Chứng Minh Lại định Lý Wilson - Vườn Toán
Có thể bạn quan tâm
Trang
- Trang nhà
- Kỹ năng mềm
- Giới thiệu
Chứng minh lại định lý Wilson
Kỳ trước chúng ta đã học về modulo cho số hữu tỷ. Để miêu tả ứng dụng của nó, hôm nay chúng ta sẽ chứng minh lại Định lý Wilson bằng cách sử dụng ngôn ngữ modulo. Định lý Wilson là một định lý nổi tiếng trong số học. Định lý này được phát biểu như sau.Định lý Wilson. Nếu $p$ là một số nguyên tố thì $$(p-1)! = -1 \pmod{p}.$$Ví dụ,
- với $p=2$, $$1! = 1= -1 \pmod{2}$$
- với $p=3$, $$2! = 2 = -1 \pmod{3}$$
- với $p=5$, $$4! = 24 = -1 \pmod{5}$$
- với $p=7$, $$6!= 720 = -1 \pmod{7}$$
Định lý. Cho $n$, $a$, $b$ là các số nguyên. Vậy thì $$a =_{Q} ~b \pmod{n}$$ sẽ tương đương với điều kiện $$a=b \pmod{n}.$$Giả sử chúng ta cần chứng minh $a=b \pmod{n}$ cho hai số nguyên $a$ và $b$ nào đó. Đôi khi, nếu chúng ta chứng minh theo modulo cho số nguyên thì có thể rất khó để chứng minh được trực tiếp $a=b \pmod{n}$. Tuy nhiên, nếu chúng ta dùng modulo cho số hữu tỷ, thì trong quá trình chứng minh, chúng ta không còn bị hạn chế bởi số nguyên nữa, mà chúng ta có thể dùng cả những số hữu tỷ. Và nhờ vậy, có thể chúng ta sẽ chứng minh được $$a =_{Q} ~b \pmod{n}$$ một cách dễ dàng hơn. Rồi từ đây, chúng ta sử dụng định lý trên để đưa về $$a=b \pmod{n}.$$ Bây giờ chúng ta sẽ dùng phương pháp trên để chứng minh Định lý Wilson. Lời giải sẽ dùng công thức nội suy Newton với đa thức sau đây $$P(x) = x^{p-1} -1.$$ Theo Định lý nhỏ Fermat thì đa thức này sẽ có tính chất sau đây $$P(1) = P(2) = P(3) = \dots = P(p-1) = 0 \pmod{p}.$$ Chứng minh Định lý Wilson sử dụng công thức Newton Nếu $P(x)$ là một đa thức bậc $n$ và $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, $x_{n+1}$ là $n+1$ số khác nhau thì công thức nội suy Newton là công thức sau đây $$P(x)=\alpha_1 + \alpha_2 (x−x_1)+ \alpha_3 (x−x_1)(x−x_2)+ \dots + \alpha_{n+1} (x−x_1)(x−x_2) \dots (x−x_n)$$ Các hệ số trong công thức nội suy Newton được xác định như sau. Muốn xác định hệ số $\alpha_1$, chúng ta thay $x=x_1$ vào công thức. Muốn xác định hệ số $\alpha_2$, chúng ta thay $x=x_2$. Tương tự như vậy, hệ số cuối cùng $\alpha_{n+1}$ sẽ được xác định nếu chúng ta thay $x=x_{n+1}$. Đa thức mà chúng ta sẽ dùng là đa thức $P(x)=x^{p−1}−1$ có bậc là $p−1$. Chúng ta sẽ sử dụng $x_1=1$, $x_2=2$, $\dots$, $x_p=p$. Công thức nội suy Newton sẽ trở thành như sau $$P(x)=x^{p−1}−1 = \alpha_1 + \alpha_2 (x−1)+ \alpha_3 (x−1)(x−2)+ \dots + \alpha_{p} (x−1)(x−2) \dots (x−(p-1))$$ Rõ ràng các số $\alpha_i$ là các số hữu tỷ. Chúng ta sẽ chứng minh hai điều sau:
