Các Dạng Bài Tập Toán Lượng Giác Và Phương Pháp Giải - Toán Lớp 10

Có thể bạn quan tâm

Vì vậy để giải các dạng bài tập toán lượng giác các em phải thuộc nằm lòng các công thức lượng giác cơ bản, công thức giữa cung và góc lượng giác. Nếu chưa nhớ các công thức này, các em hãy xem lại bài viết các công thức lượng giác 10 cần nhớ.

Bài viết này sẽ tổng hợp một số dạng bài tập về lượng giác cùng cách giải và đáp án để các em thuận tiện ghi nhớ và vận dụng với các bài tương tự.

» Đừng bỏ lỡ: Đầy đủ các công thức lượng giác cần nhớ

° Dạng 1: Tính giá trị lượng giác của góc, hay cho trước 1 giá trị tính các giá trị lượng giác còn lại

¤ Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản

* Ví dụ 1 (Bài 4 trang 148 SGK Đại Số 10): Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu

$small a)cosalpha =frac{4}{13};left ( 0<alpha <frac{pi }{2} ight )$ $small b)sinalpha =-0,7;left ( pi <alpha <frac{3pi }{2} ight )$

$small c)tanalpha =-frac{15}{7};left ( frac{pi }{2}<alpha <pi ight )$ $small d)cotalpha =-3;left ( frac{3pi }{2}<alpha <2pi ight )$

° Lời giải:

a) $small cosalpha =frac{4}{13}$

- Vận dụng công thức: $small sin^{2}alpha +cos^{2}alpha=1$

$small Rightarrow sin^{2}alpha =1-cos^{2}alpha =1-left ( frac{4}{13} ight )^{2}$ $small =1-frac{16}{169}=frac{153}{169}$

- Vì 0<α<π/2 ⇒ sinα>0, nên:

$small Rightarrow sinalpha =sqrt{frac{153}{169}}=frac{3sqrt{17}}{13}$

+ $small tanalpha =frac{sinalpha }{cosalpha }=frac{3sqrt{17}}{13}:frac{4}{13}=frac{3sqrt{17}}{4}$

+ $small cotalpha =frac{1}{tanalpha }=frac{4}{3sqrt{17}}$

b) small sinalpha =-0,7

- Vận dụng công thức: $small sin^{2}alpha +cos^{2}alpha=1$

$small Rightarrow cos^{2}alpha =1-sin^{2}alpha =1-(-0,7)^{2}=0,51$

- Vì π<α<(3π/2) ⇒ cosα<0, nên:

$small Rightarrow cosalpha =-sqrt{0,51}=-sqrt{frac{51}{100}}=-frac{sqrt{51}}{10}$

+ $small tanalpha =frac{sinalpha }{cosalpha }=(-0,7):frac{-sqrt{51}}{10}=frac{7}{sqrt{51}}$

+ $small cotalpha =frac{1}{tanalpha }=frac{sqrt{51}}{7}$

c) $small tanalpha =-frac{15}{7}$

- Áp dụng công thức: $small 1+tan^{2}alpha =frac{1}{cos^{2}alpha }$

$small Rightarrow cos^{2}alpha =frac{1}{1+tan^{2}alpha }=frac{49}{274}$

- Vì π/2<α<π ⇒ cosα<0, nên:

$small Rightarrow cosalpha =-sqrt{frac{49}{274}}=frac{-7}{sqrt{274}}$

+ $small tanalpha =frac{sinalpha }{cosalpha }Rightarrow sinalpha =cosalpha .tanalpha$ $small =frac{-15}{7}.frac{-7}{sqrt{274}}=frac{15}{sqrt{274}}$

+ $small cotalpha =frac{1}{tanalpha }=-frac{7}{15}$

d) small cotalpha =-3

- Áp dụng công thức: $small 1+cot^{2}alpha =frac{1}{sin^{2}alpha }$

$small Rightarrow sin^{2}alpha =frac{1}{1+cot^{2}alpha }=frac{1}{1+9}=frac{1}{10}$

- Vì (3π/2)<α<2π ⇒ sinα<0, nên:

$small Rightarrow sinalpha =frac{-1}{sqrt{10}}$

+ $small cotalpha =frac{cosalpha }{sinalpha }Rightarrow cosalpha =cotalpha .sinalpha$ $small =(-3)frac{-1}{sqrt{10}}=frac{3}{sqrt{10}}$

