Đặt ẩn Phụ Trong Chứng Minh Bất đẳng Thức - TaiLieu.VN

Trang chủ » đặt ẩn Phụ Trong Chứng Minh Bất đẳng Thức » Đặt ẩn Phụ Trong Chứng Minh Bất đẳng Thức - TaiLieu.VN

Có thể bạn quan tâm

OPTADS360 intTypePromotion=1 zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn tailieu.vn NÂNG CẤP Đăng Nhập | Đăng Ký Chủ đề »
  • Công thức lượng giác
  • Khảo sát hàm số
  • Soạn bài Tràng Giang
  • Công thức tích phân
  • Hóa học 11
  • Sinh học 11
    • Toán lớp 10
    • Vật lý 12
  • HOT
    • CMO.03: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
    • CEO.29: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
    • LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y...
    • CEO.24: Bộ 240+ Tài Liệu Quản Trị Rủi...
    • FORM.04: Bộ 240+ Biểu Mẫu Chứng Từ Kế...
    • TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
    • CEO.27: Bộ Tài Liệu Dành Cho StartUp...
    • FORM.08: Bộ 130+ Biểu Mẫu Thống Kê...
    • FORM.07: Bộ 125+ Biểu Mẫu Báo Cáo...
    LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Tài...
TUYỂN SINH YOMEDIA ADSENSE Trang Chủ » Tài Liệu Phổ Thông » Trung học phổ thông Đặt ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức

Chia sẻ: Huỳnh Đức Huy | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST Báo xấu 875 lượt xem 109 download Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về Đặt ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức...

AMBIENT/ Chủ đề:
  • sổ tay toán học
  • bài tập toán
  • bài toán bất đẳng thứcn
  • học sinh giỏi toán 8
  • đề thi toán 8

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Đăng nhập để gửi bình luận! Lưu

