Sáng Kiến Kinh Nghiệm Chứng Minh Bất đẳng Thức Có điều Kiện Một ...

• Đăng ký
• Đăng nhập
• Liên hệ

Trang Chủ › Toán học Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện một cách hiệu quả và nhanh chóng hơn

Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thường gặp dạng toán Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện “.Tôi thấy học sinh thường e ngại hoặc làm bài không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng minh được các bài toán đó vì không tìm được cách chứng minh .Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn trình bày “ Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng thức có điều kiện . Đây là một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều kiện và qua thử nghiệm tôi thấy phương pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng dạy học sinh .

 

16 trang | Chia sẻ: sangkien | Lượt xem: 4353 | Lượt tải: 1Download Bạn đang xem tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện một cách hiệu quả và nhanh chóng hơn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênCác tài liệu tham khảo 1) Tạp trí toán học tuổi trẻ tháng 1/2002 (Hội toán học Việt Nam) 2) Một số vấn đề phát triển đại số 8, 9 (Tác giả Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản Giáo dục 2002) 3) 500 bài toán bất đẳng thức (TG. Phan Huy Khải - NXB Giáo dục 1996) 4) Tuyển tập các đề thi đại học cao đẳng (TG. Lê Thống Nhất - NXB Giáo dục 2001) 5) Phương pháp giảng dạy Toán ( TG. Hoàng Chúng - NXB Giáo dục) Những Vấn đề chung I)lý do chọn đề tài Khi giảng dạy các đội tuyển học sinh giỏi ,học sinh thường gặp dạng toán ²Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện “.Tôi thấy học sinh thường e ngại hoặc làm bài không tốt dạng toán này.Lý do là học sinh không chứng minh được các bài toán đó vì không tìm được cách chứng minh .Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn trình bày “ Sáng kiến về biến đổi để chứng minh bất đẳng thức có điều kiện . Đây là một trong các cách giải cho bài toán bất đẳng thức có điều kiện và qua thử nghiệm tôi thấy phương pháp này có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng dạy học sinh . II) mục đích nghiên cứu : Để đánh giá được khả năng giải toán và có phương án , phương pháp truyền đạt đến học sinh.Tôi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh giỏi lớp 8 ở trường ra đề cho học sinh làm bài trong 30 phút như sau: Bài1: (6đ) a) Ch a + b = 2 Chứng minh rằng a2 + b2 ³ 2 b) Cho a > 2 , b > 2 .Chứng minh rằng ab - 2a - 2b + 4 > 0 Bài 2 : ( 4 đ ) Cho a + b > 1 CMR : a4 + b4 > Kết quả cụ thể : Điểm dưới 5 5 đ 6 7 8đ10 5đ10 SL % SL % SL % SL % SL % 10 50 7 35 2 10 1 5 10 50 Qua kiểm tra tôi thấy đa số học sinh không làm được bài 2. Qua kết quả có thể thấy học sinh không có biện pháp giải dạng toán “ Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện “ Nên đạt hiệu quả thấp , lời giải thường dài dòng , phức tạp . Cũng với các bài toán trên nếu dùng phương pháp “ đổi biến “ thì hiệu quả sẽ nhanh chóng hơn trong việc chứng minh . Chính vì vậy mà tôi đã nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích giúp cho học sinh biết cách “ Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện “ một cách hiệu quả và nhanh chóng hơn. III) đối tượng nghiên cứu Học sinh khối lớp 8,9 SGK và một số tài liệu khác IV) nhiệm vụ của đề tài . Bản kinh nghiệm sáng kiến này được áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề trong trường học