Một Số Chứng Minh định Ký Fermat Nhỏ Và định Lý Wilson - Tài Liệu Text

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (59 trang)

Trang chủ

Thể loại khác

Tài liệu khác

Một số chứng minh định ký fermat nhỏ và định lý wilson

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (337.22 KB, 59 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC——————–o0o——————–BÙI THỊ MINH HẢIMỘT SỐ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀĐỊNH LÝ WILSONLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCTHÁI NGUYÊN - 2017ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC——————–o0o——————–BÙI THỊ MINH HẢIMỘT SỐ CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ FERMAT NHỎ VÀĐỊNH LÝ WILSONChuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấpMã số: 60460113LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học:TS. NGUYỄN ĐÌNH BÌNHTHÁI NGUYÊN - 2017iiiMục lụcLời mở đầu11332Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson1.1 Một số kết quả về đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.21.3Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ . . . . . . . . . . .Chứng minh ban đầu Định lý Wilson . . . . . . . . . . . . . .7151.4Ứng dụng giải một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson352.12.2Một dạng tổng quát của Định lý Fermat nhỏ . . . . . . . . . .Một dạng tổng quát của Gauss về Định lý Wilson . . . . . . .35392.32.4Một số chứng minh tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44501Lời mở đầuĐịnh lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson là hai trong những định lý hữu ích,nổi tiếng trong toán học. Chúng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau,tuy nhiên trong luận văn này, tác giả tập trung vào trình bày các chứng minhban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng, các chứng minh tổ hợp gầnđây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson. Thông qua việc chứng minhtổ hợp, tác giả muốn thể hiện gần đây các nhà toán học vẫn đang tiếp tục nghiêncứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lý trên trong suốt hai thếkỷ qua.Mục đích nghiên cứuTrình bày các chứng minh ban đầu của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilsonvà dạng mở rộng của chúng, sau đó trình bày thêm một số chứng minh tổ hợpgần đây. Đồng thời trình bày một số ứng dụng của hai định lý trên.Nhiệm vụ nghiên cứu- Trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ vàĐịnh lý Wilson.- Trình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.