Cho đường Tròn Tâm O đường Kính AB. Trên đường Tròn ( O ) Lấy ...

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

a) Chứng minh \(OECH\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(CH \bot AB = \left\{ H \right\} \Rightarrow \angle CHO = {90^0}.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:

\(AD = CD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(OA = OC\,\,\left( { = R} \right)\)

\( \Rightarrow OD\) là đường trung trực của \(AC.\)

\( \Rightarrow OD \bot AC = \left\{ E \right\} \Rightarrow \angle CEO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(OECH\) ta có: \(\angle CEO + \angle CHO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow OECH\) là tứ giác nội tiếp. (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\))

b) Gọi \(F\) là giao điểm của hai đường thẳng \(CD\) và \(AB.\) Chứng minh \(2\angle BCF + \angle CFB = {90^0}.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có:

\(\angle BAC = \angle BCF\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BC\)) (1)

Xét \(\Delta CBA\) và \(\Delta HBC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle CBA\,\,chung\\\angle BCA = \angle CHB = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta CBA \sim \Delta HBC\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle BAC = \angle HCB\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (hai góc tương ứng).

Từ (1) và (2) suy ra: \(\angle BCF = \angle HCB\)

Mặt khác ta có: \(\Delta CHF\) vuông tại H (do \(CH \bot AB\) ) khi đó ta có:

\(\angle HCF + \angle CFH = {90^0} \Leftrightarrow 2\angle BCF + \angle CFB = {90^0}\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

c) Gọi \(M\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BD\) và \(CH.\) Chứng minh hai đường thẳng \(EM\) và \(AB\) song song với nhau.

Gọi \(K\) là giao điểm của \(DB\) và \(AC.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle ABC = \angle ACD\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AC\))

Ta có: \(\Delta ACH\) vuông tại \(H \Rightarrow \angle ACH + \angle CAH = {90^0}.\)

           \(\Delta ABC\) vuông tại \(C \Rightarrow \angle CAB + \angle CBA = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle ACH = \angle ABC\) (cùng phụ với \(\angle CAH\))

\( \Rightarrow \angle CAH = \angle DCA = \angle DCK\,\,\left( { = \angle CBA} \right)\)

\( \Rightarrow CK\) là phân giác trong của \(\angle DCM\) trong \(\Delta CDM.\)

Lại có: \(\angle BCF = \angle BCH = \angle BCM\,\,\,\left( {cm\,\,b} \right)\)

\( \Rightarrow BC\) là phân giác ngoài của \(\angle DCM\) trong \(\Delta DCM.\)

Áp dụng tính chất tia phân giác của tam giác trong \(\Delta DCM\) ta có:  \(\frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{CD}}.\)

Lại có: \(AC = AD\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\( \Rightarrow \frac{{KM}}{{KD}} = \frac{{BM}}{{BD}} = \frac{{CM}}{{AD}}.\)

Ta có: \(CH//AD\,\,\left( { \bot AB} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{HM}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{BD}}\) (định lý Ta-let)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{HM}}{{AD}} = \frac{{CM}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{BD}}\\ \Rightarrow HM = CM\end{array}\)

\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(CH.\)

Mà \(E\) là trung điểm của \(CA\,\,\) (\(OD\) là trung trực của \(AC\))

\( \Rightarrow ME\) là đường trung bình của \(\Delta CAH.\) (định nghĩa đường trung bình)

\( \Rightarrow ME//AH\,\,\,hay\,\,\,ME//AB.\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)