Dạng Tổng Quát Của Phiếm Hàm Tuyến Tính Liên Tục Trên Không Gian Rn ...

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 2 Nội dung khoá luận gồm 4 chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 1

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầu thế kỉ XX, hiện nay đã được xem như ngành toán trọng điểm Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phương trình vi phân…

Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được nội dung hết sức phong phú, gồm

- Lý thuyết không gian trừu tượng ( Không gian mêtric, không gian định chuẩn, không gian tôpô và toán tử tôpô )

- Lý thuyết toán tử tuyến tính

- Lý thuyết các bài toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúng phương trình toán tử

- Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên

Những phương pháp, kết quả mẫu mực và tổng quát của giải tích hàm

đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có sử dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ Ngoài ra nó còn ứng dụng trong vật lý

lý thuyết và trong một số lĩnh vực kĩ thuật

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài

“Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian n

p

không gian hữu hạn và các không gian vô hạn chiều mà cụ thể là các không gian n

R , l , p L p p 1 Từ đó thêm kiến thức về các vấn đề của giải tích, sự khác nhau của chúng trên không gian khác nhau, xét khía cạnh khác nhau

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 2

Nội dung khoá luận gồm 4 chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian n

R Chương 3: Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian l p p 1

Chương 4 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L p p 1

Do thời gian và năng lực có hạn, mặc dù em đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu nhưng đề tài không tránh khỏi những sai sót, em rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên giúp cho khoá luận của em thêm hoàn thiện

Ngày 09 tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Nhuệ

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 3

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

U f

b) A f c \

2 Độ đo

Giả sử f là một -đại số những tập con của tập X

Hàm số :f [0,+ ) được gọi là độ đo trên f nếu thoả mãn

3 Không gian độ đo

Bộ ba (X, f, ) trong đó f, là một - đại số, là 1 độ đo trên f, X là

1 tập hợp gọi là không gian độ đo

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 4

4 Hàm số đo được

Giả sử ( X, f ) là không gian đo với f là 1 - đại số các tập con của X,

A f, hàm: : R R ¡ gọi là đo được trên A đối với - đại số

1.1.2 Không gian tuyến tính trên trường P

Giả sử P là trường số thực hoặc phức, tập cùng với 2 phép toán cộng và nhân vô hướng:

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 5

8 1 , x : 1x x

1.1.3 Không gian định chuẩn

1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn

Ta gọi không gian định chuẩn, mọi không gian tuyến tính X trên trường

P cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu

Số x gọi là chuẩn của x Kí hiệu không gian định chuẩn là X

2 Hội tụ theo chuẩn

Dãy x n gọi là hội tụ tới phần tử x X nếu lim n 0

4 Không gian Banach

Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 6

5 Toán tử tuyến tính

Cho 2 không gian tuyến tính X và Y trên P, ánh xạ : Y gọi là

toán tử tuyến tính nếu A thoả mãn các điều kiện:

7 Chuẩn của toán tử

Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, A là toán tử tuyến tính bị chặn x , hằng số c nhỏ nhất thoả mãn 1.1 gọi là chuẩn của toán tử A

Kí hiệu:

8 Không gian liên hợp

Cho không gian định chuẩn X trên trường P, ta gọi không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp của không gian X

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 7

2 Không gian Hilbert

Ta gọi gồm các phần tử x,y,z,…là không gian Hilbert nếu thoả

mãn các điều kiện sau:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 8

1.2.3 Định lý 4 mệnh đề tương đương về toán tử liên tục

Cho 2 không gian định chuẩn X và Y, toán tử tuyến tính : Y , bốn mệnh đề sau tương đương:

1) A liên tục

2) A liên tục tại 0

3) A liên tục tại x0

4) A bị chặn

1.2.4 Nguyên lý thác triển Hahn - Banach

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian tuyến

tính con 0của không gian định chuẩn X 0 đều có thể thác triển lên toàn bộ không gian X với chuẩn bất kì tăng