- Một số ứng dụng của hai định lý này.Dự kiến đóng gópTừ lịch sử các chứng minh ban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng,các chứng minh tổ hợp gần đây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.Thông qua việc chứng minh tổ hợp, chúng tôi muốn thể hiện các nhà toán họcvẫn đang tiếp tục nghiên cứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lýtrên trong suốt hai thế kỷ qua. Đây chính là nét mới so với kiến thức đã học ở2bậc Đại học.Ngoài phần mở đầu và kết luận, bố cục Luận văn dự kiến có 02 chươngchính.Chương 1. Định lý Fermat nhỏ và Định lý WilsonTrình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ vàĐịnh lý Wilson.Chương 2. Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý WilsonTrình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson, ứng dụnghai định lý đó.Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Đình Bình. Tác giảxin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoahọc của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫnvà tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luậnvăn.Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã thamgia giảng dạy lớp Cao học Toán K9B2 (khóa 2015–2017); Nhà trường và cácphòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đạihọc Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tạitrường.Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạođơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhấtcho tôi khi học tập và nghiên cứu.Do còn hạn chế về nhiều mặt nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Rấtmong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn.Tác giảBùi Thị Minh Hải3Chương 1Định lý Fermat nhỏ và Định lý WilsonMục đích của chương là trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu vềĐịnh lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.Trong suốt luận văn, nhiều khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết số vàtổ hợp sẽ được sử dụng trong chứng minh của Định lý Fermat nhỏ và Định lýWilson. Những chứng minh của định lý chính được sử dụng có thể được tìmthấy trong hầu hết các sách lý thuyết số và tổ hợp. Những bổ đề quan trọng đãđược trình bày trong chương này.1.1Một số kết quả về đồng dưTrong mục này, tác giả trình bày một số kết quả về đồng dư, làm cơ sở đểchứng minh Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.Những kết quả trong mục này được tác giả tham khảo từ [1],[2].Định nghĩa 1.1.1. Cho a, b và m là các số nguyên, và m > 0. Nếu m|(a − b) thìta nói a đồng dư với b (mod m) và ta viếta≡b(mod m).Các khái niệm về đồng dư lần đầu tiên được chính thức giới thiệu bởi Gauss4trong chương thứ nhất của cuốn Disquisitiones Aritmeticae. Ông chọn kí hiệu≡ bởi sự gần gũi của nó với đại số [5, p.65]Bổ đề 1.1.2. Nếu ac ≡ bc (mod m) và gcd (c, m) = 1, thì a ≡ b (mod m).Bổ đề 1.1.3. (Định lý Nhị thức). Nếu n là số nguyên dương thìnn(x + y) =∑k=0vớink=nkxn−k yk ,n!là số các tổ hợp chập k của n phần tử.k!