Nội dung Text: Đặt ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức

  1. ĐẶT ẨN PHỤ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Đặt ẩn phụ là một trong những kĩ thuật hay khi chứng minh bất đẳng thức, thể hiện được tính sáng tạo của người làm toán.Việc đặt ẩn phụ một cách khéo léo sẽ giúp ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh trở thành những bất đẳng thức quen thuộc và dễ chứng minh hơn. Trong khuôn khổ nhất định của bài viết, chúng tôi xin đuợc trao đổi cùng các bạn về một số cách đặt ẩn phụ khi gặp một số bất đẳng thức đại số gồm 3 biến với giả thiết abc = 1; ab + bc + ca + abc = 4; ab + bc + ca = 1; a2 + b2 + c2 + 2abc = 1 và các giả thiết biến dạng.Cụ thể hơn, khi gặp giả thiết abc = 1 hoặc ab + bc + ca + abc = 4, ta sẽ sử dụng phép đặt ẩn phụ quy về các bất đẳng thức đại số. Còn khi gặp giả thiết ab + bc + ca = 1 hoặc a2 + b2 + c2 + 2abc = 1 , ta sử dụng phép đặt quy về các bất đẳng thức lượng giác. 1.abc=1 Các cách đặt ẩn phụ thường dùng cho giả thiết này là a= ,b= , hoặc a= ….. Tùy thuộc vào đặc điểm của bất đẳng thức cần hay a= chứng minh mà ta chọn cách đặt cho phù hợp, dễ nhìn để thuận tiện cho việc chứng minh bất đẳng thức mới. Ngoài những cách nêu ở trên ta có thể đặt ẩn phụ theo các cách khác, sau đó sử dụng giả thiết abc=1 để tìm đẳng thức liên hệ giữa các ẩn mới và chứng minh bất đẳng thức mới. Lưu ý. Có thể một số bài không áp dụng trực tiếp được một trong các cách đặt ẩn phụ kể trên. Ta cần biến đổi quy về giả thiết này. Dưới đây là một số ví dụ minh họa. Bài 1. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức:
  2. (1) Giải. Cách 1. Vì a, b, c dương và abc=1 nên tồn tại x, y, z > 0 sao cho a= ,b= (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có: VT= . Suy ra đpcm.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z a = b = c = 1. Cách 2.(1) (2+a)(2+b)+(2+b)(2+c)+(2+c)(2+a) (2+a)(2+b)(2+c) ab+bc+ca 3 (do abc = 1) Ta có VT (theo bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ab,bc,ca)Suy ra đpcm.Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. Nhận xét. Rõ ràng, việc chứng minh bất đẳng thức trên bằng biến đổi tương đương được thực hiện dễ dàng, ngắn gọn. Tuy nhiên, với bất đẳng thức sau thì việc biến đổi tương đương là không khả thi vì đã quy về bất đẳng thức bậc cao và rất khó chứng minh. Bài 2. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh bất đẳng thức: (2) Giải. Vì abc=1 (a,b,c>0) nên ta có thể đặt (x,y,z>0)(2)
  3. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có:VT Lại có 2(x2 + y2 + z2)2 - 6(x3y + y3z + z3x)= (x2 - 2xy + yz - z2)2 + (y2 - 2yz + zx - x2)2 + (z2- 2zx + xy - y2 + yz)2 ≥ 0 Suy ra x3y + y3z + z3x (x2 + y2 + z2)2 Tương tự 2(xy3 + yz3 + zx3) (x2 + y2 + z2)2 Cộng theo vế bất đẳng thức trên ta được 2(xy3 + yz3 + zx3) + x3y + y3z + z3x (x2 + y2 + z2)2 A 1 đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài toán mở 1.Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Tìm tất cả các giá trị của k để bất đẳng thức sau đúng R thỏa mãn abc=1. Chứng minh bất đẳng thức: (3) Bài 3. Cho a,b,c Giải. Cách 1.(3) a2(b-1)2(c-1)2+ b2(a-1)2(c-1)2+ c2(a-1)2(b-1)2 (a-1)2(b-1)2(c-1)2(a+1-ab- ac)2+(b+1-ab-bc)2+(c+1-ca-bc)2 (ab+bc+ca-a-b-c)2 (do abc=1) Khai triển, rút gọn và sử dụng abc=1 ta được: (ab+bc+ca-3)2 0 (đúng!)Suy ra đpcm
  4. Đẳng thức xảy ra Cách 2. Đặt (x-1)(y-1)(z-1)=xyz (do abc=1)x+y+z-1=xy+yz+zxx +y +z =(x+y+z) -2(xy+yz+zx)=(x+y+z-1)2+1 2 2 2 2 1đpcm Ở đây, ta thấy rất rõ ưu thế của kĩ thuật đặt ẩn phụ. Cách 1 thể hiện tính “thủ công ”, khai triển vất vả, cách 2 thể hiện tính “trí tuệ”, lời giải gọn gàng và dễ thực hiện. Bài 4 Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh: (4) Giải Đặ t Từ giả thiết abc=1 (1+x)(1+y)(1+z)=(1-x) (1-y)(1-z)x+y+z+xyz=0Lại có , tương tự với .(4) 1-x2+1-y2+1-z2-2(1+x)(1+y)(1+z) 1(x+y+z)2 và 0 (đúng! do x+y+z+xyz=0)Suy ra đpcmĐẳng thức xảy ra a=b=c=1 Bài 5. Cho a,b,c>0. Chứng minh: (5) Giải.(5) Đặt x= Lại đặt Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
  5. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có: VT Mà S 1 đpcm Đẳng thức xảy ra a=b=c. Hệ quả. Cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1. Chứng minh:P= Giải. Theo bài 5, Q= Lại có P+Q= =2 (do )P 3 (đpcm) Dấu “=” xảy ra x=y=z=1. Bài 6. Cho a,b,c>0. Chứng minh: (6) Giải. Đặt abc=k (k>0) suy ra tồn tại x,y,z>0 thỏa mãn a=kx, b=ky, c=kz xyz=1(6) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwartz ta có:VT xy2+yz2+zx2) (do 3=3xyz Việc còn lại là chứng minh (x2+y2+z2)2 (xy2+yz2+zx2) (x+y+z)x4+y4+z4+x2y2+y2z2+z2x2 xy3+yz3+zx3+xyz(x+y+z)
  6. Theo BĐT Cauchy cho các số thực dương ta cóx4+y4+y4+y4 4xy3y4+z4+z4+z4 xyz(x+y+z)Cộng 34 4 4 4 34 4 4 3 3 322 22 22 4yz z +x +x +x 4zx x +y +z xy +yz +zx z x +x y +y z theo vế 2 BĐT trên suy ra đpcm Đẳng thức xảy ra a=b=c. Bài 7. Cho a,b,c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh: (7) Giải.Đặt a=x3,b=y3,c=z3 (x,y,z>0) Mà abc=1 xyz=1(7) Ta có x3+y3 xy(x+y), y3+z3 yz(y+z), z3+x3 zx(z+x), x,y,z>0 VT . Bài toán mở 2.Với giả thiết tương tự như bài 7, tìm tất cả các giá trị của k để bất đẳng thức sau đúng: .
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

