Định Lý Wilson - Vườn Toán

Trang chủ » định Lý Wilson Bài Tập » Định Lý Wilson - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Định lý Wilson

Hôm nay xin giới thiệu với các bạn một định lý liên quan đến số nguyên tố, đó là Định lý Wilson. Định lý này nói rằng nếu $p$ là một số nguyên tố thì số $(p-1)! + 1$ sẽ chia hết cho $p$. Ở đây, ký hiệu $n!$ có nghĩa là $$n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n.$$ Ví dụ,
  • $1! + 1 = 2$ chia hết cho $2$
  • $2! + 1 = 3$ chia hết cho $3$
  • $4! + 1 = 25$ chia hết cho $5$
  • $6! + 1 = 721$ chia hết cho $7$
Có nhiều cách chứng minh Định lý Wilson. Cách chứng minh mà chúng ta sắp trình bày ở đây là cách chứng minh sử dụng định lý nhỏ Fermat.
Định lý nhỏ Fermat. Nếu $p$ là số nguyên tố và số $a$ không chia hết cho $p$ thì $$a^{p-1} = 1 \pmod{p}.$$
Các bạn có thể đọc cách chứng minh định lý nhỏ Fermat ở đây. Để chứng minh định lý Wilson, chúng ta sẽ sử dụng một vài tính chất của đa thức. Các tính chất này mặc dù rất đơn giản nhưng nếu chúng ta biết cách sử dụng thì nó sẽ trở nên rất hữu ích trong việc giải toán. Trước tiên chúng ta nói một chút về đa thức. Đa thức có dạng như sau $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0.$$ Đa thức $P(x)$ này có bậc là $n$ và các số $a_0, a_1, \dots, a_n$ gọi là các hệ số. Số $a_0$ gọi là hệ số tự do, số $a_1$ là hệ số bậc $1$, $a_2$ là hệ số bậc $2$,..., $a_n$ là hệ số bậc $n$. Số $a_0$ còn được gọi là hệ số cuối cùng và $a_n$ gọi là hệ số đầu tiên của đa thức. Bây giờ chúng ta phát biểu một vài tính chất của đa thức. Tính chất 1. Đối với đa thức $$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$ thì hệ số cuối cùng có thể được tính như sau: $a_0 = P(0)$. Rõ ràng khi thay $x=0$ thì $P(0) = a_0$. Do đó, tính chất 1 là hiển nhiên. Tính chất 2. Nếu $P(x)$ là đa thức có bậc là $n \geq 1$, thì $$\Delta P(x) = P(x+1)-P(x)$$ sẽ là một đa thức có bậc $n-1$. Chúng ta chứng minh tính chất 2 này cho một trường hợp đặc biệt là đa thức $x^n$, trường hợp tổng quát sẽ từ đó mà suy ra. Đối với đa thức $x^n$, chúng ta có $$\Delta x^n = (x+1)^n - x^n = n x^{n-1} + {n \choose 2} x^{n-2} + {n \choose 3} x^{n-3} + \dots + n x + 1$$ Vậy $\Delta x^n$ là một đa thức bậc $n-1$. Đối với trường hợp tổng quát thì $$\Delta P(x) = a_n \Delta x^n + a_{n-1} \Delta x^{n-1} + \dots + a_1 \Delta x$$ Vì $\Delta x^n$ là đa thức bậc $n-1$, $\Delta x^{n-1}$ là đa thức bậc $n-2$, ..., do đó $\Delta P(x)$ là một đa thức bậc $n-1$. Tính chất 3. Hệ số đầu tiên của đa thức $\Delta P(x)$ sẽ bằng $n a_n$. Như ở trên chúng ta đã chứng minh rằng $\Delta x^n$ là đa thức bậc $n-1$ với hệ số đầu tiên bằng $n$, do đó đa thức $\Delta P(x) = a_n \Delta x^n + \dots$ sẽ có hệ số đầu tiên là $n a_n$. Bây giờ chúng ta sử dụng ba tính chất trên của đa thức để chứng minh định lý Wilson.
Định lý Wilson. Với mọi số nguyên tố $p$ thì $$ (p-1)! = -1 \pmod{p} $$
Chứng minh. Chúng ta sẽ dùng đa thức $$f_1(x) = x^{p-1} - 1$$ Chúng ta có những nhận xét về đa thức này như sau
  • $f_1(x)$ là một đa thức bậc $p-1$
