua email đồng thời đóng góp ý kiến của bạn về bài giảng trong khung bình luận bên dưới.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