Định Lý John Wilson Và ứng Dụng - Van Duc Chin

Trang chủ » định Lý Wilson Bài Tập » Định Lý John Wilson Và ứng Dụng - Van Duc Chin

Có thể bạn quan tâm

John Wilson là người đã phát biểu định lý vào thế kỷ 18. Lagrange là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho định lý này năm 1773. Có bằng chứng cho thấy Leibniz cũng đã biết về định lý này, tuy nhiên ông đã không công bố.

(Định lý này được khám phá lần đầu bởi Bhaskarai (600 – 680), sau được giải thích bởi Haytham vào khoảng năm 1000) 

1. Định lý. Cho p là số tự nhiên lớn hơn 1, khi đó p là số nguyên tố khi và chỉ khi (p-1)!+1 chia hết cho p.

2. Chứng minh định lý

Chứng minh 1.

i) Nếu (p-1)!+1 chia hết cho p thì p là số nguyên tố.

Thật vậy:

Vì khi đó p sẽ nguyên tố cùng nhau với các số từ 1 đến p-1 nên p nguyên tố.

ii) Chiều ngược lại ta phải chứng minh “nếu p là số nguyên tố thì (p-1)!+1 chia hết cho p“.

Xét đa thức:{\displaystyle g(x)=(x-1)\cdot (x-2)...\cdot (x-(p-1))}

và:{\displaystyle f(x)=g(x)-(x^{p-1}-1)}.

Phương trình {g\left ( x \right )\equiv 0\left ( modp \right )} có {p-1} nghiệm {1,2,...,p-1}

Mà đa thức f(x) có bậc nhỏ hơn p-1.

Do đó, theo định lý Lagrange các hệ số của f(x) đồng dư với 0 theo module p.

Hệ số tự do của f(x) bằng (p-1)!+1. Suy ra điều phải chứng minh.

Chứng minh 2.

Chứng minh 3.

Chứng minh 4.

Chứng minh 5.

3. Bài tập ứng dụng

Bài 1. Chứng minh rằng với p là số nguyên tố thì {\left ( p-2 \right )!-1\vdots p}

Bài 2. Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lớn hơn 5 thì {\left ( p-2 \right )!-1} không là lũy thừa của p

Bài 3. Cho n là số nguyên dương . Tìm {gcd \left ( n!+1,\left ( n+1 \right )! \right )}

Bài 4. Chứng minh rằng với p là số nguyên tố thì  phần dư của phép chia {\left ( p-2 \right )!-1\vdots p} cho p(p-1) là p-1

Share this:

  • Twitter
  • Facebook
Like Loading...

Related

Từ khóa » định Lý Wilson Bài Tập