- $\alpha_{p} = 1$
- với mọi $i=1,2, \dots, p-1$, $$\alpha_i =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
- Thay $x=1$, chúng ta có $$\alpha_1 = 0$$
- Thay $x=2$, chúng ta có $$P(2) = \alpha_2.$$ Theo Định lý nhỏ Fermat thì $P(2) = 0 \pmod{p}$, do đó $$\alpha_2 =_{Q} ~0 \pmod{p}$$
- Thay $x=3$, chúng ta có $$P(3) = \alpha_2 (3-1) + \alpha_3 (3-1)(3-2).$$ Theo Định lý nhỏ Fermat thì $P(3) = 0 \pmod{p}$, chúng ta lại có $\alpha_2 =_{Q} ~0 \pmod{p}$, do đó $$\alpha_3 (3-1)(3-2) =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$ Từ đó suy ra $$\alpha_3 =_{Q} ~0 \pmod{p}$$
- Tương tự, thay $x=i$, chúng ta có $$P(i) = \alpha_2 (i-1) + \alpha_3 (i-1)(i-2) + \dots + \alpha_i ~(i-1)!$$ Theo Định lý nhỏ Fermat thì $P(i) = 0 \pmod{p}$, chúng ta lại có $$\alpha_2 =_{Q} ~\alpha_3 =_{Q} ~\dots =_{Q} ~\alpha_{i-1} =_{Q} ~0 \pmod{p},$$ do đó $$\alpha_i ~(i-1)! =_{Q} ~0 \pmod{p},$$ từ đó suy ra $$\alpha_i =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
- $\alpha_{p} = 1$
- với mọi $i=1,2, \dots, p-1$, $$\alpha_i =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
Ủng hộ Vườn Toán trên facebook
Lưu trữ Blog
- ► 2017 (1)
- ► tháng 2 (1)
- ► 2016 (7)
- ► tháng 12 (1)
- ► tháng 10 (1)
- ► tháng 5 (1)
- ► tháng 4 (1)
- ► tháng 3 (2)
- ► tháng 2 (1)
- ► 2015 (12)
- ► tháng 12 (1)
- ► tháng 11 (1)
- ► tháng 10 (1)
- ► tháng 7 (1)
- ► tháng 5 (2)
- ► tháng 4 (4)
- ► tháng 3 (1)
- ► tháng 1 (1)
- ► 2014 (12)
- ► tháng 12 (1)
- ► tháng 11 (3)
- ► tháng 8 (1)
- ► tháng 7 (1)
- ► tháng 6 (1)
- ► tháng 4 (1)
- ► tháng 3 (1)
- ► tháng 2 (2)
- ► tháng 1 (1)
- ► 2013 (26)
- ► tháng 10 (3)
- ► tháng 9 (2)
- ► tháng 8 (2)
- ► tháng 7 (2)
- ► tháng 6 (3)
- ► tháng 5 (3)
- ► tháng 4 (3)
- ► tháng 3 (3)
- ► tháng 2 (3)
- ► tháng 1 (2)
- ► 2011 (7)
- ► tháng 1 (7)
English Version
Bài toán kết nối facebook
Phép nhân thời đồ đá
Mắt Biếc Hồ Thu
Lục giác kỳ diệu
Định lý Pitago
1 = 2012 = 2013
Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình
James vẽ hình
Câu hỏi của James
Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!
Câu đố mẹo về đo lường
Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều
Chào năm mới 2014
Chào năm mới 2015
Chào năm mới 2016
Không gian 4 chiều là gì?
