Cực Và đối Cực Trong Hình Học Phẳng - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (21 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Lớp 11
>>
3. Toán học

Cực và đối cực trong hình học phẳng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (654.08 KB, 21 trang )

Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcCỰC VÀ ĐỐI CỰCPhần một: Lý thuyết về cực và đối cực.1.Hai điểm liên hiệp đối với đường tròn:lhM  N  ( MN )  (O)(O )lhNếu MN cắt đường tròn (C) tại A,B thì M  N  ( MNAB)  1(O )2.Cực và đối cực:Định lý: Quỹ tích những điểm liên hợp với một điểm M (M ≠ O) cho trước đối với (O)là một đường thẳng.lhM  N  ( MN )  (O)(O )P O/(MN) = R2 ⇔ OH . OM = RQuỹ tích là đường thẳng Δvuông góc với OM tại H.Nhận xét:ngoàiM trên ( O) ⇔ Δtrong M là cực của Δ Δ là đường đối cực của M.3.Cách dựng đường đối cực.a.Bằng tiếp tuyến:Áp dụng tính chất: OH . OM = R1cttip xúc (O)không ctNhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcb.Bằng cát tuyến:4.Định lý cơ bản:M ∈ Δ ⇔N ∈ ΔA, B, C thẳng hàng   A ,  B ,  C đồng quy.2Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcPhần hai : Các bài tập về cực và đối cựcBài 1: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai điểm M và N liên hiệp nhau đối vớiđường tròn (O) là: P M/(O) + P N/(O) = MN2Bài giải:Gọi I là trung điểm MNTa có: P M/(O) + P N/(O) = MN2⇔ MO − R + NO − R = (MO + ON)⇔ −2R = 2MO. ON⇔ R = MO. NO⇔ R = (MI + IO). (−MI + IO)⇔ R = −MI + IO⇔ R + MI = IO⇔ (MN) ⊥ (O, R)Bài 2:Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi D và D’ là chân hai đườngphân giác trong và ngoài của góc A . P là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O) tại B và C.Chứng minh rằng cực của AP đối với (O) là trung điểm DD’.3Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcBài giải:Gọi E là trung điểm D D’Δ = BC(theo cá ch d ̣ng tiêp tuyến)Ta có: E ↔ P (*)Mặt khác:AD là phân giác góc BAC và AD  AD 'A(D’DBC) = -1(chùm phân giác)Suy ra (D’DBC) = -1E là trung điểm DD’.Theo hệ thức Newton:′ ==.(1)Xét ADD’(AD  AD’) với AE là đường trung tuyếnAE = ED = ED’(2)(1)(2) =. AE là tiếp tuyến của (O) tại ASuy ra:↔ A (**)(*)(**) Δ = AP đpcmBài 3: Cho điểm M nằm trong đường tròn (O) và khác O. Hai đường thẳng qua M lầnlượt cắt (O) tại A, B và C, D. Các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau ở E; các tiếptuyến của (O) tại C và D cắt nhau tại F. Chứng minh rằng OM vuông góc với EF.Bài giải:Vì EA và EB là hai tiếp tuyến với đường tròn (O) nên theocách dựng đường đối cực bằng tiếp tuyến ta có  E  ABlhMà M  AB nên M  E  E   M (1)(O )4Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcTương tự, vì FC và FD cũng là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có  F  CDlhMà M  CD nên M  F  F   M (2)(O )Từ (1) và (2), ta có  M  EF , suy ra OM  EFBài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường thẳng d vuông góc với AB tại I ởngoài đường tròn. Điểm M thay đổi trên (O), MA và MB cắt d lần lượt tại P và Q. QA cắt(O) tại N. Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định.Bài giải:Đặt E  AO  MNXét BQP ta có:AM  QB (chắn1đường tròn)2AI  PQ (gt) A là trực tâm của tam giác BQP QA  BP hay QN  BPMà BN  QN (chắn1đường tròn)  P,N,B thẳng hàng.2Mặt khác ta có:lh P  QE (đường đối cực theo cách dựng cát tuyến)  E P(o )mà PQ  OESuy ra:  E  PQ  E cố định vì PQ cố định.Bài 5: Từ điểm P ngoài đường tròn (O) ta vẽ các tiếp tuyến PA và PB với đường tròn ấy.Từ B hạ đường vuông góc BD với đường kính AC. Chứng minh rằng PC đi qua trungđiểm BD.5Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcBài giải:Gọi I là giao điểm của PC và BD. Kéo dài PB cắt AC tại E.lhTa có: B  E (BE là tiếp tuyến)(O )Mà: BD  CE nên  E  BD (theo cáchdựng dường đối cực)lhSuy ra: E D(O )Nên: (EDCA) = -1.Hay P(EDCA) = -1Mà: PA // BD (cùng vuông góc OE)Suy ra: IB = ID (định lí cát tuyến song song)Vây PC đi qua trung điểm của BD.(đpcm)Bài 6: Ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp lần lượttại M, N, P. Đường kính qua M cắt NP tại Q. Chứng minh rằng AQ qua trung điểm BC.Bài giải:Kẻ Ax // BC và gọi E là giao điểm của Ax vàPN.Ta có:  A  PN (theo cách dựng tiếp tuyến)lhMà Q  PN nên A Q(O )Mặt khác:OQ  BC )AE  OQ (vì Ax // BC màSuy ra:  Q  AE (theo cách dựng dường đối cực)lhSuy ra: Q E(O )Nên: (PNQE) = -1.Hay A(PNQE) = -16Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcMà: Ax // BCSuy ra: IB = IC (định lí cát tuyến song song)Đặc biệt: PN // BCSuy ra: tam giác ABC cân tại A.Do đó: I trùng M và I là trung điểm BC.Bài 7: Từ trung điểm I của dây cung AB của đường tròn (O) kẻ hai dây cung MN và PQ.MP và NQ lần lượt cắt AB tại J và K. Chứng minh rằng I là trung điểm JK.Bài giải:Gọi D là giao điểm của hai tiếp tuyến tại A và B của (O).Khi đó:  D  AB ( theo cách dựng đường đối cực)lhSuy ra: I  D (vì I  AB )(O )Kẻ Dx  OI .Khi đó:  I  DxlhMặt khác: I  C (theo cách dựng bằng cát(O )tuyến)Do đó C   I  DxGọi E là giao điểm của PQ và DxlhKhi đó: E I(O )Suy ra: (PQIE) = -1. Do đó: C(PQIE) = -1Mà: JK // Cx (cùng vuông góc với OI). Suy ra: IJ = JK (định lí cát tuyến song song)Vậy: I là trung điểm JK.7Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcBài 8: Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài (O) và I nằm trong (O). Một đường thẳngthay đổi qua I cắt (O) tại A, A’. MA và MA’ lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai tại B B’.Chứng minh rằng BB’ đi qua điểm cố định.Giải:Trường hợp 1:Gọi N  AB ' A ' B và P  AA ' BB 'Ta có NP   M (theo cách dựng cáttuyến)Gọi Q  NP  MI (cố định)R  BB ' MIS  NP  MA 'Suy ra P( MSB ' A ')  1 ( vì S   M ) P( MQRI )  1  ( MQRI )  1Do M, Q, I cố định nên R cũng cố định.Vậy BB’ đi qua điểm cố định R  MI thỏa ( MQRI )  1 với Q   M  MITrường hợp 2:AB’//A’B. Gọi J  AA ' BB 'Ta có MO là đường trung trực củaA’B nên cũng qua J.Gọi C,D lần lượt là giao của MO với(O). Khi đó do CD là đường kính nêngóc DAC= 90o. Kết hợp với gócA’AC = góc CAB (2 góc nội tiếpchắn 2 cung bằng nhau) nên suy rachùm A(DCJM) là chùm phân giác8Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cực ( DCJM )  1 J  M J ( B ' A ' SM )  1 S   M  MA ' ( MQRI )  1Vậy R cố định như trường hợp 1.Trường hợp 3: AA’//BB’Ta chứng minh giao của DR và CI nằm trên  M .Khi đó ta được (MQRI) = (MJCD) = -1. Nên R cũng cố định như 2 trường hợp đầu.Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. d1 và d2 là hai đường thẳng qua A. Các đường thẳngqua B, C lần lượt vuông góc với d1, d2 cắt nhau tại D. Đường thẳng vuông góc AB tại Bcắt d1 tại E; đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt d2 tại F. Chứng minh rằng ADvuông góc với EF.Bài giải:9Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcXét đường tròn tâm A, bán kính R  AB  AC , kí hiệu là (A)Gọi b là đường thẳng qua B và vuông góc với AB, c là đường thẳng qua C và vuông gócvới AC. Khi đó: d1  b  E và d 2  c  FBE là tiếp tuyến của (A) nên B   E . Mặt khác AE  d1  BD (gt). Do đó BD   E (1)Tương tự ta cũng cóC  F  CD   F (2)AF  d 2  CD lhlhTừ (1) và (2) suy ra D  E và D F( A)( A)Hay EF   D nên AD  EFBài 10:Cho tam giác ABC và điểm O. Các đường thẳng qua O và vuông góc với OA,OB,OC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M,N,P. Chứng minh rằng M,N,P thẳng hàng.Bài giải:Gọi A’, B’, C’ lần lượt là cực của BC, CA, AB đối với đường tròn (O,R) R>0Do BC, CA, AB không đồng quy nên A’, B’, C’ không thẳng hàng.10Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cực.CA=∆B’ nên B’ ∆AAB=∆C’ nên C’∆ AB’C’=∆ ATương tự ta cóC’A’=∆BA’B’=∆C∆MOMAOOM∆M // AOMà AO  ∆A . Nên ∆M ∆A=B’C’(1)Lại có M  BC = ∆A’. NênA’ ∆M(2)(1),(2) ∆M là đường caotrong ∆A’B’C’Tương tự có ∆N, ∆P là đường cao trong ∆A’B’C’Vậy ∆M, ∆N, ∆P đồng qui. Do đó M,N,P thẳng hàng.11Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcMỞ RỘNG BỔ SUNG:Định lí Brokard :Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Giả sử AC cắt BD ở M, AB cắt CD ở N, ADcắt BC ở P. Chứng minh rằng O là trực tâm của tam giác MNP.GiảiXét cực và đối cực đối với (O).Ta có PM là đường đối cực của N theo cách dựng cát tuyến.Suy ra có ON  PM (1)Tương tự có :  P  MN nên OP  MN (2)Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh!Định lí Brianchon:Chứng minh rằng ba đường chéo của một lục giác ngoại tiếp đồng quy. .Giải12Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcTa kí hiệu ABCDEF là lục giác ngoại tiếp (O).Tiếp điểm của (O) trên AB, BC, CD, DE, EF, FA lần lượt là M, N, P, Q, R, S.Xét cực và đối cực đối với (O)Gọi I,J,K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (SM,PQ) ,(MN,QR),(NP,RS)Dùng định lí Pascal cho lục giác nội tiếp MNPQRS ta có I,J,K thẳng hàng.Theo định lí cơ bản thì các đường đối cực của I,J,K đồng quy.Mà dễ thấy các đường đối cực của I,J,K lần lượt là AD, BE, CF nên ta có AD, BE, CFđồng quy .Như vậy ta có điều cần chứng minh!Đường thẳng Giécgôn:Tam giác ABC có (I) là đường tròn nội tiếp. D, E, F là các tiếp điểm của (I) với các cạnhBC, CA, AB tương ứng. Gọi D’, E’, F’ lần lượt là các giao điểm của EF, FD, DE với BC,CA, AB. Chứng minh D’, E’, F’ thẳng hàng.Bài giải:13Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcTa có  A  EF (tiếp tuyến), mà D '  EF   A  A   D 'Do D’D là tiếp tuyến với (I) nên  D '  AD .Tương tự : BE, CF cũng là các đường đối cực của E’, F’.Ta biết rằng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm, gọi là K, thì D’, E’, F’ phải thuộc đườngđối cực của K. Từ đó suy ra D’, E’, F’ thẳng hàng và đường thẳng D’E’F’ vuông góc vớiIK.