(n − k)!Bổ đề 1.1.4. (Định lý đa thức). Nếu k1 , k2 , . . . , km và n là các số nguyên khôngâm sao cho với n ≥ 1 và k1 + k2 + . . . + km = n, thì(x1 + x2 + . . . + xm )n =∑nk1 +k2 +...+km =nvớink1 , k2 , . . . , km=k1 , k2 , . . . , kmkmx1k1 x2k2 . . . xm,n!là số các hoán vị lặp của n phần tử.k1 !k2 ! . . . km !Bổ đề 1.1.5. (Định lý phần dư Trung Hoa). Cho m1 , m2 , . . . , mr với r ≥ 2 là cácsố tự nhiên sao cho chúng nguyên tố cùng nhau từng đôi một và có tích bằng m.Khi đó hệ r phương trình đồng dư tuyến tính:x ≡ a1(mod m1 )x ≡ a2...(mod m2 )x ≡ ar(mod mr )có nghiệm duy nhất (mod m).5Bổ đề 1.1.6. Nếu a và b là các số nguyên sao cho a ≥ b > 0, khi đó sẽ chỉ tồntại duy nhất các số nguyên q, r sao cho a = qb + r và 0 ≤ r < b.Bổ đề 1.1.7. Cho v là bậc của x (mod N). Nghĩa là v là số nguyên dương nhỏnhất sao cho xv ≡ 1 (mod N). Khi đó hệ {1, x, x2 , . . . , xv−1 } là phân biệt (mod N)và nguyên tố cùng nhau với N.Bổ đề 1.1.8. Cho d = gcd(a, m). Nếu d|b, thì ax ≡ b (mod m) có chính xác dnghiệm (mod m).Bổ đề 1.1.9. Nếu a2 ≡ 1(mod p) và gcd(a, p) = 1 thì a ≡ 1 (mod p) hoặca ≡ p − 1(mod p).Bổ đề 1.1.10. Nếu p là số nguyên tố và 0 < j < p thì p là ước củaChứng minh. Ta có=p!, vì 0 < j < p nên sẽ không có p ở mẫuj!(p − j)!p, nhưng sẽ có một nhân tử p ở tử số.jthức củaDo đópjp.jpj≡ 0 (mod p) nên suy ra p|pj.Bổ đề 1.1.11. Nếu p là số nguyên tố và 1 ≤ k ≤ p − 1 khi đóp−1(−1)k (mod p).Sử dụng phương pháp quy nạp.p−1Đặt S = {k|≡ (−1)k (mod p)}.kTa có 1 ∈ S vìKhi đóp−1k−1p−11= p − 1 ≡ −1 (mod p). Giả sử rằng k − 1 ∈ S.≡ (−1)k−1 (mod p). Theo đẳng thức Pascal,p−1k=pp−1−.kk−1k≡6Do vậy ta cóp−1≡−kp−1k−1≡ (−1)(−1)k−1(mod p) ≡ (−1)k(mod p).Do đó k ∈ S.Bổ đề 1.1.12. Cho gcd(r, n) = 1 và r1 , r2 , . . . , rϕ(n) là các số nguyên dương béhơn n và nguyên tố cùng nhau với n. Nếu r là một căn nguyên thủy của n, khiđó r, r2 , . . . , rϕ(n) đồng dư mođun n với r1 , r2 , . . . , rϕ(n) theo thứ tự, với ϕ(n) làsố các số nguyên dương bé hơn n và nguyên tố cùng nhau với n.Bổ đề 1.1.13. Số nguyên n > 1 có căn nguyên thủy khi và chỉ khi n = 2, 4, pehoặc 2pe với p là số lẻ, với căn nguyên thủy của n được định nghĩa như sau:Nếu r, n là các số nguyên tố cùng nhau, n > 0 và nếu ordn = ϕ(n) được gọi làcăn nguyên thủy modunlo n.Bổ đề 1.1.14. (Công thức Euler). Cho a và n là các số nguyên không âm vớia ≥ n. Khi đón! = an −n1(a − 1)n ++ . . . + (−1)nn(a − 2)n −2nnn3(a − 3)n(a − n)n .Công thức Euler gốc được chứng minh theo phương pháp quy nạp. Chứngminh dưới đây sử dụng nguyên lý Bù - TrừChứng minh (How and Turnage, 2007). Ban đầu ta đếm số cách khác nhau đểđặt n vật khác nhau vào trong a ô khác nhau, với điều kiện n ô đầu tiên khôngđược phép để trống và n ≤ a. Khi đó sẽ có n cách chọn với ô đầu tiên, n − 1cách chọn với ô thứ hai. Tiếp tục như vậy sẽ có n! cách để đặt vật vào trong cácô. Bây giờ ta sẽ tìm câu trả lời theo một cách khác.