+ $small tanalpha =frac{1}{cotalpha }=frac{-1}{3}$

* Ví dụ 2 (Bài 1 trang 153 SGK Đại Số 10): Tính giá trị lượng giác của góc

a) $small cos225^{0};sin240^{0};cot(-15^{0});tan75^{0}$

b) $small sinfrac{7pi }{2};cosleft ( -frac{pi }{12} ight );tanleft ( frac{13pi }{12} ight )$

° Lời giải:

a) Ta có: 2250 = 1800 + 450

- Nên $small cos225^{0}=cos(180^{0}+45^{0})=-cos45^{0}=frac{sqrt{2}}{2}$

+ Có: 2400 = 1800 + 600

- Nên $small sin240^{0}=sin(180^{0}+60^{0})=-sin60^{0}=-frac{sqrt{3}}{2}$

+ Có: $small cot(-15^{0})=-cot15^{0}=-tan(90^{0}-15^{0})$

$small =-tan75^{0}=-tan(45^{0}+30^{0})=frac{tan45^{0}+tan30^{0}}{1-tan45^{0}.tan30^{0}}$

$small =-frac{1+frac{sqrt{3}}{3}}{1-1.frac{sqrt{3}}{3}}=-frac{3+sqrt{3}}{3-sqrt{3}}=-frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}=-(2+sqrt{3})$

+ Có: $small tan75^{0}=tan(45^{0}+30^{0})=frac{tan45^{0}+tan30^{0}}{1-tan45^{0}.tan30^{0}}$

$small =frac{1+frac{sqrt{3}}{3}}{1-1.frac{sqrt{3}}{3}}=frac{3+sqrt{3}}{3-sqrt{3}}=frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}=(2+sqrt{3})$

b) Có: $small sinleft (frac{ 7pi }{12} ight )=sinleft ( frac{pi }{3}+frac{pi }{4} ight ) =sinfrac{pi }{3}.cosfrac{pi }{4}+cosfrac{pi }{3}.sinfrac{pi }{4}$

$small =frac{sqrt{3}}{2}.frac{sqrt{2}}{2}+frac{1}{2}.frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}$

+ Có: $small cosleft (frac{-pi }{12} ight )=cosleft ( frac{pi }{4} -frac{pi }{3} ight )= cosfrac{pi }{4}.cos frac{pi }{3}+sin frac{pi }{4}.sin frac{pi }{3}$

$small =frac{sqrt{2}}{2}.frac{1}{2}+frac{sqrt{2}}{2}.frac{sqrt{3}}{2}=frac{sqrt{2}+sqrt{6}}{4}$

° Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác

¤ Phương pháp giải:

- Để chứng minh đẳng thức lượng giác A = B ta vận dụng các công thức lượng giác và biến đổi vế để đưa A thành A1, A2,... đơn giản hơn và cuối cùng thành B.

- Có bài toán cần sử dụng phép chứng minh tương đương hoặc chứng minh phản chứng.

* Ví dụ 1: Chứng minh: $small cosalpha (1+cosalpha )(tanalpha -sinalpha )=sin^{3}alpha$

° Lời giải:

- Ta có:

small VT=cosalpha (1+cosalpha )(tanalpha -sinalpha )

$small = cosalpha (1+cosalpha )(frac{sinalpha }{cosalpha } -sinalpha )$

small = (1+cosalpha )(sinalpha-sinalpha.cosalpha )

$small = sinalpha (1+cosalpha )(1-cosalpha ) = sinalpha (1-cos^{2}alpha )$

$small =sinalpha .sin^{2}alpha =sin^{3}alpha =VP$

- Vậy ta có điều phải chứng minh.

