Chứng Minh Lại định Lý Wilson - Vườn Toán

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Chứng minh lại định lý Wilson

Kỳ trước chúng ta đã học về modulo cho số hữu tỷ. Để miêu tả ứng dụng của nó, hôm nay chúng ta sẽ chứng minh lại Định lý Wilson bằng cách sử dụng ngôn ngữ modulo. Định lý Wilson là một định lý nổi tiếng trong số học. Định lý này được phát biểu như sau.
Định lý Wilson. Nếu $p$ là một số nguyên tố thì $$(p-1)! = -1 \pmod{p}.$$
Ví dụ,
  • với $p=2$, $$1! = 1= -1 \pmod{2}$$
  • với $p=3$, $$2! = 2 = -1 \pmod{3}$$
  • với $p=5$, $$4! = 24 = -1 \pmod{5}$$
  • với $p=7$, $$6!= 720 = -1 \pmod{7}$$
Thường thường để giải quyết một bài toán về số nguyên bằng cách sử dụng modulo cho số hữu tỷ thì chúng ta sử dụng một định lý đơn giản sau đây
Định lý. Cho $n$, $a$, $b$ là các số nguyên. Vậy thì $$a =_{Q} ~b \pmod{n}$$ sẽ tương đương với điều kiện $$a=b \pmod{n}.$$
Giả sử chúng ta cần chứng minh $a=b \pmod{n}$ cho hai số nguyên $a$ và $b$ nào đó. Đôi khi, nếu chúng ta chứng minh theo modulo cho số nguyên thì có thể rất khó để chứng minh được trực tiếp $a=b \pmod{n}$. Tuy nhiên, nếu chúng ta dùng modulo cho số hữu tỷ, thì trong quá trình chứng minh, chúng ta không còn bị hạn chế bởi số nguyên nữa, mà chúng ta có thể dùng cả những số hữu tỷ. Và nhờ vậy, có thể chúng ta sẽ chứng minh được $$a =_{Q} ~b \pmod{n}$$ một cách dễ dàng hơn. Rồi từ đây, chúng ta sử dụng định lý trên để đưa về $$a=b \pmod{n}.$$ Bây giờ chúng ta sẽ dùng phương pháp trên để chứng minh Định lý Wilson. Lời giải sẽ dùng công thức nội suy Newton với đa thức sau đây $$P(x) = x^{p-1} -1.$$ Theo Định lý nhỏ Fermat thì đa thức này sẽ có tính chất sau đây $$P(1) = P(2) = P(3) = \dots = P(p-1) = 0 \pmod{p}.$$ Chứng minh Định lý Wilson sử dụng công thức Newton Nếu $P(x)$ là một đa thức bậc $n$ và $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, $x_{n+1}$ là $n+1$ số khác nhau thì công thức nội suy Newton là công thức sau đây $$P(x)=\alpha_1 + \alpha_2 (x−x_1)+ \alpha_3 (x−x_1)(x−x_2)+ \dots + \alpha_{n+1} (x−x_1)(x−x_2) \dots (x−x_n)$$ Các hệ số trong công thức nội suy Newton được xác định như sau. Muốn xác định hệ số $\alpha_1$, chúng ta thay $x=x_1$ vào công thức. Muốn xác định hệ số $\alpha_2$, chúng ta thay $x=x_2$. Tương tự như vậy, hệ số cuối cùng $\alpha_{n+1}$ sẽ được xác định nếu chúng ta thay $x=x_{n+1}$. Đa thức mà chúng ta sẽ dùng là đa thức $P(x)=x^{p−1}−1$ có bậc là $p−1$. Chúng ta sẽ sử dụng $x_1=1$, $x_2=2$, $\dots$, $x_p=p$. Công thức nội suy Newton sẽ trở thành như sau $$P(x)=x^{p−1}−1 = \alpha_1 + \alpha_2 (x−1)+ \alpha_3 (x−1)(x−2)+ \dots + \alpha_{p} (x−1)(x−2) \dots (x−(p-1))$$ Rõ ràng các số $\alpha_i$ là các số hữu tỷ. Chúng ta sẽ chứng minh hai điều sau:
  • $\alpha_{p} = 1$
  • với mọi $i=1,2, \dots, p-1$, $$\alpha_i =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
Chứng minh $\alpha_{p} = 1$ Để chứng minh $\alpha_{p} = 1$, chúng ta so sánh hệ số của bậc $p−1$ trong công thức nội suy Newton $$P(x)=x^{p−1}−1 = \alpha_1 + \alpha_2 (x−1)+ \alpha_3 (x−1)(x−2)+ \dots + \alpha_{p} (x−1)(x−2) \dots (x−(p-1))$$ Chúng ta thấy rằng ở vế bên trái, hệ số của $x^{p−1}$ chính là $1$, còn ở vế bên phải hệ số của $x^{p−1}$ chính là $\alpha_p$. Do đó $\alpha_{p} = 1$. Chứng minh $\alpha_i =_{Q} ~0 \pmod{p}$ cho các trường hợp $i=1,2, \dots, p-1$ Từ công thức nội suy $$P(x)=x^{p−1}−1 = \alpha_1 + \alpha_2 (x−1)+ \alpha_3 (x−1)(x−2)+ \dots + \alpha_{p} (x−1)(x−2) \dots (x−(p-1))$$
