Xemtailieu Tải về Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian rn, lp, lp (p=1)
Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích hàm là một ngành toán học đƣợc xây dựng vào khoảng nửa đầu thế kỉ XX, hiện nay đã đƣợc xem nhƣ ngành toán trọng điểm. Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phƣơng trình vi phân… Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ đƣợc nội dung hết sức phong phú, gồm - Lý thuyết không gian trừu tƣợng ( Không gian mêtric, không gian định chuẩn, không gian tôpô và toán tử tôpô..). - Lý thuyết toán tử tuyến tính. - Lý thuyết các bài toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúng phƣơng trình toán tử. - Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên. Những phƣơng pháp, kết quả mẫu mực và tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có sử dụng đến công cụ giải tích và không gian vectơ. Ngoài ra nó còn ứng dụng trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kĩ thuật. Với mong muốn đƣợc nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này bƣớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài “Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian R n , l p , Lp p 1 ,”. Nghiên cứu đề tài này em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về các không gian hữu hạn và các không gian vô hạn chiều mà cụ thể là các không gian R n , l p , Lp p 1 . Từ đó thêm kiến thức về các vấn đề của giải tích, sự khác nhau của chúng trên không gian khác nhau, xét khía cạnh khác nhau SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 1 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Nội dung khoá luận gồm 4 chƣơng Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian R n . Chương 3: Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian l p p 1 . Chương 4 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp p 1 . Do thời gian và năng lực có hạn, mặc dù em đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu nhƣng đề tài không tránh khỏi những sai sót, em rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên giúp cho khoá luận của em thêm hoàn thiện. Ngày 09 tháng 5 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Nhuệ SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 2 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. CÁC KHÁI NIỆM 1.1.1. Độ đo và tích phân _đại số 1. Môt họ f những tập con của X gọi là một a) X, -đại số nếu: f b) F kín đối với mọi phép toán hữu hạn hay đếm đƣợc về tập hợp. Hay một lớp f là một -đại số khi và chỉ khi f ≠ và thoả mãn: i U A f. a) Ai f (i=1,2,...) i i 1 Ac b) A f X \ A f. 2. Độ đo Giả sử f là một -đại số những tập con của tập X Hàm số :f [0,+ ) đƣợc gọi là độ đo trên f nếu thoả mãn A 0 A f. a) 0 b) c) là -cộng tính. Tức là: nếu A1 , A2 ,... là họ đếm dƣợc các tập hợp thuộc f, đôi một không giao nhau thì U An n 1 An n 1 3. Không gian độ đo Bộ ba (X, f, ) trong đó f, là một - đại số, là 1 độ đo trên f, X là 1 tập hợp gọi là không gian độ đo. SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 3 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 4. Hàm số đo được Giả sử ( X, f ) là không gian đo với f là 1 : f nếu R :{x a gọi là đo đƣợc trên A đối với R R ¡ A f, hàm: - đại số các tập con của X, f. A:f(x)< a} + Nếu trên f có độ đo - đại số thì f đo đựơc trên A đối với - đại số f hay - đo đƣợc. + Nếu X a k , thì ta nói f(x) là đo đƣợc theo nghĩa Lebesgue Rk , f hay: đo đƣợc (L). +Nếu X = R k , f = a k , ( - đại số Borel trong R k ) thì ta nói f(x) đo đƣợc theo nghĩa Borel hay f(x) là 1 hàm số Borel. 