Đầu tiên, xét tập U là tập bao gồm tất cả cách sắp xếp của các vật khác nhauvào trong các ô khác nhau không có sự hạn chế. Khi đó |U| = an , vì với mỗi nvật sẽ có a cách chọn đối với một ô.7Gọi Pi là tính chất mà ô thứ i rỗng. Sử dụng nguyên lý Bù - Trừ, ta phânphối các vật vào trong các ô không chứa bất kì tính chất nào trong các tính chấtP1 , P2 , . . . , Pn . Gọi N(Pi ) là số cách phân phối không chứa tính chất Pi và N(Pi )là số cách phân phối chứa tính chất Pi . Khi đó sử dụng nguyên lý Bù - TrừN(P1 P2 · · · Pn ) = an − ∑ N(Pi ) + ∑ N(Pi Pj ) − ∑ N(Pi Pj Pk )+ · · · + (−1)n N(P1 P2 · · · Pn ).ncách chọn một trong các ô trống và khi1đó sẽ có (a − 1)n cách sắp xếp n vật vào a − 1 ô còn lại. Do đó ∑ N(Pi ) =n(a − 1)n .1Đầu tiên ta tính ∑ N(Pi ). CóTương tự, ∑ N(Pi Pj ) =n2(a − 2)n , ∑ N(Pi Pj Pk ) =n(a − 3)n và tiếp3ncách chọn k của tínhkchất và khi đó có (a − k)n cách sắp xếp n vật vào trong (a − k) ô. Do đótục như vậy. Do đó tổng quát với k = 1, 2, . . . , n sẽ cóN(P1 P2 · · · Pn ) = an −n1(a − 1)n +n2(a − 2)n − · · · + (−1)nnn(a − n)n ,hay suy ran! = an −1.2n1(a − 1)n +n2(a − 2)n − · · · + (−1)nnn(a − n)n .Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏĐịnh lý 1.2.1. (Định lý Fermat nhỏ) . Nếu p là số nguyên tố, a là một số nguyênvà gcd(a, p) = 1 thì a p−1 ≡ 1 (mod p).Định lý Fermat nhỏ là cơ sở để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất trongkiểm tra Fermat.8Trong một lá thư gửi cho người bạn Berhard Frénicle de Bessy ngày 18 tháng10 năm 1640, Pierre de Fermat đã lần đầu tiết lộ về Định lý Fermat nhỏ, ông đãkhẳng định rằng: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hếtcho p thì a p−1 − 1 chia hết cho p.Tuy nhiên, như thường lệ ông không cung cấp cách chứng minh với Frénicle"Tôi muốn gửi cho anh cả chứng minh tuy nhiên lại sợ rằng nó quá dài", xem[5].Gần 100 năm sau, vào năm 1736 chứng minh đầu tiên cho Định lý Fermatnhỏ lần đầu được đưa ra bởi Euler trong một bài báo với tựa đề "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio". Leibniz đãcó chứng minh với ý tưởng tương tự trong bản thảo không được công bố vàokhoảng trước năm 1683, xem [5]Đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu và đưa ra các cách khác nhau để chứngminh Định lý Fermat nhỏ. Trong mục này chúng tôi xin trình bày các cáchchứng minh đó.Đây là một chứng minh được tìm thấy trong nhiều sách giáo khoa lý thuyếtsố, và chúng tôi thấy nó về cơ bản là tương đương với hai chứng minh đầu tiêncủa Euler.Chứng minh 1.1. Đặt S = {a|a p ≡ a(mod p)} với p nguyên tố và a ∈ N. Ta có0 ∈ S vì 0 p = 0 với mọi p do vậy 0 p ≡ 0(mod p). Bây giờ ta giả sử rằng k ∈ S vàk p ≡ k(mod p). Chúng ta muốn chỉ ra rằng k + 1 ∈ S, (k + 1) p ≡ (k + 1)(mod p).Theo định lý Nhị thức, ta có:p−1(k + 1)ppp= k +1 +∑j=1p p− jkj≡ k + 1(mod p).Nếu gcd(a, p) = 1, khi đó giản ước a p ≡ a(mod p) ta được a p−1 ≡ 1(mod p).Nếu a là số âm thì a ≡ r(mod p) khi 0 ≤ r ≤ p − 1. Do đó a p ≡ r p ≡ r ≡a(mod p).Trong cuốn History of the Theory of Number [4, chương 3], cách chứng minh9Định lý Fermat nhỏ đã được đưa ra. Tiếp theo, chúng ta tìm hiểu các chứng minhđược đưa ra bởi Leibniz, Euler, Lambert, Inovy, và Thue. Chúng tôi sử dụng [4,chương 3] như một tài liệu tham khảo chung cho chương này.Chứng minh dưới đây được đưa ra bởi G.W.Leibniz (1646 - 1716).Chứng minh 1.2 (Leibniz, 1680)Cho p là một số nguyên tố và cho x = a1 + a2 + . . . + am .mmi=1i=1Xét x p − ∑ aip . Ta sẽ chỉ ra rằng p|(x p − ∑ aip ).Theo định lí đa thức ta có,x p = (a1 + a2 + . . . + am ) p =∑k1 +...+kmpak11 · ak22 · · · akmmk1 , k2 , . . . , kmpp!. Khi ki = p với mọi i thì ki < p với=k1 ! · · · km !k1 , k2 , . . . , kmmọi i. Khi đó không có nhân tử p ở mẫu số nhưng sẽ có một nhân tử p ở tử số.p!Do đó ki = p với mọi i,≡ 0 (mod p). Do đók1 ! · · · km !Chú ý rằngmx − ∑ aip ≡ (a1p + a2p + · · · + amp ) − (a1p + a2p + · · · + amp ) = 0 (mod p).pi=1mDo đó p|(x p − ∑ aip ).i=1Đặt a1 = a2 = · · · = am = 1. Khi đó vì x = a1 + a2 + · · · + am , có nghĩa làp|(x p − x) với bất kì số nguyên x (dựa trên giá trị của m). Do đó x p − x ≡0 (mod p), hay x p ≡ x (mod p). Nếu gcd(x, p) = 1, suy ra x p−1 ≡ 1 (mod p).Dưới đây là ba cách chứng minh của L. Euler (1707-1783) về Định lí Fermatnhỏ và nó bao gồm cả chứng minh của Dickson.Chứng minh 1.3 (Euler, 1736)10Cho p là một số nguyên tố. Theo công thức Nhị thức,2 p = (1 + 1) p =p0+= 1+ p+p1p2+p2+...+pp−1+pp+...+ p+1= 2 + pmpvới 1 ≤ j ≤ p − 1.jTương tự, 3 p = (1 + 2) p = 1 + 2 p + kp, với k ∈ Z vì với mỗi hệ số sẽ có mộtnhân tử của p. Khi đó 3 p − 1 − 2 p = kp, bằng cách thêm và bớt đi 2 ở vế tráiVì với mỗi j ∈ Z thì p|ta thu được 3 p − 3 − (2 p − 2) = kp. Tổng quát ta có (1 + a) p = 1 + a p + np vớin ∈ Z. Do đó (1 + a) p − 1 − a p = np và bằng cách thêm rồi bớt a vào bên tráibiểu thức ta thu được(1 + a) p − (1 + a) − (a p − a) = np.Do đó (1 + a) p − (1 + a) = (a p − a) + np với n ∈ N. Nếu p chia hết a p − a thìkhi đó p chia hết (1 + a) p − (1 + a). Ta chứng minh được với a = 2, p chia hếta p − a. Do đó với a > 2, ta xét a + 1. Giả sử p chia hết (a + 1) p − (a + 1). Khiđó p sẽ chia hết (a + 1 + 1) p − (1 + a + 1) = (a + 2) p − (a + 2). Khi p chia hết(a+2) p −(a+2) thì p sẽ chia hết (a+2+1) p −(a+2+1) = (a+3) p −(a+3).Tiếp tục quá trình đó ta sẽ thấy rằng p chia hết x p − x với mọi x ∈ Z. Do đóx p − x ≡ 0 (mod p) nên x p ≡ x (mod p). Nếu gcd(x, p) = 1 bằng giản ước ta cóx p−1 ≡ 1 (mod p).Chú ý rằng chứng minh tiếp theo về cơ bản là giống chứng minh 1.1.Chứng minh 1.4 (Euler, 1747)Cho a, b ∈ Z và p là số nguyên tố. Khi đó (a + b) p − a p − b p là chia hết cho p11nếu:p−1ppppp(a + b) − a − b = a + b +∑j=1p p− j ja b − a p − b p ≡ 0 (mod p).jKhi đó nếu a p − a và b p − b đều chia hết cho p thì khi đó (a + b) p − a − b chiahết cho p:(a + b) p − a − b ≡ a p − a + b p − b ≡ 0 (mod p).