  • Thay $x=1$, chúng ta có $$\alpha_1 = 0$$
  • Thay $x=2$, chúng ta có $$P(2) = \alpha_2.$$ Theo Định lý nhỏ Fermat thì $P(2) = 0 \pmod{p}$, do đó $$\alpha_2 =_{Q} ~0 \pmod{p}$$
  • Thay $x=3$, chúng ta có $$P(3) = \alpha_2 (3-1) + \alpha_3 (3-1)(3-2).$$ Theo Định lý nhỏ Fermat thì $P(3) = 0 \pmod{p}$, chúng ta lại có $\alpha_2 =_{Q} ~0 \pmod{p}$, do đó $$\alpha_3 (3-1)(3-2) =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$ Từ đó suy ra $$\alpha_3 =_{Q} ~0 \pmod{p}$$
  • Tương tự, thay $x=i$, chúng ta có $$P(i) = \alpha_2 (i-1) + \alpha_3 (i-1)(i-2) + \dots + \alpha_i ~(i-1)!$$ Theo Định lý nhỏ Fermat thì $P(i) = 0 \pmod{p}$, chúng ta lại có $$\alpha_2 =_{Q} ~\alpha_3 =_{Q} ~\dots =_{Q} ~\alpha_{i-1} =_{Q} ~0 \pmod{p},$$ do đó $$\alpha_i ~(i-1)! =_{Q} ~0 \pmod{p},$$ từ đó suy ra $$\alpha_i =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
Tóm lại, chúng ta chứng minh được
  • $\alpha_{p} = 1$
  • với mọi $i=1,2, \dots, p-1$, $$\alpha_i =_{Q} ~0 \pmod{p}.$$
Do đó từ công thức Newton $$P(x)=x^{p−1}−1 = \alpha_1 + \alpha_2 (x−1)+ \alpha_3 (x−1)(x−2)+ \dots + \alpha_{p} (x−1)(x−2) \dots (x−(p-1))$$ chúng ta suy ra rằng với mọi số hữu tỷ $x$ thì $$P(x)=x^{p−1}−1 =_{Q} ~ (x−1)(x−2) \dots (x−(p-1)) \pmod{p}$$ Thay $x=0$, chúng ta có $$-1 =_{Q} ~ (−1)(−2) \dots (−(p-1)) \pmod{p}.$$ Tức là $$(-1)^{p-1} (p-1)! =_{Q} -1 \pmod{p}.$$ Nhưng cả hai vế là số nguyên, cho nên $$(-1)^{p-1} (p-1)! = -1 \pmod{p}.$$ Từ đó chúng ta có Định lý Wilson $$(p-1)! = -1 \pmod{p}.$$ Hôm nay chúng ta đã chứng minh định lý Wilson bằng cách sử dụng định lý nhỏ Fermat và công thức nội suy Newton. Cách chứng minh này dùng ngôn ngữ modulo cho số hữu tỷ. Các bạn có thể đọc thêm các bài viết về Định lý Wilson trên blog này theo các link sau đây: Định lý Wilson I, Định lý Wilson II. Chúng ta tạm dừng ở đây, và xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau. Bài tập về nhà. Chứng minh định lý Wilson bằng cách sử dụng công thức nội suy Lagrange theo các bước sau đây. Giả sử $p$ là một số nguyên tố. 1. Cho $f(x)$ là một đa thức có hệ số hữu tỷ và có bậc bé thua hoặc bằng $p-2$. Dùng công thức nội suy Lagrange để chứng minh rằng nếu $$f(1) =_{Q} ~f(2) =_{Q} ~f(3) =_{Q} \dots =_{Q} ~f(p-1) =_{Q} 0 \pmod{p}$$ thì tất cả các hệ số của đa thức $f(x)$ sẽ $=_{Q} ~0 \pmod{p}$. 2. Cho $f(x)$ là một đa thức có hệ số nguyên và có bậc bé thua hoặc bằng $p-2$. Chứng minh rằng nếu $$f(1) = f(2) = f(3) = \dots = f(p-1) = 0 \pmod{p}$$ thì tất cả các hệ số của đa thức $f(x)$ sẽ $= 0 \pmod{p}$. 3. Lấy $$f(x) = (x^{p-1} -1) - (x-1)(x-2) \dots (x-(p-1))$$ Chứng minh rằng các hệ số của đa thức $f(x)$ sẽ $= 0 \pmod{p}$. Hệ số tự do của đa thức trên bằng $$-1 - (-1)^{p-1} (p-1)!$$ Từ đó suy ra Định lý Wilson. Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2012 (36)
    • ▼  tháng 11 (7)
      • Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme
      • Tổng luỹ thừa
      • Thuật toán Euclid
      • Bổ đề Bezout
      • Chứng minh lại định lý Wilson
      • Modulo cho số hữu tỷ II
      • Modulo cho số hữu tỷ

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » định Lý Wilson Bài Tập