hoặc sử dụng để bồi dưỡng nâng cao vốn kiến thức cho các đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 8 , lớp9 và các lớp bậc trung học phổ thông . Dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức có điều kiện có thể sử dụng phương pháp này .Song tuỳ theo từng bài cụ thể . ( Còn có những bài chưa áp dụng được phương pháp này ). Chuyên đề này còn để ngỏ để tiếp tục khai thác nên chuyên đề vẫn còn nhiều vấn đề để mở không đi sâu hết các dạng đề bài. V)phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Dạy thực nghiệm VI)tiến trình nghiên cứu Thời gian nghiên cứu từ năm học 2006-2007 đến 2007-2008 Thời gian thực hiện năm học 2008-2009 Nội dung đề tài A ) cơ sở lý luận của đề tài: I)Cơ sở phương pháp Phương pháp chính của đề tài này là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý trên cơ sở các điều kiện đề bài cho đồng thời vận dụng đúng các đẳng thức được học trong sách giáo khoa , các bất đẳng thức đơn giản . Học sinh có thể đưa ra lời giải chứng minh ngắn gọn đơn giản cho các bài toán chứng minh bất đẳng thức , hay tìm cực trị của biểu thức đại số II)Các công thức cơ bản 1)Các hằng đẳng thức: (a ± b)2 =a2 ± 2ab +b2 ( a ± b)2 = a2 ± 3a2b +3ab2 ± b2 (a+b)(a-b) = a2 - b2 ( a+ b )( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 ( a - b ) (a2 + ab +b2 ) = a3 - b3 (a ± b)4 =a±4a3 + 6a3 b3 4ab3 +b4 2) Các bất đẳng thức: (a ± b)2 ³ 0 với " a ,b a2 ³ 0 với " a . B)Các ví dụ minh hoạ : I.) Điều kiện bài toán là đẳng thức: Bài1 Cho a + b = 6 Chứng minh: a4 + b4 ³ 162 Giải Do a + b = 6 nên có thể đặt với m tuỳ ý Ta có : a4 + b4 = (3 + m)4 + (3 - m)4 = = Với mọi m .Đẳng thức xảy ra khi m = 0 Hay a = b = 3 Suy ra ĐPCM Bài 2: Cho a + b = 4 chứng minh: a4 + b4 ³ 32 Giải: Do a + b = 4 nên có thể đặt với m tuỳ ý Ta có : a4 + b4 = (2 + m )4 + (2- m)4 = 32 + 48m2 +2m4 ³ 32 Với mọi m . Đẳng thức xảy ra khi m =0 hay a = b = 2 . Ta suy ra ĐPCM. Nhận xét 1:Nếu giả thiết cho a + b = c ta nên đặt ẩn phụ tương ứng như trên với Với m tuỳ ý Bài 3: Cho x + y + z = 3 Chứng mỉnh rằng: x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx ³ 6 Giải: Do x + y + z = 3 nên ta đặt Với a,b tuỳ ý Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có: x2 + y2 + z2 +xy +yz +zx = (1 + a)2 + (1 + b )2 + (1 - a - b)2 + + (1+ a) (1 + b) + (1+b) (1- a -b) + (1- a - b)(1+ a) = 6 + a2 + ab + b2 Với mọi a , b . Dấu” = “xảy ra khi a = b = 0 hay x =y =z =1 suy ra ĐPCM . Nhận xét 2: Nếu giả thiết cho: x + y + z = k Thì ta nên đặt: Hoặc với a +b +c = 0 Hai cách đặt này đều có thể vận dụng cho bài toán trên . Bài 4: cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng : ( a + c) ( b + d ) + 2ac +2bd Ê Giải: Do a + b +c + d = 1 nên ta có thể đặt : Với x ,y ,z tuỳ ý. Thay vào vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta có: (a+ c) (b+ d) + 2ac +2bd = Vớii mọi x , y . z . Dấu ” = “ xảy ra khi x - y = z = 0 hay a = c và b = d suy ra ĐPCM. Nhận xét 3 : Nếu giả thiết cho a + b + c + d = k . Ta có thể đặt theo 2 cách : Hoặc với m + n + p + q = 0 Bài 5:Cho a + b = c + d chứng minh rằng. a2 + d2 + cd ³ 3ab a2 + b2 + ab ³ 3cd Giải Phần a , b tương tự nhau, ta chứng minh phần a. Giải: Do a +b = c + d nên ta đặt Với x tuỳ ý Ta có "a,b,x Dấu ” = “ xảy ra khi x = a - b + = 0 hay a = b = c = d Với c2 + d2 +cd ³ 3ab với " a, b thoả mãn a + b = c + d Bài 6 : Cho a + b + c + d = 2 CMR a2+ b2 + c2 + d2 ³ 1 Vì a + b + c + d = 2 nên đặt Với : x + y + z + t = 0 Ta