* Ví dụ 2 (Bài 4 trang 154 SGK Đại số 10): Chứng minh các đẳng thức:

a) $small frac{cos(a-b)}{cos(a+b)}=frac{cota.cotb+1}{cota.cotb-1}$

b) $small sin(a+b).sin(a-b)=sin^{2}a-sin^{2}b=cos^{2}b-cos^{2}a$

c) $small cos(a+b).cos(a-b)=cos^{2}a-sin^{2}b=cos^{2}b-sin^{2}a$

° Lời giải:

a) Ta có:

$small VT= frac{cos(a-b)}{cos(a+b)}=frac{cosa.cosb+sina.sinb}{cosa.cosb-sina.sinb}$

[Chia cả tử và mẫu cho sina.sinb, ta được]

$= frac{frac{cosa.cosb+sina.sinb}{sina.sinb}}{frac{cosa.cosb-sina.sinb}{sina.sinb}} =frac{frac{cosa}{sina}.frac{cosb}{sinb}+1}{frac{cosa}{sina}.frac{cosb}{sinb}-1}$

$small =frac{cota.cotb+1}{cota.cotb-1}=VP$

- Vậy ta được điều phảo chứng minh.

b) Ta có:

small VT = sin(a+b).sin(a-b)

small =(sina.cosb+cosa.sinb)(sina.cosb-cosa.sinb)

[Áp dụng hằng đẳng thức a2 - b2 = (a+b)(a-b)]

$small =sin^{2}a.cos^{2}a-cos^{2}a.sin^{2}b$

[Áp dụng công thức cos2α = 1 - sin2α]

$small =sin^{2}a(1-sin^{2}b)-(1-sin^{2}a).sin^{2}b$

$small =sin^{2}a -sin^{2}a .sin^{2}b-sin^{2}b+sin^{2}a.sin^{2}b$

$small =sin^{2}a -sin^{2}b$

[Áp dụng công thức sin2α = 1 - cos2α]

$small =(1-cos^{2}a)-(1-cos^{2}b)$

$small =cos^{2}b-cos^{2}a$

c) Ta có: small cos(a+b).cos(a-b)

$small =frac{1}{2}left [ cosleft (( (a+b)-(a-b) ight )+cosleft ( (a+b)+(a-b) ight ) ight ]$

$small =frac{1}{2}(cos2a + cos2b)$

[Áp dụng công thức cos2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α] ta có:

• $small frac{1}{2}(cos2a + cos2b)$

$small =frac{1}{2}left [ 2cos^{2}b -1+1-sin^{2}a ight ]$

$small =frac{1}{2}left ( 2cos^{2}b -2sin^2a ight )=cos^2b-sin^2a$

• $small frac{1}{2}(cos2a + cos2b)$

$small =frac{1}{2}left [ 1- 2sin^{2}b +2cos^{2}a-1 ight ]$

$small =frac{1}{2}(2cos^2a-2sin^2b)=cos^2a-sin^2b$

° Dạng 3: Rút gọn một biểu thức lượng giác

¤ Phương pháp giải:

- Để rút gọn biểu thức lượng giác chứa góc α ta thực hiện các phép toán tương tự dạng 2 chỉ khác là kết quả bài toán chưa được cho trước.

- Nếu kết quả bài toán sau rút gọn là hằng số thì biểu thức đã cho độc lập với α.

* Ví dụ 1 (Bài 3 trang 154 SGK Đại số 10): Rút gọn biểu thức:

a) $small sin(a+b)+sinleft ( frac{pi }{2}-a ight )sin(-b)$

b) $small cosleft ( frac{pi }{4}+a ight )cosleft ( frac{pi }{4}-a ight )+frac{1}{2}sin^2a$

c) $small cosleft ( frac{pi }{2}-a ight )sinleft ( frac{pi }{2}-a ight )-sin(a-b)$

° Lời giải:

a) Ta có:

$small sin(a+b)+sinleft ( frac{pi }{2}-a ight )sin(-b)$

small =sina.cosb+cosa.sinb+cosa.(-sinb)

small =sina.cosb+cosa.sinb-cosa.sinb=sina.cosb

b) Ta có:

$small cosleft ( frac{pi }{4}+a ight )cosleft ( frac{pi }{4}-a ight )+frac{1}{2}sin^2a$

$small =frac{1}{2}left [ cosleft (( frac{pi }{4}+a) -( frac{pi }{4}-a) ight )+cosleft ( ( frac{pi }{4}+a) +( frac{pi }{4}-a) ight ) ight ]+frac{1}{2}sin^2a$