1.1.2. Không gian tuyến tính trên trường P Giả sử P là trƣờng số thực hoặc phức, tập cùng với 2 phép toán cộng và nhân vô hƣớng: + Phép cộng: x, y a x y + Phép nhân: ,x a .x gọi là không gian tuyến tính nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1. x, y 2. x, y, z 3. x , 0 4. x , 5. 6. , :x y : x y y x. z x y z . : x 0 x. x :x , x, y : , x : SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ x x 0. y x x y. x x. 4 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp 7. , 8. Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 , x 1 , x : .x . x. : x.1 x. 1.1.3. Không gian định chuẩn 1. Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn Ta gọi không gian định chuẩn, mọi không gian tuyến tính X trên trƣờng P cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R , kí hiệu .: R xa x thoả mãn các tiên đề: 1) x 2) x 3) x, y : x 0 x 0 , x 0. : : x y x .x. x y. Số x gọi là chuẩn của x. Kí hiệu không gian định chuẩn là X. 2. Hội tụ theo chuẩn gọi là hội tụ tới phần tử x Dãy xn Kí hiệu: lim xn n xn X nếu lim n x 0. x. 3. Dãy cơ bản Cho không gian định chuẩn X, dãy xn nếu lim xm n ,m xn đƣợc gọi là dãy cơ bản 0. 4. Không gian Banach Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ. SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 5 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 5. Toán tử tuyến tính Cho 2 không gian tuyến tính X và Y trên P, ánh xạ Y gọi là : toán tử tuyến tính nếu A thoả mãn các điều kiện: 1) x, y 2) x : , x y x : y. x x. 6. Toán tử tuyến tính bị chặn Cho 2 không gian định chuẩn X và Y, toán tử tuyến tính là bị chặn nếu c > 0, x X: Ax c x Y X . : Y gọi 1.1 7. Chuẩn của toán tử Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, A là toán tử tuyến tính bị chặn x , hằng số c nhỏ nhất thoả mãn 1.1 gọi là chuẩn của toán tử A. Kí hiệu: . 8. Không gian liên hợp Cho không gian định chuẩn X trên trƣờng P, ta gọi không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp của không gian X. Kí hiệu . Không gian liên hợp của không gian định chuẩn X là không gian Banach. 1.1.4. Không gian Hilbert 1. Tích vô hướng Cho không gian tuyến tính X trên trƣờng P, ta gọi tích vô hƣớng trên không gian X ánh xạ từ SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ và P, kí hiệu .,. thoả mãn các tiên đề sau: 6 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp 1) x, y Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 : 2) x, y, z 3) x, y 4) x y, x x, y ; . X: x X; P: X: x, x x, x y, z x, z x, y = y, z ; x, y ; 0 0 x 0. 2. Không gian Hilbert Ta gọi gồm các phần tử x,y,z,…là không gian Hilbert nếu thoả mãn các điều kiện sau: 1) H là không gian tuyến tính trên trƣờng P. 2) H đƣợc trang bị một tích vô hƣớng. 3) H là không gian Banach với chuẩn x x, x x . 3. Toán tử liên hợp Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn, ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y. Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian X đƣợc gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu Kí hiệu x, y x, y x ,y Y . 1.2. CÁC BỔ ĐỀ, ĐỊNH LÝ 1.2.1. Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn Nếu f n là một dãy hàm đo đƣợc, hội tụ h.k.n đến một hàm f đo đƣợc fnd trên A thì: f khả tích trên A và lim n fd . E 1.2.2. Bổ đề Fatour Nếu f n x 0 trên A thì lim f n d SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ A n 7 lim f n d . n A Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 1.2.3. Định lý 4 mệnh đề tương đương về toán tử liên tục Cho 2 không gian định chuẩn X và Y, toán tử tuyến tính : Y, bốn mệnh đề sau tƣơng đƣơng: 1) A liên tục. 2) A liên tục tại 0. 