Dòng Chảy Poiseuille – Wikipedia Tiếng Việt

Bài viết này cần thêm liên kết tới các bài bách khoa khác để trở thành một phần của bách khoa toàn thư trực tuyến Wikipedia. Xin hãy giúp cải thiện bài viết này bằng cách thêm các liên kết có liên quan đến ngữ cảnh trong văn bản hiện tại. (tháng 7 2018) (Tìm hiểu cách thức và thời điểm xóa thông báo này)

Dòng chảy Poiseuille là dòng chảy tầng của chất lỏng qua một ống dẫn có dạng hình trụ (hoặc phần không gian giữa 2 hình trụ đồng tâm) hoặc giữa 2 mặt phẳng song song. Dòng chảy Poisseuille cũng được coi là một trong những nghiệm chính xác và đơn giản nhất của phương trình Navier-Stokes.

Bài toán đặt ra

Xét dòng chảy xuôi theo trục của ống của một chất lỏng không bị nén và là dòng dừng có độ nhớt η {\displaystyle \eta } trong ống hình trụ có tiết diện ngang tròn và có chết độ dòng chảy tầng. Giả sử 2 đầu ống hình trụ (có độ dài l) được giữ bởi áp suất p1, p2, bán kính hình trụ là R, ta xét tiết diện ngang của ống:

Sử dụng hệ tọa độ cực, xét lớp nước chứa trong hình xuyến trụ có bán kính trong là r, bán kính ngoài là r+dr với độ dài là l, lực ma sát nhớt động học tác dụng lên lớp chất lỏng ở mặt trong hình xuyến trụ, theo công thức Newton:

F 1 = − η d v d r 2 π r l {\displaystyle F1=-\eta {dv \over dr}2\pi rl} (1)

Lực ma sát tác dụng lên lớp chất lỏng ở mặt ngoài hình xuyến trụ:

Khi đó,

F 2 = − F 1 + d F 1 = η d v d r 2 π r l + η 2 π l d ( r d v d r ) {\displaystyle F2=-F1+dF1=\eta {dv \over dr}2\pi rl+\eta 2\pi ld(r{dv \over dr})} (2)

Vì là dòng chảy tầng, chất lỏng trong hình xuyến trụ còn chịu tác dụng của lực sinh ra do chênh lệch áp suất ở 2 đầu ống:

F 3 = ( p 1 − p 2 ) d ( π r 2 ) = ( p 1 − p 2 ) 2 π r d ( r ) {\displaystyle F3=(p1-p2)d(\pi r^{2})=(p1-p2)2\pi rd(r)} (3)

Vì là dòng dừng, gia tốc của phần chất lỏng hình xuyến trụ trên bằng không, theo tiên đề 2 newton cho động lực học:

∑ i = 1 3 F i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}Fi=0} (4)

Từ (1)(2)(3) và (4):

η 2 π l d ( r d v d r ) + ( p 1 − p 2 ) 2 π r d r = 0 {\displaystyle \eta 2\pi ld(r{dv \over dr})+(p1-p2)2\pi rdr=0}

Tích phân 2 vế ta được:

∫ η 2 π l d ( r d v d r ) + ∫ ( p 1 − p 2 ) 2 π r d r = c o n s t {\displaystyle {\displaystyle \int \eta 2\pi ld(r{dv \over dr})+\int (p1-p2)2\pi rdr=const}}

2 η l r d v d r + ( p 1 − p 2 ) r 2 = c o n s t {\displaystyle {\displaystyle 2\eta lr{dv \over dr}+(p1-p2)r^{2}=const}}

Với r=0, ta có const=0

Phương trình trên được viết lại: 2 η l d v d r + ( p 1 − p 2 ) r = 0 {\displaystyle {\displaystyle 2\eta l{dv \over dr}+(p1-p2)r=0}}

− ∫ d v = ( p 1 − p 2 2 η l ) ∫ r d r {\displaystyle -\int dv=\left({\frac {p1-p2}{2\eta l}}\right)\int rdr}

=> Với điều kiện biên khi r=R thì v=0 ta được:

v ( r ) = 1 4 η p 1 − p 2 l ( R 2 − r 2 ) {\displaystyle v(r)={\frac {1}{4\eta }}{\frac {p1-p2}{l}}(R^{2}-r^{2})} (*)

Từ phương trình (*) ta tính lưu lượng toàn phần:

V ( t ) = ∫ 0 R v d ( π r 2 ) t = ∫ 0 R t v 2 π r d r = π 8 η p 1 − p 2 l R 4 t {\displaystyle V(t)=\int _{0}^{R}vd(\pi r^{2})t=\int _{0}^{R}tv2\pi rdr={\frac {\pi }{8\eta }}{\frac {p1-p2}{l}}R^{4}t}

Đây chính là phương trình Poiseuille cho dòng chất lỏng chảy qua một ống tiết diện tròn.

Định luật Poiseuille

Phương trình (định luật) Poiseuille - cho phép ta xác định lưu lượng chất lỏng khi dòng chảy (của chất lỏng nhớt không bị nén) đã được thiết lập trong ống hình trụ tròn:

V ( t ) = π 8 η p 1 − p 2 l R 4 t {\displaystyle {\displaystyle V(t)={\frac {\pi }{8\eta }}{\frac {p1-p2}{l}}R^{4}t}}

Tham khảo

Giáo trình Cơ học- Bạch Thành Công