Nghĩa là tồn tại một phiếm hàm liên tục F xác định trên toàn bộ không gian

X sao cho:

01) F x f x( ) x

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 9

q p

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 10

CHƯƠNG 2

DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 11

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 12

2 1

n

i i

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 13

n p

a Giả sử e1 , , ,e2 e là cơ sở chính tắc của không gian tuyến tính n n

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 14

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 15

Vậy chuẩn p tương đương với chuẩn Euclide Do p là chuẩn bất kì nên

mọi chuẩn trong n

R đều tương đương với chuẩn Euclide Do đó hai chuẩn bất

kì trong n

R luôn tương đương

2.3 KHÔNG GIAN BANACH n

* Định lí 2.3.1

Không gian định chuẩn n

R là không gian Banach

Chứng minh

Do hai chuẩn bất kì trong n

R đều tương đương nên ta chỉ cần chứng minh n

R là không gian Banach với chuẩn Euclide Từ đó ta kết luận n

R là không gian Banach với các chuẩn còn lại

Giả sử k k 1 là dãy cơ bản bất kì trong không gian n

Theo định nghĩa giới hạn với mỗi j = 1, 2, …, n; với mọi cho trước

tồn tại k 0 j ¥ sao cho với mọi k k : 0 j k k0

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 16

0lim k

k

Vậy k k 1 hội tụ trong n

R Do đó n

R là không gian Banach

2.4 DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN n

n

i i i

i i

Dễ dàng thấy f là một phiếm hàm tuyến tính trên n

R , hơn nữa f liên

x x , x x i n i 1 ¡ n

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 17

n i i

1

2 1

i i

1 1

sup

n i i x

Từ (2.2) và 2.3 ta nhận được 2

1

n i i

Bất đẳng thức (2.2) chứng tỏ phiếm hàm f bị chặn, do đó f là phiếm

hàm tuyến tính liên tục Vậy n

f ¡ và chuẩn trên ¡ n xác định bởi hệ thức 2.4

Do mọi chuẩn trong n

R đều tương đương với chuẩn Euclide nên tính

chất tuyến tính liên tục của f được bảo toàn với chuẩn p bất kì trên n

n

i i i

f x f x , x x i n i 1 ¡ n

trong đó f i f e i

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 18

CHƯƠNG 3

DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN l p (p 1) 3.1 TRƯỜNG HỢP 1 p < +

3.1.2 Không gian tuyến tính l p p 1

Với hai phần tử tuỳ ý x x n n 1,y y n n 1 l p, ¡ tuỳ ý ta định nghĩa 2 phép toán cộng 2 phần tử và nhân 1 phần tử với một số như sau