Dựng hình đa giác đều
Dựng đa giác đều 15 cạnh
Ngày số Pi (2015)
Ngày số Pi (2016)
0.9999999... có bằng 1 không? (2015)
Hình tam giác
Bàn cờ vua và kim tự tháp
Dãy số
Dãy số - Phần 1Dãy số - Phần 2
Dãy số - Phần 3
Dãy số - Phần 4
Dãy số - Phần 5
Dãy số - Phần 6
Dãy số - Phần 7
Dãy số - Phần 8
Dãy số - Phần 9
Đại số
Tam giác PascalQuy nạp
Quy nạp II
Quy nạp III
Nhị thức Newton
1 = 2012 = 2013
Đa thức nội suy Newton
Đa thức nội suy Lagrange
Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy
Tổng luỹ thừa
Số phức
Số phứcCông thức Moivre
Lượng giác
Công thức lượng giác cho góc bội
Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều
Ngày số Pi (2016)
Radian là gì?
Số học
modulo - Phần 1
modulo - Phần 2
modulo - Phần 3
modulo - Phần 4
modulo - Phần 5
modulo - Phần 6
Số nguyên tố
Định lý Euclid về số nguyên tố
Một vài bài toán về số nguyên tố
Định lý Wilson
Bộ số Pitago
Modulo cho số hữu tỷ
Modulo cho số hữu tỷ II
Chứng minh lại định lý Wilson
Bổ đề Bezout
Thuật toán Euclid
Tổng luỹ thừa
Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme
Câu đố mẹo về đo lường
Dựng đa giác đều 15 cạnh
Bò đi con bọ cạp!
Liên phân số Fibonacci
Hằng đẳng thức Pitago
Hình vuông số kỳ diệu của Euler
Tổ hợp
Bài toán kết nối facebookDãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình
Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci
Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal
Hình học
Định lý PitagoĐịnh lý đường cao tam giác vuông
Định lý Morley
Phương tích
Trục đẳng phương và tâm đẳng phương
Định lý Ceva và Định lý Menelaus
Lục giác kỳ diệu
Định lý Pascal
Định lý Pappus
Cánh bướm Pascal
Bài toán con bướm
Định lý Ngôi Sao Do Thái
Hãy xem xét trường hợp đặc biệt
Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp
Điểm Fermat của hình tam giác
Điểm Fermat của hình tam giác II
Dựng hình
Dựng hình bằng thước và compaBài toán chia hình tứ giác
Dựng hình ngũ giác đều
Dựng hình đa giác đều
Dựng đa giác đều 15 cạnh
Định lý đường cao tam giác vuông
Thuật toán dựng hình
Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều
Dựng hình chỉ bằng compa
Dùng compa chia đều đoạn thẳng
Giải tích
Ngày số Pi 2015Chuỗi Taylor
Tổng nghịch đảo bình phương
Giúp bé thông minh
Xì-tin năng động
Tạp chí toán học
Kỹ năng mềm
Tạo lập tài khoản googleCách tạo blog toán học
Học toán trên Wolfram
Dịch tài liệu toán học
Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX
Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive
Từ khóa » định Lý Wilson Bài Tập
-
Định Lý Wilson - Vườn Toán
-
Định Lý Wilson - VNOI
-
Định Lý John Wilson Và ứng Dụng - Van Duc Chin
-
Định Lý Wolstenholme Và ứng Dụng - Lê Phúc Lữ
-
Định Lý Wilson – Wikipedia Tiếng Việt
-
[PDF] So-hoc_khtnhn.pdf
-
[DOC] 3. Định Lý Wilson, Fermat, Euler - Diễn đàn Toán Học
-
5 Định Lý Wilson Và định Lý Euler - Tài Liệu Text - 123doc
-
Một Số Chứng Minh định Ký Fermat Nhỏ Và định Lý Wilson - Tài Liệu Text
-
Một Mở Rộng Cho định Lý Wilson - · MATHS.VN
-
[PDF] ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
-
Chứng Minh định Lí Wilson - Diễn Đàn MathScope
-
[PDF] CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG DƢ VÀ HÀM SỐ HỌC - VNU