  • Giáo án tuần 5 bài Tập đọc: Cái trống trường em - Tiếng việt 2 - GV. Hoàng Quân

    doc 4 p | 560 | 39

  • Chủ Đề: Thuyết minh về một danh lam thắng cảnh ở Địa Phương em Thác Giang Điền

    pdf 4 p | 1110 | 30

  • Giáo án Địa lý 12 bài 17: Lao động và việc làm

    doc 5 p | 331 | 21

  • giáo án toán học: hình học 8 tiết 47+48

    pdf 9 p | 175 | 20

  • Giáo án bài LTVC: Mở rộng vốn từ: Từ ngữ về vật nuôi - Tiếng việt 2 - GV. T.Tú Linh

    doc 4 p | 292 | 13

  • Phân tích bắt sấu rừng U Minh Hạ

    pdf 24 p | 167 | 10

  • Định lý viết và ứng dụng

    doc 6 p | 102 | 10

  • Giáo án bài 7: Sau phút chia ly (trích Chinh phụ ngâm khúc) - Ngữ văn 7 - GV.T.T.Chi

    doc 8 p | 328 | 10

  • Chứng minh rằng con người trong Người lái đò sông Đà là Ông lái đò tài hoa

    doc 2 p | 180 | 6

  • Giáo án bài 7: Đề văn biểu cảm và cách làm bài văn biểu cảm - Ngữ văn 7 - GV.T.T.Chi

    doc 8 p | 245 | 6

  • Bình giảng đoạn thơ sau trong bài “Đất nước” của Nguyễn Đình Thi: "Sáng mát trong như sáng năm xưa... Những dòng sông đỏ nặng phù sa"

    doc 4 p | 139 | 5

  • Giáo án bài 6: Đặc điểm của văn bản biểu cảm - Ngữ văn 7 - GV.T.T.Chi

    doc 8 p | 156 | 4

  • Đề thi học kì 1 môn Toán lớp 8 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THCS Phú Mỹ Hưng (Đề tham khảo)

    pdf 4 p | 8 | 3

  • Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 8 năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Nguyễn Văn Phú

    pdf 4 p | 22 | 2

  • Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2022-2023 có đáp án - Sở GD&ĐT Khánh Hòa

    pdf 6 p | 18 | 2

  • Giáo án Lịch sử và Địa lí lớp 8 - Phần Địa lí, Bài 12: Sử dụng hợp lí tài nguyên đất (Sách Chân trời sáng tạo)

    doc 8 p | 8 | 2

  • Đề thi học kì 2 môn Địa lí lớp 8 năm 2021-2022 có đáp án - Trường PTDTBT TH&THCS Trà Ka

    doc 7 p | 3 | 1

Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn: Đồng ý Thêm vào bộ sưu tập mới: *Tên bộ sưu tập Mô Tả: *Từ Khóa: Tạo mới Báo xấu
  • Hãy cho chúng tôi biết lý do bạn muốn thông báo. Chúng tôi sẽ khắc phục vấn đề này trong thời gian ngắn nhất.
  • Không hoạt động
  • Có nội dung khiêu dâm
  • Có nội dung chính trị, phản động.
  • Spam
  • Vi phạm bản quyền.
  • Nội dung không đúng tiêu đề.
Hoặc bạn có thể nhập những lý do khác vào ô bên dưới (100 ký tự): Vui lòng nhập mã xác nhận vào ô bên dưới. Nếu bạn không đọc được, hãy Chọn mã xác nhận khác.. Đồng ý LAVA AANETWORK THÔNG TIN
  • Về chúng tôi
  • Quy định bảo mật
  • Thỏa thuận sử dụng
  • Quy chế hoạt động
TRỢ GIÚP
  • Hướng dẫn sử dụng
  • Upload tài liệu
  • Hỏi và đáp
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
  • Liên hệ
  • Hỗ trợ trực tuyến
  • Liên hệ quảng cáo
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

Đang xử lý... Đồng bộ tài khoản Login thành công! AMBIENT

Từ khóa » đặt ẩn Phụ Trong Chứng Minh Bất đẳng Thức