3) A liên tục tại x0 . 4) A bị chặn. 1.2.4. Nguyên lý thác triển Hahn - Banach Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian tuyến tính con 0 của không gian định chuẩn X 0 đều có thể thác triển lên toàn bộ không gian X với chuẩn bất kì tăng. Nghĩa là tồn tại một phiếm hàm liên tục F xác định trên toàn bộ không gian X sao cho: 1) F x 2) F f ( x) f x 0 . . 0 1.2.5. Định lý Riesz Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dƣới dạng f ( x) Trong đó, phần tử a f x, a , x H. H đƣợc xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và a. 1.2.5. Bất đẳng thức Holder. Nếu a, b là hai số không âm; p,q là cặp số mũ liên hợp (tức là 1 p 1 1, 1 q thì ab p ap p ) bq . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a p q SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 8 bq . Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 1.2.6. ( Bất đẳng thức tích phân Holder ) Với hai hàm số bất kì đo đƣợc trên E là x t , y t ;hai số thực p,q R 1 p 1 1, 1 q p ta có bất đẳng thức sau x t .y t d x t E p 1 p d . E y t q 1 q . d e 1.2.7. ( Bất đẳng thức tích phân Mincovxki) Cho hai hàm số x t , y t là đo đựơc trên E và p p x t d y t , E p 1 sao cho: d . E Khi đó ta có bất đẳng thức tích phân sau: x t y t p 1 p d E SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ x t p 1 p p d E y t d 1 p . E 9 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 CHƢƠNG 2 DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN R (n n 1) 2.1. KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH R n Cho tập hợp ¡ {x ¡ ,i ( x1 , x2 ,..., xn ) : xi 1,2,..., n} ta đƣa vào cộng hai phần tử và g nhân 1 phần tử với 1 số hai phép toán 1. x y xi x 2. n n yi x i 1 n xi xi n i 1 ¡ , x i 1 ,y xi yi n i 1 ¡ n. n i 1 ¡ n. * Định lí 2.1.1. R n đóng đối với hai phép toán trên. * Định lí 2.1.2. R n cùng 2 phép toán trên là một không gian tuyến tính. Chứng minh Ta chỉ ra rằng hai phép toán định nghĩa trên thoả mãn 8 tiên đề của không gian tuyến tính. 1. x n xi , y 1 i xi ta có x y yi y yi yi n i ¡ 1 xi n i 1, n x ( Tiên đề 1 thoả mãn ). x 2. xi ta có xi x y yi n i , y zi xi 1 z x yi yi n i zi 1 , z zi i n i 1 ¡ n 1, n y z (Tiên đề 2 thoả mãn ). SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 10 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 3. Xét phần tử 0, 0, ta có 0 x i xi 0 x x ,0 ¡ n, i 1, n xi x n xi i 1 ¡ n x ( Tiên đề 3 thoả mãn ). 4. x n xi i ¡ n , tồn tại phần tử 1 Ta có xi xi = 0 x x i xi n i 1 ¡ n 1, n x ( Tiên đề 4 thoả mãn ). 5. x n xi i ¡ n, 1 ta có , xi R xi x i 1, n i 1, n x ( Tiên đề 5 thoả mãn). x 6. n xi i ¡ n, 1 xi ta có xi x ¡ , xi x x ( Tiên đề 6 thoả mãn). 7. x n xi ta có: i xi x ¡ n, y 1 yi y yi xi x n i 1 ¡ n, R yi i 1, n y ( Tiên đề 7 thoả mãn ). 8. x xi 1.xi n i ¡ 1 n ta luôn có xi ( 1 là đơn vị của R ) SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 11 i 1, n Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 1.x x ( Tiên đề 8 thoả mãn ). Vậy R n là một không gian tuyên tính thực với hai phép toán cộng và nhân xác định trên. 2.2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN R n Trên không gian R n ta xét ánh xạ . : Rn x R n n xi a i 1 x xi 2 i 1 khi đó . là một chuẩn ( gọi là chuẩn Euclide). Chứng minh Ta chỉ ra rằng . thoả mãn 3 tiên đề xác định chuẩn. x 1. n xi i n xi 2 i ¡ 1 0 x n ta có 0 1 n x 0 xi i x 2 0 xi 0 i 1, n 1 0 ( Tiên đề 1 thoả mãn ). 