Công Thức Tính Diện Tích Thiết Diện Hình Nón Chi Tiết Nhất – Toán 12

Công thức tính diện tích thiết diện hình nón chi tiết nhất- Toán lớp 12

1. Lí thuyết

a. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh của hình nón

Thiết diện là một tam giác cân.

Thiết diện là tam giác SAB cân tại S

Gọi H là trung điểm AB. Khi đó:

+ Góc giữa thiết diện với đáy là SHI^. Giả sử SHI^=α⇒SH=hsinα

IH=htanα⇒AH=IA2−IH2=r2−h2tan2α

+ Diện tích thiết diện:

S△SAB=SH.AH=hsinα.r2−h2tan2α

b. Thiết diện đi qua trục

Diện tíchthiết diện:

SΔSAB=12SI.AB=h.r

c. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Mặt phẳng (P) vuông góc và cách đỉnh một khoảng là h’ tạo ra thiết diện là một hình tròn.

Ta có: 2 tam giác SI’A’ và SIA đồng dạng nên:

SI'SI=I'A'IA⇔h'h=r'r⇒r'=rh.h'

Diện tíchthiết diện S=π.r'2

2. Các ví dụ

VD1. Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân cạnh a. Tính diện tích thiết diện đó.

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Theo bài ta có SAB vuông cân tại S có SA=SB=a

Diện tích tam giác SAB là 12SA.SB=12a2

VD2. Cho hình nón có bán kính đáy bằng a2 và chiều cao bằng a3. Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt đáy góc 60∘. Tính diện tích thiết diện được tạo thành.

Lời giải:

Thiết diện tạo thành là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB. Ta chứng minh được SHI^=60∘

⇒IH=a3tan60∘=a

SH=2a

Tam giác IAH vuông tại H nên AH=IA2−IH2=a

Suy ra SΔSAB=SH.AH=2a2

VD3. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao a. Mặt phẳng (P) qua S và cắt đáy tại A và B sao cho AB=2a3. Khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến (P) là a22. Tính diện tích thiết diện được tạo thành.

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB.

Trong mp (SHI) kẻ IK⊥SH

⇒dISAB=IK=a22

Ta có:

1I​K2=1SI2+1IH2⇔2a2=1a2+1IH2​⇒IH=a⇒SH=SI2+IH2=a2

Vậy diện tích thiết diện là S=12SH.AB=a26

VD4. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 3 và đường sinh là 5. Mặt phẳng (P) qua đỉnh và tạo với trục một góc 30∘. Tính diện tích thiết diện

Lời giải:

Thiết diện là tam giác SAB

Gọi H là trung điểm AB

Ta có góc giữa (SAB) và trục là ISH^=30∘

Chiều cao hình nón là :

h=l2−r2=52−32=4

⇒IH=IH.tan30∘=433

SH=833

Ta có :

AH=IA2−IH2=333⇒SΔSAB=SH.AH=8113

VD5. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4 và chiều cao là 5. Mặt phẳng (P) vuông góc và cách đáy một đoạn bằng 2. Mặt phẳng (P) cắt hình nón theo giao tuyến là một đường tròn. Tính diện tích hình tròn đó.

Lời giải:

Gọi tâm thiết diện là I’ bán kính thiết diện là I’A’

Tâm đường tròn đáy của nón là I; bán kính là IA

Theo bài ta có II'=2⇒SI'=3

Tam giác SI’A’ và SIA đồng dạng nên:

I'A'IA=SI'SI=35⇒r'=125

Vậy diện tích thiết diện là:

S=π.952=8125π

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 12 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức tính thể tích khối cầu chi tiết nhất

Công thức tính diện tích hình nón cụt đầy đủ nhất ( diện tích xung quanh, toàn phần, đáy)

Công thức tính thể tích khối nón cụt chi tiết nhất

Công thức tính diện tích thiết diện của hình trụ chi tiết nhất

Công thức tính thể tích các khối tròn xoay đặc biệt chi tiết nhất