ÔN THI GIẢI TÍCH HÀM ĐIA! - Phong Van's Blog

Trang chủ » Chứng Minh Phiếm Hàm Tuyến Tính Liên Tục » ÔN THI GIẢI TÍCH HÀM ĐIA! - Phong Van's Blog

Có thể bạn quan tâm

Phong Van's Blog

Mathematics, Love and Life

Saturday, June 7, 2008

ÔN THI GIẢI TÍCH HÀM ĐIA!

pHầN 1: lÝ tHuYếT Chương 1: 6.1 Định lí: Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều trên cùng một trường K đều đẳng cấu với nhau Chứng minh: Ta chứng minh nếu E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều (dimE=n) trên trường K tùy ý thì E đẳng cấu với K^n (Không gian Euclide n_chiều). Tìm một ánh xạ từ E --> K^n là 1 đẳng cấu tuyến tính và liên tục hai chiều. Gọi a1,a2,...,an là cơ sở của E. Mọi x in E được viết một cách duy nhất dạng: x=b1a1+b2a2+...+bnan với bi in K. Đặt x*=(b1,b2,...,bn) in K^n Lúc đó xét ánh xạ: T: E------->K^n T(x)=x* xác định như trên. Kiểm tra T là đẳng cấu tuyến tính (rõ ràng nó là 1-1 vì tính duy nhất cách biểu thị của x qua cơ sở) Chứng minh T, T^-1 liên tục. Hệ quả 1: Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là Banach, các chuẩn trên cùng một không gian hữu hạn chiều đều tương đương với nhau. Chứng minh: Từ định lý trên nếu E là kgđc hữu hạn chiều (dimE=n) trên trường K thì nó đẳng cấu với K^n. Nên tính chất của E là tương tự tính chất của K^n, mà K^n là không gian Banach nên E là không gian Banach. Giả sử (E,c1), (E,c2) là kgđc hữu hạn chiều với hai chuẩn khác nhau nhưng đều đẳng cấu K^n. Và từ ánh xạ đồng phôi từ E --->K^n ta có thấy rằng giữa c1 và c2 có số a, b>0 để: ac1(x)<=c2(x)<=bc1(x), all x in E. Có một tính chất quan trọng tích các không gian tuyến tính định chuẩn là một không gian Banach khi và chỉ khi mọi thành phần đều là Banach. Hệ quả 2: Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian định chuẩn đều là không gian con đóng. Chứng minh: Cũng tương tự do K^n là không gian đóng nên E là không gian con đóng. 6.6 Định lí Riesz: Mọi không gian định chuẩn E là compact địa phương nếu và chỉ nếu có chiều hữu hạn. (Every locally compact space if and only if it has finite dimension) Chứng minh: Chiều thuận:Ta tìm hệ a1,a2,...,an in E thỏa E=<a1,a2,...,an> với giả thuyết E compact địa phương ta tìm cơ sở thỏa yêu cầu trên.Chiều đảo:E hữu hạn chiều nên đẳng cấu K^n, mà K^n là không gian compact địa phương nên E là compact địa phương. Chương 2:Vài hệ quả của định lí Hahn - Banach:Hệ quả 1: Mọi phiếm hàm tuyến tính f liên tục trên kg con F của kgđc E đều tồn tại phiếm hàm tuyến tình liên tục f* trên E sao cho: f*|F = f và ||f*||=||f||.Chứng minh:Hệ quả 2:Cho F là 1 kgvt con của kgđc E và vectơ v in E\F sao cho d(v,F)={inf||v-x||_x in F}=a>0. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liện tục f: E------>K sao cho ||f||=1, f|F=0 và f(v)=a.Chứng minh:Hệ quả 3:Mọi vectơ v in kgđc E, v#0, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E sao cho ||f||=1 và f(v)=||v||.Chứng minh:Hệ quả 4:Cho p là một nửa chuẩn trên kgvt E và v in E. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho |f(x)|<=p(x) all x in E and f(v)=p(v).Chứng minh:Định lý đồ thị đóng:Cho f là ánh xạ tuyến tính từ kg Banach E vào kg Banach F. Khi đó f liên tục nếu và chỉ nếu đồ thị của f là tập đóng trong E x F.Chứng minh: Chương 3:2.4 Định lí:Cho F là kg con Hilbert của kg tiền Hilbert E. Khi đó E=F [+] F'(với [+] tổng trực tiếp, F' là phần bù trực giao của F) và phép chiếu trực giao P|F : E---->F là ánh xạ tuyến tính, liên tục.Chứng minh:4.3 Bổ đề:Cho {e_i} là 1 dãy trực chuẩn trong kg Hilbert E. Khi đóa) Bất đẳng thức Bessel thỏa mãn (tổng vô hạn |(x|e_i)|^2 <= ||x||^2 all x in E)b) Mọi (b_i) in l^2 chuỗi b_ie_i hội tụ trong E.Chứng minh:4.4 Định lí:4.5 Định lí:(Xem GTH Đậu Thế Cấp) pHầN 2: bÀi tẬp Posted by at 3:27 AM Labels: math

No comments:

Post a Comment

Newer Post Older Post Home Subscribe to: Post Comments (Atom)

My Blog List

Phong Van's Blog Mr. Math Phong Van Saigon, Vietnam

Followers

Blog Archive

  • ▼  2008 (34)
    • ▼  June (22)
      • Không thể phủ nhận vai trò của H2O
      • Entry for June 30, 2008
      • Entry for June 28, 2008
      • Entry for June 27, 2008
      • Entry for June 26, 2008
      • Entry for June 25, 2008
      • Entry for June 22, 2008
      • Entry for June 19, 2008
      • BỂ BỤNG MẤT THÔI_ chia sẻ bà con_ cảnh báo ...
      • NHỮNG NHÀ ĐƯƠNG KIM VÔ ĐỊCH THẤT THẾ
      • Chuyện mùa thi: Những câu văn "kinh dzị"!
      • DÕI THEO EURO 2008
      • CỨU CỨU VỚI...!
      • CƠN LỐC MÀU DA CAM ĐÁNH BẠI ĐOÀN QUÂN THIÊN THANH
      • HAI ĐÊM MẤT NGỦ
      • Entry for June 08, 2008
      • ÔN THI GIẢI TÍCH HÀM ĐIA!
      • BỔ SUNG KIẾN THỨC VỀ GIẢI TÍCH HÀM
      • KẾT QUẢ LƯỢT TRẬN ĐẤU Ở BẢNG A
      • HƯỚNG TỚI EURO 2008
      • LỊCH SỬ ĐẢNG
      • NHỮNG ĐỘ ĐO THƯỜNG GẶP

About Me

phongvan View my complete profile  

Từ khóa » Chứng Minh Phiếm Hàm Tuyến Tính Liên Tục