2. x xi n i ¡ n, 1 n x xi i R ta có n 2 2 1 xi i n 2 xi 1 i 2 x 1 ( Tiên đề 2 thoả mãn ). 3. x xi n i , y 1 SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ yi n i 1 ¡ n 12 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovsky ta có n n n xi2 xi yi i 1 i yi2 1 n i 1 n xi2 n 2 i 1 n n yi2 xi yi i 1 xi2 i 1 i 1 n xi2 2 i 1 n yi2 i 1 yi2 i 1 2 n xi n 2 yi n 2 i 2 i x i 1 y i 1 n xi n 2 yi n xi2 i 1 x i 1 yi2 i 1 y x i 1 y ( Tiên đề 3 thoả mãn ). Vậy R n là một không gian định chuẩn với chuẩn Euclide xác định trên. * Định lí 2.2.1. Hai chuẩn bất kì trên không gian véctơ n chiều ¡ n tƣơng đƣơng nhau. Chứng minh Ta chỉ cần chỉ ra rằng một chuẩn bất kì p đều tƣơng đƣơng với chuẩn Euclide là đƣợc. Xét chuẩn p : ¡ ¡ n x a p x Giả sử e1 , e2 ,..., en là cơ sở chính tắc của không gian tuyến tính R n . Khi đó x xi n i ¡ 1 n có biểu diễn dạng x xi ei . i 1 n Ta có p x n p ei xi i xi p ei 1 i n n p ei i n 1 SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ xi i 1 2 C1 x 2.1 1 13 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 n Với C1 p ei i Gọi S n 2 1 p ei i 2 1 1 . Đặt x ¡ n/ x Ta chứng minh đƣơc rằng inf p x x S >0 Thật vậy. Theo định nghĩa về cận dƣới đúng. Tồn tại dãy xk lim p xk k Vì xk k k S sao cho . S xk x 1 k bị chặn trong . k Theo định lý Bolzano- Weierstrass tồn tại dãy con xk l l của dãy xk k hội tụ theo chuẩn . tới a Rn . Do tính liên tục của ánh xạ chuẩn nên ta có xk a l Vì xk 1 ( l) l a 1 a l S, a Mặt khác p xk p a l Vì thế lim p xk k Giả sử x Với C2 a l lim p xk l l C1 xk l p a a l 0 0 bất kì trong R n .Ta có x x p p xk 1 x x 1 x x S x 1 p x C2 p x . SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 14 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Vậy chuẩn p tƣơng đƣơng với chuẩn Euclide. Do p là chuẩn bất kì nên mọi chuẩn trong R n đều tƣơng đƣơng với chuẩn Euclide. Do đó hai chuẩn bất kì trong R n luôn tƣơng đƣơng. 2.3. KHÔNG GIAN BANACH R n * Định lí 2.3.1. Không gian định chuẩn R n là không gian Banach. Chứng minh Do hai chuẩn bất kì trong R n đều tƣơng đƣơng nên ta chỉ cần chứng minh R n là không gian Banach với chuẩn Euclide. Từ đó ta kết luận R n là không gian Banach với các chuẩn còn lại. Giả sử k k k 1 là dãy cơ bản bất kì trong không gian R n với x1 k , x2k ,..., xnk . Nghĩa là xj k 0, k0 x n l j ¥ : xi k k 2 xi l k, l l = ξk ξl < ε k0 j 1,2,..., n i=1 x jk k 1 x j0 là dãy cơ bản trong R lim x kj k j 1,2,..., n j 1,2,..., n . Theo định nghĩa giới hạn với mỗi j = 1, 2, …, n; với mọi tồn tại k0 j ¥ sao cho với mọi k Đặt k0 Khi đó k0 j : x kj max k01 , k02 ,..., k0 n , k0 ta có SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ k - 0 n . x10 , x20 ,..., xn0 0 n k x kj cho trƣớc k xi - xi k0 i 1 15 k0 2 2 n i 1 n Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp lim k Vậy k Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 0 k hội tụ trong R n . Do đó R n là không gian Banach. k 1 2.4. DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN R n ¡ n ¡ ,i {x ( x1 , x2 ,..., xn ) : xi n ¥ 1,2,..., n} Giả sử trên không gian R n đã xác định một chuẩn . nào đó. Gọi ei ei n i 1 x , i 1,2,..., n . Với ij 1 khi j i 0 khi i j ij là cở sở của R n xi n i 1 ¡ ( ¡ n n f n là không gian liên hợp của R n ) n n xi ei xi f e i 1 n xi f i i i 1 fi f ei , i 1,2,...n i 1 ¡ n. i 1 Ngƣợc lại với mỗi vectơ cố định tuỳ ý f n f x 1 R n . Ta có Với mọi x fi xi ei . i Lấy phiếm hàm bất kì f f x n khi đó x có biểu diễn dạng x fi .xi , x xi i 1 n i 1 ¡ fi n i 1 Rn ta có n Dễ dàng thấy f là một phiếm hàm tuyến tính trên R n , hơn nữa f liên tục. Thật vậy 1. Giả sử n xi2 , x i 1 SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ x xi n i 16 1 ¡ n . Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 n n Ta có f x n n fi 2 xi fi i 1 xi2 i 1 fi 2 A x i 1 i 1 n fi 2 . f (2.2) i 1 Chọn x0 xi 0 n i 1 fi , xi 0 , i 1, n n (Do fi 0, i 1,2,..., n ) fi 2 i 1 ¡ x0 n và x0 1 fi 2 n f x0 i 1 n fi 2 . n i 1 fi 2 i 1 Suy ra n sup f f x fi 2 . f x0 2.3 i 1 x 1 Từ (2.2) và 2.3 ta nhận đƣợc f n fi 2 . 2.4 i 1 Bất đẳng thức (2.2) chứng tỏ phiếm hàm f bị chặn, do đó f là phiếm hàm tuyến tính liên tục. Vậy f ¡ n và chuẩn trên ¡ n xác định bởi hệ thức 2.4 . Do mọi chuẩn trong R n đều tƣơng đƣơng với chuẩn Euclide nên tính chất tuyến tính liên tục của f đƣợc bảo toàn với chuẩn p bất kì trên R n . Kết luận Vậy dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không gian R n n là: f x fi .xi , x i 1 trong đó fi xi n i 1 ¡ n f ei . SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 17 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 CHƢƠNG 3 DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHIẾM HÀM TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN lp (p 1) 3.1. TRƯỜNG HỢP 1 p < + 3.1.1. Định nghĩa Tập hợp l p x xn ¡ : / xn n 1 p xn . ,1 p n 1 3.1.2. Không gian tuyến tính l p p 1 Với hai phần tử tuỳ ý x xn n 1 ,y yn ¡ tuỳ ý ta định lp , n 1 nghĩa 2 phép toán cộng 2 phần tử và nhân 1 phần tử với một số nhƣ sau 1. x y xn x 2. xn yn n 1 n 1 . . * Định lí 3.1.1. l p cùng với hai phép toán trên lập thành một không gian tuyến tính. Chứng minh x +) xn xn yn n 1 , y yn yn xn l p ta có n 1 xn yn p yn xn p n 1,2,... 3.1 Mặt khác xn yn xn 2max xn , yn yn Do đó n 1 yn p p 2 p max xn , yn 2 p . xn p yn p n 1,2,... N* ta có k k xn p n 1,2,... k 2 p xn p yn p k 2 n 1 SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ p xn n 1 18 p k yn p n N* n 1 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 ta đƣợc Cho k xn yn p 2p p xn n 1 n 1 x y xn +) x xn k xn yn k p n 1 n 1 lp. n 1 ¡ ta có lp , n 1 p p yn xn p k p xn n 1 p p n 1 p xn k N* n 1 ta đƣợc Cho k xn p p n=1 xn p x xn n=1 n=1 lp Vậy l p đóng đối với hai phép toán cộng và nhân xác định trên. Ta kiểm tra 8 tiên đề của không gian tuyến tính. x 1. xn xn yn x n 1 , y yn l p , ta có n 1 yn xn y n 1,2,... y x (tiên đề thứ nhất thoả mãn). 2. x xn xn yn n 1 ,y yn zn xn x y n 1 yn z ,z zn l p ta có n 1 zn x n y 1,2,... z (Tiên đề 2 thoả mãn ). 3. Xét phần tử 0 xn x xn 0, 0, 0 x xn lp , n x xn n 1 l p ta có 1,2,... x ( Tiên đề 3 thoả mãn ). SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 19 Lớp K33C-Toán Khóa luận tốt nghiệp 4. x xn Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 ¡ n , tồn tại phần tử n 1 x xn n 1 lp Ta có xn xn = 0 x n 1,2,... x ( Tiên đề 4 thoả mãn ). 5. x xn n 1 lp , , R ta có xn xn x n 1,2,... x ( Tiên đề 5 thoả mãn). 6. x xn n 1 lp , xn R ta có , xn x x xn n 1,2... x ( Tiên đề 6 thoả mãn). 7. x xn xn n 1 yn x lp , y yn xn yn x y y n 1 lp , R ta có n 1,2,... ( Tiên đề 7 thoả mãn ). x 8. 1.xn xn n 1 l p ta luôn có xn ( 1 là đơn vị của R ) n 1,2,... 1.x x ( Tiên đề 8 thoả mãn ). Vậy l p là không gian tuyến tính thực. SVTH:Nguyễn Thị Nhuệ 20 Lớp K33C-Toán Tải về bản full