Cách Tìm Hai Số Khi Biết Tổng Và Tích Của Chúng Cực Hay - Toán Lớp 9

Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng lớp 9 (cực hay)

• Siêu sale sách Toán - Văn - Anh Vietjack 29-11 trên Shopee mall

Trang trước Trang sau

Bài viết Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng.

• Cách giải bài tập tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
• Ví dụ minh họa tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
• Bài tập vận dụng tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
• Bài tập tự luyện tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng lớp 9 (cực hay)

Quảng cáo

A. Phương pháp giải

- Bài toán: Tìm hai số u và v biết: u + v = S, u.v = P

- Cách giải:

+ Kiểm tra điều kiện để tồn tại hai số u và v: Nếu S2 < 4P thì không tồn tại hai số u và v, nếu S2 ≥ 4P thì tồn tại hai số u và v

+ Trong trường hợp tồn tại, hai số cần tìm là nghiệm của phương trình                

x2 – Sx + P = 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp:

a) Tổng của hai số là 12, tích của hai số là 7;

b) Tổng của hai số là – 9, tích của hai số là 119.

Hướng dẫn giải:

a) Vì S = 12, P = 7 thỏa mãn  nên tồn tại hai số cần tìm.

Hai số đó là nghiệm của phương trình x2 – 12x + 7 = 0

∆ = (– 12)2 – 4.7 = 144 – 28 = 116 > 0.

Quảng cáo

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệT

x1=-b+∆2a=12+1162=6+29; x2=-b-∆2a=12-1162=6-29

Vậy hai số cần tìm là: 6±29.

b) Vì S = – 9, P = 119 thì S2 = 81 < 4P = 4. 119 = 476 nên không tồn tại hai số cần tìm thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Ví dụ 2. Tìm phương trình bậc hai biết nó nhận các số 7 và  – 11 là nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Ta có phương trình bậc hai biết nó nhận các số 7 và  – 11 là nghiệm.

Xét S = (x1 + x2) = (7 – 11) = – 4 và P = x1.x2 = 7.(– 11) = – 77.

Ta thấy S2 ≥ 4P

Do đó, 7 và  – 11 là nghiệm của phương trình: X2 + 4X – 77 = 0.

Quảng cáo

C. Bài tập

Câu 1: Tìm hai số biết

a. Tổng của chúng bằng 8, tích của chúng bằng 11

b. Tổng của chúng bằng 17, tích của chúng bằng 180

Giải

a. Vì S = 8, P = 11 thỏa mãn S2 ≥ 4P nên tồn tại hai số cần tìm

Hai số đó là nghiệm của phương trình  x2 – 8x + 11 = 0

∆ = (-8)2 – 4.11 = 64 – 44 = 20 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là:

b. Với S = 17, P = 180 thì S2 = 289 < 4P = 720 nên không tồn tại hai số thỏa mãn yêu cầu của đề bài

Quảng cáo

Câu 2: Tìm hai số u và v biết

a. u + v = 15 và u.v = 36

b. u + v = 4 và u.v = 7

c. u + v = -12 và u.v = 20

Giải

a. Với S = 15, P = 36 thì S2 = 225 > 4P = 144 nên tồn tại hai số u và v

Hai số u và v là nghiệm của phương trình: x2 – 15x + 36 = 0

∆ = (-15)2 – 4.36 = 225 – 144 = 81 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy hai số cần tìm là: u = 12, v = 3 hoặc u = 3, v = 12

b. Với S = 4, P = 7 thì S2 = 16 < 4P = 28 nên không tồn tại hai số u,v thỏa

mãn yêu cầu của đề bài

c. Với S = -12, P = 20 thì S2 = 144 > 4P = 80 nên tồn tại hai số u và v

Hai số u và v là nghiệm của phương trình  x2 + 12x + 20 = 0

∆ = (12)2 – 4.20 = 144 – 80 = 64 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là: u = -2, v = -10 hoặc u = -10, v = -2

Câu 3: Tìm u – v biết u + v = 15, u.v = 36, u > v

Giải

Vì S = 15, P = 36 thỏa mãn S2 ≥ 4P nên tồn tại hai số u và v

Hai số đó là nghiệm của phương trình  x2 – 15x + 36 = 0

∆ = (-15)2 – 4.36 = 225 – 144 = 81 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là: 12 và 3

Do u > v nên u = 12 và v = 3 ⇒ u – v = 12 – 3 = 9

Câu 4: Tìm hai số x, y biết x2 + y2 = 61 và xy = 30

Giải

Theo giả thiết ta có:  

+ Xét TH1: x + y = 11 và xy = 30

Với S = 11, P = 30 thì S2 = 121 > 4P = 120 nên tồn tại hai số x và y

Hai số x và y là nghiệm của phương trình  x2 - 11x + 30 = 0

∆ = (11)2 – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy hai số cần tìm là: x = 5, y = 6 hoặc x = 6, y = 5