$small =frac{1}{2}left [ cos2a+cosfrac{pi }{2} ight ]+frac{1}{2}sin^2a$

$small =frac{1}{2}left [ 1-2sin^2a+0 ight ]+frac{1}{2}sin^2a$

$small =frac{1}{2}-sin^2a+frac{1}{2}sin^2a=frac{1}{2}left ( 1-sin^2a ight )=frac{1}{2}cos^2a$

c) Ta có:

$small cosleft ( frac{pi }{2}-a ight )sinleft ( frac{pi }{2}-a ight )-sin(a-b)$

small =sina.cosb-left ( sina.cosb-cosa.sinb ight )

small =sina.cosb- sina.cosb+cosa.sinb

small =cosa.sinb

* Ví dụ 2 (Bài 8 trang 155 SGK Đại số 10): Rút gọn biểu thức:

$small A=frac{sinx+sin3x+sin5x}{cosx+cos3x+cos5x}$

° Lời giải:

- Ta có: small sinx+sin3x+sin5x

small =(sin5x+sinx)+sin3x

$small =2sinleft ( frac{5x+x}{2} ight ).cosleft ( frac{5x-x}{2} ight )+sin3x$

small =2sin3x.cos2x+sin3x

small =sin3x(2cos2x+1)

- Tương tự có: small cosx+cos3x+cos5x

small =(cos5x+ cosx)+cos3x

$small =2.cosleft ( frac{5x+x }{2} ight ).cosleft ( frac{5x-x}{2} ight )+cos3x$

small =2cos3x.cos2x+cos3x

small =cos3x(2cos2x+1)

- Vậy: $small A=frac{sinx+sin3x+sin5x}{cosx+cos3x+cos5x}$

$small =frac{sin3x(2cos2x+1)}{cos3x(2cos2x+1)}=frac{sin3x}{cos3x}=tan3x$

° Dạng 4: Chứng minh biểu thức độc lập với α

¤ Phương pháp giải:

- Vận dụng các công thức và thực hiện các phép biến đổi tương tự dạng 3.

* Ví dụ (Bài 8 trang 156 SGK Đại số 10): Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x:

a) $small A=sinleft ( frac{pi }{4}+x ight )-cosleft ( frac{pi }{4}-x ight )$

b) $small B=cosleft ( frac{pi }{6}-x ight )-sinleft ( frac{pi }{3}+x ight )$

c) $small C=sin^2x+cosleft ( frac{pi }{3}-x ight ).cosleft ( frac{pi }{3}+x ight )$

d) $small D=frac{1-cos2x+sin2x}{1+cos2x+sin2x}.cotx$

° Lời giải:

a) Ta có:

$small A=sinleft ( frac{pi }{4}+x ight )-cosleft ( frac{pi }{4}-x ight )$

$small =sinfrac{pi }{4}.cosx+cosfrac{pi }{4}.sinx-left ( cosfrac{pi }{4}.cosx+sinfrac{pi }{4}.sinx ight )$

$small =frac{sqrt{2}}{2}cosx+frac{sqrt{2}}{2}sinx-left ( frac{sqrt{2}}{2}cosx+frac{sqrt{2}}{2}sinx ight )=0$

⇒ Vậy biểu thức A=0 không phụ thuộc vào giá trị của x

b) Ta có:

$small B=cosleft ( frac{pi }{6}-x ight )-sinleft ( frac{pi }{3}+x ight )$

$small =cosfrac{pi }{6}.cosx+sinfrac{pi }{6}.sinx-sinfrac{pi }{3}.cosx-cosfrac{pi }{3}.sinx$

$small =cosx.left ( cosfrac{pi }{6}-sinfrac{pi }{3} ight )+sinx.left ( sinfrac{pi }{6}-cosfrac{pi }{3} ight )$

small =cosx.0+sinx.0=0

(vì $small cosfrac{pi }{6}=sinfrac{pi }{3};sinfrac{pi }{6}=cosfrac{pi }{3}$ )

⇒ Vậy biểu thức B=0 không phụ thuộc vào giá trị của x

c) Ta có:

$small C=sin^2x+cosleft ( frac{pi }{3}-x ight ).cosleft ( frac{pi }{3}+x ight )$

$small =sin^2x+left [ cosfrac{pi }{3}.cosx +sinfrac{pi }{3}.sinx ight ]left [ cosfrac{pi }{3}.cosx-sinfrac{pi }{3}.sinx ight ]$