Đường thẳng D’E’F’ trên được gọi là đường thẳng Giécgôn và K được gọi là điểmGiécgôn.14Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcBÀI TẬP THÊM:Trích từ tài liệu “Ứng dụng của cực và đối cực”của tác giả Hoàng Quốc Khánh.Bài toán 1:Trong tam giác ABC kẻ các đường cao AA', BB', CC' và gọi H là trực tâmcủa tam giác. Gọi J là một giao điểm của AA' với đường tròn (O) đường kính BC. Chứngminh rằng BC,B'C' và tiếp tuyến tại J của (O) đồng quy.Giải:Gọi giao điểm của AH với (O) J1, J2 là như hình vẽ , thế thì J sẽ là J1 hoặc J2. Ta sẽ chứngminh BC, B'C' và tiếp tuyến tại của (O) đồng quy.Xét cực và đối cực đối với (O).Ta thấy BC không hề có cực,nên không sử dụng tính chất của định lý cơ bản để chứngminh sự đồng quy bởi sự thẳng hàng!!Ta sẽ sử dụng một phương thức khác:Gọi giao điểm của BC và B'C' là STa thấy: AH là đường đối cực của S theo cách dựng cát tuyếnMà AH đi qua J1 nên đường đối cực của J1 sẽ đi qua S hay tiếp tuyến tại J1 đi qua S. Vậyta có điều cần chứng minh.15Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcBài toán 2: Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d nằm ngoài (O). Một điểm S chạytrên (O). Từ S ta kẻ tới (O) hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là tiếp điểm ). Chứng minh rằngkhi S chạy trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định. .Giải:Xét cực và đối cực đối với (O).Gọi I là cực của d , vì d cố định nên I cố định.S thuộc d suy ra đường đối cực của S sẽ đi qua cực của d hay AB đi qua I cố định.Bài toán 3: Cho góc xOy cố định và một điểm A cố định nằm trên tia Ox. Đường tròn (I)thây đổi nhưng luôn tiếp xúc với với hai tia Ox,Oy. Gọi tiếp điểm của (I) trên Ox,Oy lầnlượt là B,C. Từ A ta kẻ tiếp tuyến AD tới (I) (D là tiếp điểm , D khác B). OI cắt BD ởE.Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với CE. Chứng minh rằng khi (I) di động(nhưng thỏa mãn điều kiện bài toán) thì d luôn đi qua một điểm cố định.16Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcGiảiXét cực và đối cực đối với (I).D cắt Oy ở F.Ta thấy đường đối cực của F là CE (qua E) suy ra đường đối cực của E sẽ đi qua F (địnhlí cơ bản ) (1)Đường đối cực của A là BD (qua E) suy ra đường đối cực của E sẽ đi qua A (định lí cơbản) (2)Từ (1),(2) và định lý cơ bản ta suy ra AF là đường đối cực của E.Theo định lí 2 ta có AF vuông góc với EI , mà chú ý EI là phân giác góc xOy nên dễ có Fcố định.Từ đó có điều cần chứng minh.Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O).M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD.(ABN) cắt lại AB ở P.(CDM) cắt lại CD ở Q .Chứng minh rằng AC,PQ,BD đồng quy.Giải17Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcKhi AB//CD thì bài toán đơn giản,ta sẽ xét trường hợp còn lại:Gọi S là giao điểm của AB và CD.Gọi d là đường đối cực của S đối với (O)Gọi I là giao điểm của AC và BD thì dễ thấy I thuộc d (1)Ta thấy : SM .SQ  SC.SD  SA.SB ( áp dụng các tứ giác nội tiếp trong các đường tròn)Chú ý M là trung điểm của AB nên ta có (SQAB) = -1lhDo đó S  Q sẽ có Q thuộc d (2)(O )Tương tự có P thuộc d (3)Từ (1),(2) và (3) suy ra điều cần chứng minhBài toán 5: Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽcác đường thẳng dA, dB ,dC và dD tương ứng vuông góc với OA, OB, OC, OD. Các cặpđường thẳng dA và dB ,dB và dC ,dC và dD ,dD và dA tương ứng cắt nhau ở K, L, M, N.Chứng minh rằng KM và LN cắt nhau tại O.