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 19

Vậy l đóng đối với hai phép toán cộng và nhân xác định trên p

Ta kiểm tra 8 tiên đề của không gian tuyến tính

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 20

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 21

3.1.3 Không gian định chuẩn l p

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 22

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 23

* Định lí 3.1.2

Không gian l cùng với ánh xạ xác định bởi công thức sau xác định p

một không gian định chuẩn

1

1

p p n n

Vậy ánh xạ xác định bởi công thức trên là một chuẩn trên l p

3.1.4 Không gian Banach l (1 p < + ) p

* Định lí 3.1.3

Không gian định chuẩn l là không gian Banach p

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 24

x là dãy cơ bản trong ¡ k 1,2,

Tồn tại x sao cho lim k k n k

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 25

l cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian tuyến tính

3.2.3 Không gian định chuẩn l

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 26

x là dãy Cauchy trong ¡ k 1,2,

Tồn tại x sao cho lim k k n k

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 27

chứng tỏ l là không gian Banach

3.3 DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN l p

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 28

1

N n

Ta chứng minh biểu diễn dạng 3.14 là duy nhất

Giả sửx x n n 1 l p có biểu diễn

Vậy biểu diễn 3.14 là duy nhất

* Định lí 3.3.1

Với p > 1 không gian l p ( gồm tất cả các phiếm hàm liên tục trên không

gian l ) đẳng cấu với không gian p l , trong đó q 1 1 1, 1 p

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 29

n

là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l p

Thật vậy Chuỗi ở vế phải của 3.15 hội tụ, x x n n 1 l p

u x hội tụ

1

n n n

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 30

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 31

p n

u

u u

1

1

1

¥

¥

q n n

q n n

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 32

n

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 33

u x hội tụ

1

n n n

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 34

x x n n 1 l1 luôn có

1 1

sup sup

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 35

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 36

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 37

CHƯƠNG 4

DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN

4.1.2 Không gian tuyến tính thực L p

Đưa và L (E, ) hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử p

L cùng hai phép toán trên lập thành một không gian tuyến tính p

4.2 Không gian định chuẩn L p

* Định lí 4.2.1

Không gian tuyến tính L (E, ) cùng với chuẩn xác định như sau lập p

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 38

thành một không gian định chuẩn

:L p ¡

1( )

a

p p

p E

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 39

4.3 Không gian Banach L p

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 40

Ta nhận được thấy y t s Lp,y t s 0, dãy y t s không giảm do

đó tồn tại giới hạn dưới lim t p

j j

p s s

p s s E

Theo tính chất bảo tồn thứ tự của tích phân “ Nếu f khả tích trên A thì

f hữu hạn h.k.n trên A”

là dãy hội tụ tuyệt đối h.k.n trên E Do đó hội tụ h.k.n trên E

Gọi giới hạn của dãy đó là y t , theo định nghĩa ta có

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 41

Vậy dãy cơ bảny t L p , hội tụ theo chuẩn của L p ,

4.4 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 42

Nghĩa là x t0 L p E,

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 43

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L p , ,(p > 1)

đều có biểu diễn duy nhất dưới dạng

2 x t ,y t L 2

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 44

E

Không gian L cùng với tích vô hướng 4.3 là không gian Hilbert 2

Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính bất kì trên không gian L (p >1) p

n

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 45

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 46

Theo định lí 3.4.1 hệ thức 4.6 xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L và p

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 47

1

L là tập hợp tất cả các hàm số đo được theo nghĩa Lebesgue trên E sao cho

E

2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian L 1

Giả sử y t đo được, bị chặn h.k.n trên E, nghĩa là: sup t

E Vrai y

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 48

s E

s r s

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 49

Mặt khác theo nguyên lí thác triển Hahn - Banach phiếm hàm f có thể

thác triển lên toàn L thành phiếm hàm tuyến tính liên tục F với chuẩn không 1

tăng F 1 f 2

Hơn nữa do f liên tục đều trên L , tập các hàm số liên tục trên E trù 2

mật khắp nơi trong L p p 1 nên thác triển F của f trên toàn L là duy nhất 1

Cho không gian độ đo (E, f, ), , L là tập hợp tất cả các hàm số

đo được theo nghĩa Lebesgue trên E và bị chặn h.k.n trên E

Tức là: ( )x t L , ( )x 0 : ( )x t ( )x h.k.n trên E

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 50

2 Không gian tuyến tính thực L

Ta đưa vào L hai phép toán: cộng hai hàm số và nhân một số thực với

một hàm số thông thường: x t y t( ), ( ) L , ¡

1) (x y t)( ) x t( ) y t( )

2) x t( ) ( )x t

* Định lí 4.4.3

L cùng hai phép toán trên lập thành một không gian tuyến tính

3 Không gian định chuẩn L

( Tiên đề thứ hai thỏa mãn)

3 x t y t( ), ( ) L có P, Q là 2 tập có độ đo bằng 0 sao cho:

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 51

Vậy L với chuẩn xác định trên là không gian định chuẩn trên ¡

4 Không gian Banach L

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ Lớp K33C-Toán 52

Hệ thức trên chứng tỏ t thì dãy x t là dãy số thực cơ bản n( )

Tức là dãy cơ bản x t n( ) n 1 L hội tụ tới x t theo chuẩn trên L

Vậy L là không gian Banach

5 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính trên không gian L