có: Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = t Khi đó a = b = c = d = Nhận xét 4: Nếu cho điều kiện là CMR: Ta nên đặt .... II. Các bài toán có điều kiện là đẳng thức kết hợp bất đẳng thức. Bài 7: Cho x + y =3 và y ³ 2 .Chứng minh rằng: a) x3 + y3 ³ 9 b) 2x4 + y4 ³ 18 Giải: Do y ³ 2 nên đặt y =2 + t ³ 0 với t ³ 0 Do x +y = 3 nên đặt y = 2 + t Thì x = 1 - t Thay x = 1 - t và y = 2 + t vào vế trái ta có: x3 + y3 = (1 -t )3 + ( t + 2)3= 9 +9 t +9t2 ³ 9 vì t ³ 0 Dấu “ = “ xảy ra khi t = 0 hay x = 1 và y = 2 suy ra ĐPCM b) 2x4 + y4 =2 (1 - t)4 + ( 2 + t) 4 =18 +24t + 36 t2 + 3t4 ³ 18 vì t ³ 0 Dấu “ = “xảy ra khi t = 0 hay x =1 và y =2 Suy ra ĐPCM Nhận xét 5: Với điều kiện x + y = k và y ³ l (hay x Ê n) thì nên đặt y = 1 + m với m ³ 0 ( hay x = n - m với m ³ 0) Từ đó suy ra x = k - l - m (hay y = k - n - m) suy ra: Hay Rồi thay các ẩn vào các vế bất đẳng thức cần chứng minh. Bài 8: Cho x 5 . Chứng minh rằng: 5x2 + 2y2 + 8y > 62 Giải Do x 5 nên ta đặt Với t ,k > 0 Suy ra Thay vào vế trái của bất đẳng thức ta có 5x2 +2y2 +8y = 5 (2 - t )2 + 2(3 + k + t )2 +8 (3 + k + t) = = 62 + 2 (k + t )2 +5t2 +20 k > 62 " k , t Suy ra ĐPCM . Bài 9 Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng: 27a2 +10 b3 > 945 Giải Do a + b > 8 và b > 3 Nên ta đặt Với k,t > 0 ị Thay vào vế trái của BĐT ta có: 27a2 + 10b3 = Vì ,t,k >0 Suy ra ĐPCM Nhận xét6:Nếu điếu kiện cho là: Ta nên đặt Với m,n > 0 từ đó ị Thay vào BĐT suy ra ĐPCM Nếu điếu kiện cho là: Thì ta đặt với n,m > 0 đ Thay vào BĐT suy ra ĐPCM Bài10: Cho a + b + c ³ 3 .Chứng minh rằng a4 +b4+c4 ³ a3 + b3 + c3 Giải: Do a + b + c ³ 3 nên ta đặt : Thoả mãn x + y + z ³ 0 Xét hiệu : Vậy: Dấu'' = ''xảy ra khi x = y = z hay a = b = c = 1 Nhận xét 7 Đây là đề thi học viện bưu chính viễn thông.Ta thấy nếu biết cách đặt ẩn phụ hợp lý học sinh vẫn có thể chứng minh được đối với học sinh THCS III)các bài toán có điều kiện phức tạp: Bài11: cho : a3 + b3 < 2 Chứng minh rằng: a + b < 2 Giải Phương pháp phản chứng. Giả sử ta đặt với Ta có: = Vì Suy ra Trái giả thiết.Vậy a + b < 2 Bài 12 Cho a4+ b4 < a3 + b3 Chứng minh rằng: a + b < 2 Giải Phương pháp phản chứng: Giả sử .Đặt với Xét hiệu: hay với a + b ³ 2 Thì: a4 + b4 ³ a3 + b3 Trái với giả thiết . Vậy a + b < 2 Bài toán 13 Cho a,b,c là 3 số dương Chứng minh : Giải: Đặt x = b + c ; y = c + a ; z = a + b Khi đó: Cho nên (áp dụng BĐT CÔ SI ) Dấu bằng xảy ra khi x = y = z Hay a = b = c Bài toán 14 Cho u,v là các số dương và u+v=1. chứng minh rằng Giải Đặt a = u + và Ta có a> 0, b > 0 Và < (1) Vì < 0 áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: vì uvÊ do đó) Dấu đẳng thức xảy ra khi : u = v = bài toán:15 Cho a.b Chứng minh rằng: Giải : Đặt x = ta có : Bất đẳng thức trở thành: Nếu ab< 0 Thì ta có Chia cả hai vế cho ab ta được Vậy x Trong cả hai trường hợp thì Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b c) thực nghiệm khoa học và Kết quả thực nghiệm 1)Kết quả chung Sau khi học sinh được thực hành '' Sáng kiến đổi biến để chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ''đa số các học sinh khá giỏi không những học sinh nắm vững cách đặt ẩn phụ mà còn biết vận dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt qua đó giải được các dạng toán như : -Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của một biểu thức biết điều kiện tham số. -Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện ,đẳng thức có điều kiện . -Sáng tao ra bất đảng thức mới. Qua kết quả của các bài toán trên đã giúp cho học sinh cũng như giáo viên có phương pháp giải mới cho các bất đẳng thức có điều kiện ,đó chính là một dạng toán khó và từ trước tới nay chưa có cách giải tổng quát 2)Kết quả cụ thể: Kiểm tra 20 em học sin khá ,giỏi lớp 8 theo ba đợt có đề bài lần lượt như sau Đề 1 a)cho a + b + c = 1 .Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 ³ b)cho x + y + z =3 Tìm GTLN của C =xy + yz + zx Đề 2 b) Cho a + b + c + d = 3 Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 ³ b)Cho a + b = 1tìm GTNN của M = a3 + b3 + ab Đề 3 Cho x + y = 3 và x Ê 1.chứng minh rằng: a)2x2 + y2 ³ 6 b) xy Ê 2 c) x3 + y3 - 6x2 - 3y2 + 9 ³0 Kết quả thực hiện như sau : Điểm Dưới5 5đ6 7 8đ10 5đ10 Đề SL % SL % SL % SL % SL % 1 10 50 6 30 3 15 1 5 10 50 2 4 20 10 50 4 20 2 10 16 80 3 0 0 8 40 5 25 7 35 20 100 Kiểm Tra 20 học sinh khá giỏi lớp 9 theo 3 đợt với đề bài thứ tự như sau: Đề 1: a)Cho3x + y = 1 chứng minh rằng x2 + y2 ³ b)Cho x + y = 3 và y Chứng minh rằng2x2 + y2 ³ 3x Đề 2: a) Cho x + y = c + d = 1 Chứng minh rằng < 1 b)Cho a + b + c + d ³ 2 Chứng minh rằng Đề 3 a) Cho a2 + b2 Ê 2 chứng minh rằng a + b Ê 2 b) Cho a + b ³ 2 Chứng minh rằng Kết quả cụ thể như sau Điểm Dưới 5 5 - 6 đ 7đ 8-10 5-10 Đề SL % SL % SL % SL % SL % 1 9 45 7 35 3 20 0 0 11 55 2 5 25 10 50 4 20 1 5 15 75 3 0 0 5 25 7 35 8 40 20 100 Nhận xét: Kết quả trên tôi thu được từ việc kiểm tra hai đội tuyển học sinh giỏi cấp huyện của trường sau khi các em được làm quen và trực tiếp các em thực hành sáng kiến “ Đổi biến để chứng minh Bất đẳng thức có điều kiện” Sau khi thu được kết quả có thể nhận thấy phương pháp giải toán ử trên không khó đố với học sinh khá giỏi ,mà điều cần lưu ý ở đây là cách đặt ẩn phụ một cách hợp lý thì lời giải mới ngắn gọn KếT LUậN chung A)ý nghĩa ,tác dụng của đề tài: Như đã trình bày ở phần đặt vấn đề tôi viết đề tài này chỉ nhằm một mục tiêu đơn giản là giúp cho giải toán “Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện “ có thêm một cách giải mới vừa đơn giản dễ nhớ và hiệu quả Qua đề tài giúp cho bản thân tôi cũng như các thầy cô giáo và học sinh thấy được mọi vấn đề đều có hướng giải quyết , nếu như ta biết đơn giản hoá các vấn đề phức tạp . B)Đề xuất và kiến nghị ứng dụng . Qua thực tế áp dụng đề tài tôi xin lưu ý các đồng chí khi vận dụng đề tài trên đây cần : Dạy cho học sinh nắm chắc các đẳng thức , các bất đẳng thức cơ bản . Đặt ẩn phụ hợp trên cơ sở điều kiện đề toán có lời giải chứng minh ngắn gọn nhất cho bài toán . Mở rộng phương pháp cho các dạng toán khác như các bất đẳng thức khó , các bài giải phương trình , các bài giải hệ phương trình có đều kiện kèm theo . Từ kết quả đúc rút kinh nghiệm từ bản thân tôi xin kiến nghị . Đối với hội đồng khoa học cấp trường , cấp huyện cần xem xét phương pháp mà tôi trình bầy trong đề tài này để có những nhận xét , đánh giá những ưu nhược điểm của đề tài , và hướng chỉ đạo trong thời gian tới . Tôi hy vọng đề tài sẽ đóng góp một phần trong công tác nghiên cứu khoa học và áp dụng vào giảng dạy ở nhà trường . Mục lục Phần I: Những vấn đề chung Lí do chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Tiến trình nghiên cứu Phần II: Những nội dung chính của đề tài Cơ sở lí luận của đề tài Các ví dụ minh họa (Thực trạng của vấn đề nghiên cứu) Thực nghiệm khoa học và kết quả thực nghiệm Phân tích tâm lí các kết quả thu được Phần III: Kết luận chung Kết luận, đề xuất và kiến nghị ứng dụng Tài liệu tham khảo Mục lục