(Trích cuộc thi toán mùa đông tại Bulgaria ,1996 )Giải:18Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcXét cực và đối cực đối với (O)Gọi I,J,P,Q lần lượt là tiếp điểm của (O) trên AB,BC,CD,DA.Gọi E,F,G,H lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng:(OA,IQ),(OB,IJ),(OC,JP),(OD,PQ).Ta sẽ chứng minh K,O,M thẳng hàng, còn lại tương tự.Theo giả thiết bài toán ta sẽ có:dA là đường đối cực của EdB là đường đối cực của FTừ đó dễ có EF là đường đối cực của K (1)Tương tự thì GH là đường đối cực của M. (2)Mặt khác dễ thấy EF//GH (3)Từ (1),(2),(3) , tiên đề Euclid ta dễ có điều cần chứng minh.Bài toán 6 (MOP 95): Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O). Tiếp điểm thuộc các cạnh AB,BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. AN, AP cắt (O) tại E, F. Chứng minh rằng ME, QF,AC đồng quy.19Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcGiải:Gọi K là cực của AC. Xét tứ giác nội tiếp MNPQ thì theo tính chất cực và đối cực của tứgiác nội tiếp ta có MQ và NP cắt nhau tại K. Lại xét đến tứ giác nội tiếp EFPN thì cũngcó EF và NP cắt nhau tại K, suy ra MQ và EF cắt nhau tại K.Ta thấy ME và QF cắt nhau tại 1 điểm thuộc đường đối cực của K tức thuộc AC hay ME,QF, AC đồng quy.Bài toán 7: Cho tam giác ABC. BB’, CC’ là các đường cao. E, F là trung điểm của AC,AB. EF cắt B’C’ tại K. Chứng minh rằng AK vuông góc với đường thẳng Ơle của tamgiác ABC.20Nhóm 3_Toán 4ACực và đối cựcGiải:Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn Ơle của tam giác ABC. J làgiao điểm của FB’ và EC’.Áp dụng định lí Papuyt cho 2 bộ 3 điểm BFC’ và CEB’ suy ra J, H, G thẳng hàng, tức Jthuộc đường thẳng Ơle của tam giác ABC.Mặt khác, tứ giác C’FB’E nội tiếp đường tròn Ơle, và theo tính chất cực của tứ giác nộitiếp thì AK là đường đối cực của điểm J, từ đó suy ra AK vuông góc với OJ tức đườngthẳng Ơle của tam giác ABC.Mở rộng ra thêm một chút, nếu như xác định các điểm K, L, M là giao điểm của các cạnhtương ứng của 2 tam giác A’B’C’ và DEF với A’, B’, C’ là chân các đường cao còn D, E,F là trung điểm các cạnh BC, CA, AB tương ứng thì có thể thấy rằng AK, BL, CM songsong với nhau và cùng vuông góc với đường thẳng Ơle của tam giác ABC.21

Tài liệu liên quan

• Ôn tập hình học phẳng Vecter và tọa độ trong hình học phẳng
  • 16
  • 512
  • 0
• Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng
  • 82
  • 633
  • 2
• Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng
  • 77
  • 961
  • 0
• Cực và đối cực trong hình học phẳng
  • 21
  • 989
  • 0
• Góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua chủ đề giải toán bằng phương pháp vectơ và tọa độ trong hình học phẳng
  • 23
  • 267
  • 0
• DSpace at VNU: Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng
  • 11
  • 177
  • 1
• Đồng quy và thẳng hàng trong hình học phẳng (Luận văn thạc sĩ)
  • 67
  • 209
  • 0
• SKKN góp phần phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh THPT qua chủ đề giải toán bằng phương pháp vectơ và toạ độ trong hình học phẳng image marked
  • 23
  • 98
  • 0
• Hướng dẫn học sinh khai thác và tìm cách giải một số bài toán quan hệ vuông góc của ba điểm và đường thẳng trong hình học phẳng
  • 15
  • 66
  • 0
• Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 13
  • 85
  • 24
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(654.08 KB - 21 trang) - Cực và đối cực trong hình học phẳng Tải bản đầy đủ ngay ×