Cách Tìm 2 Số Khi Biết Tổng Và Tích Của Chúng - Học Toán 123

Dựa vào hệ quả của định lý Vi-ét học ở chương trình Toán lớp 9 chúng ta có thể tìm được 2 số khi biết tổng và tích của chúng.

Phương pháp như sau:

Nếu 2 có Tổng bằng $S$ và Tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của Phương trình:

$ \displaystyle {{x}^{2}}-Sx+P=0$ (Điều kiện để có hai số đó là $S^{2}-4 P \geq 0$ )

Ví dụ: Tìm hai số $a, b$ biết tổng $S = a + b = -3$ và tích $P = ab = -4$

Vì $a + b = -3$ và $ab = -4$ nên $a, b$ là nghiệm của Phương trình : $ \displaystyle {{x}^{2}}+3x-4=0$

giải Phương trình trên ta được $ \displaystyle {{x}_{{^{1}}}}=1$ và $ \displaystyle {{x}_{2}}=-4$

Vậy nếu $a = 1$ thì $b = -4$

nếu $a = -4$ thì $b = 1$

Bài tập áp dụng:

Tìm 2 số $a$ và $b$ biết Tổng $S$ và Tích $P$

1. $S = 3 $và $P = 2$

2. $S = -3$ và $P = 6$

3. $S = 9$ và $P = 20$

4. $S = 2x$ và $P=x^{2}-y^{2}$

Bài tập nâng cao:

Tìm 2 số a và b biết

1. $a + b = 9$ và $a^{2}+b^{2}=41$

2. $a – b = 5$ và $ab = 36$

3. $a^{2}+b^{2}=61$ và $ab = 30$

Hướng dẫn giải:

1) Theo đề bài đó biết tổng của hai số $a$ và $b$, vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần Tìm tích của $a$ và $b$.

Từ $\displaystyle a+b=9\Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}=81\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}=81$

⇔ $\displaystyle ab=\frac{{81-\left( {{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}}{2}=20$

Suy ra: $a, b$ là nghiệm của Phương trình có dạng :

$ \displaystyle {{x}^{2}}-9x+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=4\\{{x}_{2}}=5\end{array} \right.$

Vậy: Nếu $a = 4$ thì $b = 5$

nếu $a = 5$ thì $b = 4$

2) Biết tích: $ab = 36$ do đó cần Tìm tổng : $a + b$

Cách 1: Đặt $c = -b$ ta có : $a + c = 5$ và $a.c = -36$

Suy ra $a, c$ là nghiệm của Phương trình : $ \displaystyle {{x}^{2}}-5x-36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-4\\{{x}_{2}}=9\end{array} \right.$

Do đó nếu $a = -4$ thì $c = 9$ nên $b = -9$

nếu $a = 9$ thì $c = -4$ nên $b = 4$

Cách 2: Từ $ \displaystyle {{\left( {a-b} \right)}^{2}}={{\left( {a+b} \right)}^{2}}-4ab\Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}={{\left( {a-b} \right)}^{2}}+4ab=169$

$ \displaystyle \Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}={{13}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a+b=-13\\a+b=13\end{array} \right.$

*) Với $ \displaystyle a+b=-13$ và ab = 36, nên a, b là nghiệm của Phương trình:

$ \displaystyle {{x}^{2}}+13x+36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-4\\{{x}_{2}}=-9\end{array} \right.$

Vậy $a = -4$ thì $b = -9$

*) Với $ \displaystyle a+b=13$ và ab = 36, nên a, b là nghiệm của Phương trình:

$ \displaystyle {{x}^{2}}-13x+36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=4\\{{x}_{2}}=9\end{array} \right.$

Vậy $a = 9$ thì $b = 4$

3) Đó biết $ab = 30$, do đó cần Tìm $a + b$:

Từ: $a^{2}+b^{2}=61$

$ \displaystyle \Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab=61+2.30=121={{11}^{2}}$$ \displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a+b=-11\\a+b=11\end{array} \right.$

*) Nếu $ \displaystyle a+b=-11$ và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của Phương trình: $ \displaystyle {{x}^{2}}+11x+30=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-5\\{{x}_{2}}=-6\end{array} \right.$

Vậy nếu $a = -5$ thì $b = -6$ ; nếu $a = -6$ thì $b = -5$

*) Nếu $ \displaystyle a+b=11$ và $ab = 30$ thì $a, b$ là hai nghiệm của Phương trình:

$ \displaystyle {{x}^{2}}-11x+30=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=5\\{{x}_{2}}=6\end{array} \right.$

Vậy nếu $a = 5$ thì $b = 6$ ; nếu $a = 6$ thì $b = 5$.