$small =sin^2x+cos^2frac{pi }{3}.cos^2x-sin^2frac{pi }{3}.sin^2x$

$small =sin^2x+left ( frac{1}{2} ight )^2.cos^2x-left (frac{sqrt{3}}{2} ight )^2.sin^2x$

$small =sin^2x+frac{1}{4}cos^2x-frac{3}{4}sin^2x$

$small =frac{1}{4}sin^2x+frac{1}{4}cos^2x=frac{1}{4}left ( sin^2x+cos^2x ight )=frac{1}{4}$

⇒ Vậy biểu thức C=1/4 không phụ thuộc vào giá trị của x

d) Ta có:

$small D=frac{1-cos2x+sin2x}{1+cos2x+sin2x}.cotx$ $small =frac{2sin^2x+2sinx.cosx}{2cos^2x+2sinx.cosx}.cotx$

$small =frac{2sinx(sinx+cosx)}{2cosx(cosx+sinx)}.cotx$ $small =frac{sinx}{cosx}.cotx=tanx.cotx=1$

⇒ Vậy biểu thức D=1 không phụ thuộc vào giá trị của x.

° Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác

¤ Phương pháp giải:

- Vận dụng công thức và các phép biến đổi như dạng 2 và dạng 3.

* Ví dụ 1 (Bài 12 trang 157 SGK Đại số 10): Tính giá trị của biểu thức:

$small A=frac{2cos^2frac{pi }{8}-1}{1+8sin^2frac{pi }{8}.cos^2frac{pi }{8}}$

° Lời giải:

- Vận dụng công thức nhân đôi: cos2α = 2cos2α - 1 và sin2α = 2sinα.cosα

- Ta có: $small A=frac{2cos^2frac{pi }{8}-1}{1+8sin^2frac{pi }{8}.cos^2frac{pi }{8}}$

$small =frac{cosleft (2.frac{pi }{8} ight )}{1+2.left ( 2sinfrac{pi }{8}.cosfrac{pi }{8} ight )^2} =frac{cosfrac{pi }{4}}{1+2sin^2frac{pi }{4}}$

$small =frac{sqrt{2}}{2}:left [ 1+2.left (frac{sqrt{2}}{2} ight )^2 ight ]=frac{sqrt{2}}{2}:(1+1)=frac{sqrt{2}}{4}$

* Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: small A=sin15^0+tan30^0.cos15^0

° Lời giải:

- Ta có: small A=sin15^0+tan30^0.cos15^0

$small =sin15^0+frac{sin30^0}{cos30^0}.cos15^0$

$small =frac{1}{cos30^0}left ( sin15^0.cos30^0+cos15^0.sin30^0 ight )$

$small =frac{1}{cos30^0}.sin45^0 =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}}.frac{sqrt{2}}{2}=frac{2}{sqrt{3}}.frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}}{3}$

Từ khóa » Dùng Cung Liên Kết Hãy Tính Các Giá Trị Sau

Các Dạng Bài Tập Toán Lượng Giác Và Phương Pháp Giải - Toán Lớp 10

Sử Dụng Cung Liên Kết để Tính Giá Trị Lượng Giác

Cách Tính Giá Trị Lượng Giác Của Một Góc, Của Một Cung Cực Hay, Chi Tiết

Bài Tập Lượng Giác Lớp 10 Cơ Bản Có Đáp Án Chi Tiết. - Kiến Guru

Bài 2: Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung

Bài 20 Trang 200 Đại Số 10 Nâng Cao: Tính Các Giá Trị Lượng Giác Của ...

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung - Sách Bài Tập Toán 10

Toán 10 - Bài Tập Công Thức Lượng Giác - O₂ Education

Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung ( Góc ) Lượng Giác - Baitap123

Công Thức Lượng Giác đầy đủ Nhất Cho Lớp 9, Lớp 10, Lớp 11

Tính Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc Sau đây - Hoc24

Không Sử Dụng Máy Tính, Hãy Tính Giá Trị Lượng Giác Sin, Cos, Tan Của ...

Bài Giảng Môn Toán Lớp 10 - Bài 1: Cung Và Góc Lượng Giác

Đại Số 10 - Bài 1: Giá Trị Lượng Giác Của Góc (cung) Lượng Giác

Liên Hệ