Đặt b = 1. Khi đó (a + 1) p − a − 1 chia hết cho p khi a p − a chia hết chop. Vì (a + 1) p − (a + 1) chia hết cho p nên (a + 2) p − a − 2 cũng chia hết p.Tiếp tục và làm với a = 1 ta thấy rằng p chia hết x p − x với mọi x ∈ Z. Do đóx p − x ≡ 0 (mod p) hay x p ≡ x (mod p). Nếu gcd(x, p) = 1 bằng giản ước ta cóx p−1 ≡ 1 (mod p).Chứng minh 1.5 (Euler, 1758)Cho p là số nguyên tố, a ∈ Z và gcd(a, p) = 1. Xét tập {1, a, a2 , . . . , ar } vớir ∈ Z. Có p − 1 số dư dương nhỏ hơn p phân biệt. Cho am và an là hai sốdư (mod p) với m > n. Khi đó am ≡ an (mod p). Giản ước an ở cả hai vế tathu được am−n ≡ 1(mod p), vì vậy p chia hết am−n − 1. Cho t là số nguyêndương bé nhất sao cho at − 1 chia hết cho p. Vậy t là cấp của a(mod p). Khi đótập {1, a, a2 , . . . , at−1 } có các số dư phân biệt (mod p). Do đó t ≤ p − 1. Nếut = p − 1, chứng minh hoàn tất. Nếu t < p − 1, khi đó tồn tại một số nguyêndương k (với k < p). Khi đó hệ {k, ak, a2 k, . . . , at−1 k} có các số dư khác nhau,mà không có giá trị số dư nào là của lũy thừa của a (mod p).(Chứng minh bằng phản chứng.Giả sử kar ≡ kas (mod p) với r > s và r, s ≤ t − 1. Khi đó ar ≡ as (mod p) suyra ar−s ≡ 1. Vì r = s, suy ra rằng r − s = 0. Vì r, s ≤ t − 1, r − s < t, nhưng do tlà bậc của a. Do đó ta có điều mâu thuẫn.)Xét hai hệ {1, a, a2 , . . . , at−1 } và {k, ak, a2 k, . . . , at−1 k}. Chúng có hai giá trị dưkhác nhau là 2t (mod p), mà 2t ≤ p − 1. Nếu t = p−12 , khi đó t|(p − 1). Nếu12t 2, và cho p = 2n + 1 với mỗi số nguyên dương n. Khi đóan = ap−12.p−2p−1p−1Vì a p−1 ≡ 1 = (a 2 −1)(a 2 +1), từ Định lý Fermat nhỏ ta thấy p | (a 2 −1)p−2p−1hoặc p | (a 2 + 1). Vì a là một căn nguyên thủy, p phải chia hết (a 2 + 1).Tức là aap−12≡ −1 (mod p). Khi đó(p−1)(p−2)2=a2n(2n−1)2= an(2n−1) = (an )2n−1 ≡ (−1)2n−1(mod p).Vì 2n − 1 là lẻ, suy ra (p − 1)! ≡ −1 (mod p).Chứng minh tiếp theo của Định lý Wilson là của Dirichlet.Chứng minh 2.5 (Dirichlet, 1828)Hai số m, n gọi là tương ứng nếu m, n < p và mn ≡ a (mod p), với p là số nguyêntố, a là số nguyên cố định, và a, p là nguyên tố cùng nhau. Bây giờ, với mỗi số1, 2, . . . , p − 1 có duy nhất một số tương ứng. Bất kì một đồng dư tuyến tínhnào với d = gcd(a, n), ax ≡ b (mod n) có d nghiệm nếu d | b. Trong trường hợpnày, ax ≡ b (mod p) có 1 nghiệm vì gcd(a, p) = 1. Do vậy có duy nhất một sốnguyên n với 1 ≤ n ≤ p − 1 sao cho mn ≡ a (mod p).Trường hợp 1: Nếu x2 ≡ a(mod p) không có nghiệm nguyên, số tương ứng làphân biệt và1 · 2 · 3 · · · (p − 1) = (p − 1)! ≡ avìp−12p−12(mod p)là bậc của