File đính kèm:

• Sang_kien_kinh_nghiem_Chung_minh_bat_dang_thuc_co_dieu_kien.doc

Sáng Kiến Liên Quan

• Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng tam thức bậc hai vào giải toán ở bậc THPT

  14 trang | Lượt xem: 7333 | Lượt tải: 1

• Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương trình nghiệm nguyên thường gặp và cách giải

  12 trang | Lượt xem: 5331 | Lượt tải: 5

• Một số phương pháp giải phương trình bà bất phương trình vô tỉ

  19 trang | Lượt xem: 1268 | Lượt tải: 0

• Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng tính đơn điệu để giải toán

  15 trang | Lượt xem: 2254 | Lượt tải: 1

• Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng Toán ứng dụng dạng toàn phương của đa thức bậc hai

  31 trang | Lượt xem: 1103 | Lượt tải: 2

• Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm trong giải phương trình, bất phương trình

  34 trang | Lượt xem: 14243 | Lượt tải: 1

• Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai

  19 trang | Lượt xem: 4317 | Lượt tải: 1

• Sáng kiến kinh nghiệm Phát huy trí lực học sinh trong giảng dạy môn Toán

  5 trang | Lượt xem: 1962 | Lượt tải: 2

• Hướng dẫn sử dụng máy tính Casio Fx570ES giải Toán lớp 11

  16 trang | Lượt xem: 12347 | Lượt tải: 3

• Sáng kiến kinh nghiệm Vận dụng hằng đẳng thức để giải Toán

  7 trang | Lượt xem: 2072 | Lượt tải: 1

Copyright © 2024 SangKienKinhNghiem.org - Thủ Thuật Tin Học