+ Xét TH2: x + y = -11 và xy = 30

Với S = -11, P = 30 thì S2 = 121 > 4P = 120 nên tồn tại hai số x và y

Hai số x và y là nghiệm của phương trình: x2 + 11x + 30 = 0

∆ = (-11)2 – 4.30 = 121 – 120 = 1 > 0

Suy ra phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy hai số cần tìm là: x = -5, y = -6 hoặc x = -6, y = -5

Kết hợp 2 trường hợp ta tìm được 4 cặp số x,y thỏa mãn đầu bài

x = 5, y = 6 hoặc x = 6, y = 5 hoặc x = -5, y = -6 hoặc x = -6, y = -5

Câu 5: Cho phương trình x2 – 7x + q = 0, biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

Giải

Theo Vi-et ta có: x1 + x2 = 7 (1)

Mặt khác theo giả thiết hiệu 2 nghiệm bằng 11 nên: x1 - x2 = 11 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Ta có: x1x2 = q = 9.(-2) = -18

Vậy q = -18 và 2 nghiệm của phương trình là 9 và -2

Câu 6: Cho phương trình x2 – qx + 50 = 0, biết phương trình có hai nghiệm và có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia. Tìm q và hai nghiệm của phương trình

Giải

Theo Vi-et ta có: x1x2 = 50 (1)

Mặt khác theo giả thiết,phương trình có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia nên: x1 = 2x2 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

Với x1 = 10, x2 = 5 thì:

Với x1 = -10, x2 = -5 thì:

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm hai số a và b, biết tổng S và tích P trong mỗi trường hợp sau:

a) S = 3 và P = 2.

b) S = –3 và P = 6.

c) S = 9 và P = 20.

d) S = 2x và P = x2 – y2.

Bài 2. Tìm hai số a và b trong mỗi trường hợp sau:

a) a + b = 9 và a2 + b2 = 41.

b) a – b = 5 và ab = 36.

c) a2 + b2 = 61 và ab = 30.

Bài 3. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2+3 và 2-3.

Bài 4. Cho phương trình x2 + 5x – 3m = 0 (m là tham số).

a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là x1 và x2.

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x12 và 2x22.

Bài 5. Cho phương trình 3x2 + 5x – m = 0 (m là tham số).

a) Tìm tham số m để phương trình có hai nghiệm là x1 và x2.

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1x2+1 và x2x1+1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai
• Cách giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm cực hay
• Cách phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử để giải phương trình bậc hai
• Cách lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó

• Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Tủ sách VIETJACK luyện thi vào 10 cho 2k10 (2025):

• Giải mã đề thi vào 10 theo đề Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh (300 trang - từ 99k/1 cuốn)
• Bộ đề thi thử 10 chuyên (120 trang - từ 99k/1 cuốn)
• Cấp tốc 7,8,9+ Toán Văn Anh thi vào 10 (400 trang -từ 119k)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH ĐỀ THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và sách dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi vào 10 Toán Văn Anh của Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh... có lời giải

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Sách Toán - Văn- Anh 6-7-8-9, luyện thi vào 10

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Trang trước Trang sau chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học

• Giải Tiếng Anh 9 Global Success
• Giải sgk Tiếng Anh 9 Smart World
• Giải sgk Tiếng Anh 9 Friends plus
• Lớp 9 Kết nối tri thức
• Soạn văn 9 (hay nhất) - KNTT
• Soạn văn 9 (ngắn nhất) - KNTT
• Giải sgk Toán 9 - KNTT
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - KNTT
• Giải sgk Lịch Sử 9 - KNTT
• Giải sgk Địa Lí 9 - KNTT
• Giải sgk Giáo dục công dân 9 - KNTT
• Giải sgk Tin học 9 - KNTT
• Giải sgk Công nghệ 9 - KNTT
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - KNTT
• Giải sgk Âm nhạc 9 - KNTT
• Giải sgk Mĩ thuật 9 - KNTT
• Lớp 9 Chân trời sáng tạo
• Soạn văn 9 (hay nhất) - CTST
• Soạn văn 9 (ngắn nhất) - CTST
• Giải sgk Toán 9 - CTST
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - CTST
• Giải sgk Lịch Sử 9 - CTST
• Giải sgk Địa Lí 9 - CTST
• Giải sgk Giáo dục công dân 9 - CTST
• Giải sgk Tin học 9 - CTST
• Giải sgk Công nghệ 9 - CTST
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - CTST
• Giải sgk Âm nhạc 9 - CTST
• Giải sgk Mĩ thuật 9 - CTST
• Lớp 9 Cánh diều
• Soạn văn 9 Cánh diều (hay nhất)
• Soạn văn 9 Cánh diều (ngắn nhất)
• Giải sgk Toán 9 - Cánh diều
• Giải sgk Khoa học tự nhiên 9 - Cánh diều
• Giải sgk Lịch Sử 9 - Cánh diều
• Giải sgk Địa Lí 9 - Cánh diều
• Giải sgk Giáo dục công dân 9 - Cánh diều
• Giải sgk Tin học 9 - Cánh diều
• Giải sgk Công nghệ 9 - Cánh diều
• Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 9 - Cánh diều
• Giải sgk Âm nhạc 9 - Cánh diều
• Giải sgk Mĩ thuật 9 - Cánh diều