a.Trường hợp 2: Nếu k là một số nguyên dương nhỏ hơn p sao cho k2 ≡ a (mod p),21khi đó(p − k)2 = p2 − 2pk + k2 ≡ a (mod p).Bỏ k và p − k từ tích, ta được(1)(2) · · · (k − 1)(k + 1) · · · (p − k − 1)(p − k + 1) · · · (p − 1) ≡ ap−32(mod p).Do đó(p − 1)! ≡ k(p − k) · ap−32≡ (pk − k2 ) · a≡ −a · a≡ −(ap−32p−12p−32(mod p)(mod p)(mod p)) (mod p).Cho a = 1. Định lý Wilson sau trường hợp 2:(p − 1)! ≡ −(1p−12) ≡ −1 (mod p).Nếu p là số nguyên tố lẻ, khi đó tiêu chuẩn Euler thỏa mãn. Nếu a là số dư bậchai (mod p), i.e nếu đồng dư x2 ≡ a (mod p) có nghiệm, khi đó theo Định lýp−1Wilson và trường hợp 2 ta được a 2 ≡ 1 (mod p). Nếu a là số không dư bậc haip−1(mod p), khi đó theo trường hợp 1 và Định lý Wilson ta có a 2 ≡ −1 (mod p).p−1Vì a 2 ≡ ±1 (mod p), bình phương ta sẽ thu được Định lý Fermat nhỏa p−1 ≡ 1 (mod p).Stern cũng đã cung cấp một chứng minh thú vị, sử dụng chuỗi Maclaurin của1).log( 1−xChứng minh 2.6 (Stern, 1860)Cho f là hàm giá trị thực. Tổng quát, nếu f khả vi tại x0 , khi đó chuỗi Taylor22của hàm f tại x = x0 là∞∑k=0f (k) (x0 )f (x0 )f k (x0 )(x−x0 )k = f (x0 )+ f (x0 )(x−x0 )+(x−x0 )2 +· · ·+(x−x0 )k +k!2!k!Khi x0 = 0, ta có chuỗi Maclaurin của f :∞∑k=0f (k) (0) kf (0) 2f k (0) k(x) = f (0) + f (0)(x) +(x) + · · · +(x) + · · ·k!2!k!1) = − log(1 − x). Chuỗi Maclaurin của − log(1 − x) làXét log( 1−x0+x+x2 x3+ +···23Chú ý ta cóx2x31ex+ 2 + 3 +··· = elog( 1−x ) =Mà 1 + x + x2 + . . . =11−x1. Do đó ta có1−xx2x3ex+ 2 + 3 +··· = 1 + x + x2 + · · ·Bây giờ khai triển vế trái của (1.3) ta cóx2 x3+ +···2! 3!x2x2 2x2 3()()= 1 + 2! + 2 + 2 + · · ·1!2!3!...xpxp 2xp 3()(ppp)= 1+ +++···1!2!3!...ex = 1 + x +x2e2expp(1.3)

Tài liệu liên quan

KHẢO SÁT ĐẶC ĐIỂM SINH HỌC MỘT SỐ CHỦNG NẤM SỢI THUỘC CHI ASPERGILLUS VÀ PENICILLIUM TỪ RỪNG NGẬP MẶN CẦN GIỜ TP. HỒ CHÍ MINH
- 118
- 1
- 3
“Phân lập, tuyển chọn và nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến khả năng sinh tổng hợp xenlulaza của một số chủng vi sinh vật nhằm ứng dụng xử lý phế thải ligno-xenluloza”
- 57
- 777
- 0
mot so cach chung minh dinh ly pitago
- 3
- 4
- 18
Một số cách chứng minh định lý Pitago
- 10
- 3
- 28
Nghiên cứu tuyển chọn một số chủng vi sinh vật có khả năng xử lý tinh bột và ứng dụng xử lý nước thải sản xuất nui
- 61
- 941
- 1
Nghiên cứu ứng dụng một số chủng vi sinh vật hữu ích để xử lý chất lót chuồng nuôi gia cầm làm giảm ô nhiễm môi trường từ các trại chăn nuôi
- 79
- 726
- 0
một số mở rộng định lý sylow
- 35
- 476
- 1
nghiên cứu xác định một số tính chất chất lượng cảm quan và hóa lý của một số loại nước mắm thương mại
- 59
- 963
- 5
Phân lập và tuyển chọn một số chủng vi sinh vật có khả năng xử lý phế phụ phẩm nông nghiệp
- 59
- 1
- 1
MỘT SỐ GIẢI PHÁP RÈN KỸ NĂNG TÍNH VÀ THỰC HIỆN PHÉP TÍNH CHO HỌC SINH LỚP BA
- 26
- 781
- 1