  • hệ số đầu tiên của đa thức $f_1(x)$ là $1$
  • hệ số cuối cùng của đa thức $f_1(x)$ là $-1$
  • theo định lý nhỏ Fermat, $f_1(1) = f_1(2) = f_1(3) = \dots = f_1(p-1) = 0 \pmod{p}$.
Bây giờ chúng ta tạo đa thức mới như sau $$f_2(x) = \Delta f_1(x) = f_1(x+1)-f_1(x)$$
  • Theo tính chất 2 về đa thức mà chúng ta đã nói ở trên thì $f_2(x)$ là đa thức bậc $p-2$.
  • Theo tính chất 3 thì hệ số đầu tiên của đa thức $f_2(x)$ là $p-1$.
  • Và vì $f_2(x) = f_1(x+1) - f_1(x)$ cho nên $f_2(1) = f_2(2) = \dots = f_2(p-2) = 0 \pmod{p}$.
Tương tự với đa thức $$f_3(x) = \Delta f_2(x) = f_2(x+1)-f_2(x)$$ chúng ta có
  • $f_3(x)$ là một đa thức bậc $p-3$
  • hệ số đầu tiên của đa thức $f_3(x)$ là $(p-1)(p-2)$
  • $f_3(1) = f_3(2) = \dots = f_3(p-3) = 0 \pmod{p}$
Cuối cùng với đa thức $$f_{p-1}(x) = \Delta f_{p-2}(x) = f_{p-2}(x+1)-f_{p-2}(x)$$ thì
  • $f_{p-1}(x)$ là một đa thức bậc $1$
  • hệ số đầu tiên của đa thức $f_{p-1}(x)$ là $(p-1)(p-2)\dots 2 = (p-1)!$
  • $f_{p-1}(1) = 0 \pmod{p}$
Bây giờ chúng ta xem xét hệ số cuối cùng của các đa thức này.
  • Hệ số cuối cùng của đa thức $f_1(x)$ là $f_1(0) = -1$.
  • Hệ số cuối cùng của đa thức $f_2(x)$ là $$f_2(0) = f_1(1) - f_1(0) = - f_1(0) \pmod{p}$$
  • Hệ số cuối cùng của đa thức $f_3(x)$ là $$f_3(0) = f_2(1) - f_2(0) = - f_2(0) \pmod{p}$$
  • Hệ số cuối cùng của đa thức $f_{p-1}(x)$ là $$f_{p-1}(0) = f_{p-2}(1) - f_{p-2}(0) = - f_{p-2}(0) \pmod{p}$$
Từ đó suy ra $f_{p-1}(0) = (-1)^{p-2} f_1(0) = 1 \pmod{p}$. Tóm lại, $f_{p-1}(x)$ là một đa thức bậc $1$, có hệ số đầu tiên là $(p-1)!$, hệ số cuối cùng là $f_{p-1}(0) = 1 \pmod{p}$, cho nên $$f_{p-1}(x) = (p-1)! x + c,$$ ở đây, $c = 1 \pmod{p}$. Ở trên chúng ta đã chỉ ra rằng $f_{p-1}(1) = 0 \pmod{p}$, tức là $$(p-1)! + c = 0 \pmod{p}$$ Kết hợp với $c = 1 \pmod{p}$, chúng ra suy ra định lý Wilson là $$(p-1)! + 1 = 0 \pmod{p}. \blacksquare$$ Như vậy chúng ta đã chứng minh xong định lý Wilson. Chúng ta thấy rằng ba tính chất của đa thức ở trên mặc dù rất đơn giản nhưng đã giúp cho chúng ta chứng minh được định lý Wilson. Đặc biệt, chúng ta đã sử dụng công thức $\Delta P(x) = P(x+1) - P(x)$. Công thức này tương tự như là phép lấy đạo hàm trong giải tích vậy. Chúng ta tạm dừng ở đây, hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau. Bài tập về nhà. 1. Viết lại chi tiết cách chứng minh định lý Wilson cho trường hợp $p=5$. 2. Chứng minh rằng nếu $n > 1$ và $(n-1)! = -1 \pmod{n}$ thì $n$ là một số nguyên tố. 3. Thay vì đặt $\Delta P(x) = P(x+1)-P(x)$, chúng ta có thể đặt $\Delta P(x) = P(x)-P(x-1)$. Phát biểu tính chất 2 và tính chất 3 cho trường hợp này. Labels: Fẹcma, Fermat little theorem, number theory, prime number, sai phân, số học, số nguyên tố, Wilson theorem Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2012 (36)
    • ▼  tháng 8 (5)
      • Bộ số Pitago
      • Định lý Wilson
      • Một vài bài toán về số nguyên tố
      • Định lý Euclid về số nguyên tố
      • Số nguyên tố

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » định Lý Wilson Bài Tập