Giải Bài 1 Trang 43 SGK Giải Tích 12

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^3}\);

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tìm TXĐ của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:

*) Xét chiều biến thiên của hàm số:

+) Tính đạo hàm.

+) Tìm các điểm \({{x}_{i}}\) mà tại đó đạo hàm có \(y'=0\) hoặc đạo hàm không xác định.

+) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

*) Tìm cực trị: \(y\left( {{x}_{i}} \right).\)

*) Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực và tiệm cận của đồ thị hàm số nếu có. (\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} y\) )

*) Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị:

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(x=0\Rightarrow y=....\Rightarrow A\left( 0;\ ..... \right).\)

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành: \(y=0\Rightarrow x=.....\Rightarrow B\left( ...;0 \right).\)

+) Các điểm cực đại, cực tiểu nếu có.

Lời giải chi tiết:

\(y=2+3x-{{x}^{3}}.\)

1) TXĐ: \(D=R.\)

2) Sự biến thiên:

+) Chiều biến thiên:

Ta có: \(y'=3-3{{x}^{2}}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 3-3{{x}^{2}}=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\)

Trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right),\ y'>0\) nên hàm số số đồng biến, trên khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty  \right)\) có \(y'<0\) nên hàm số nghịch biến.

+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại \(x=1;\ \ {{y}_{CD}}=y\left( 1 \right)=4.\) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1;\ \ {{y}_{CT}}=y\left( -1 \right)=0.\)

+) Giới hạn vô cực:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + 3x - {x^3}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}.\left( {\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^2}}} - 1} \right) = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + 3x - {x^3}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^3}.\left( {\frac{2}{{{x^3}}} + \frac{2}{{{x^2}}} - 1} \right) = - \infty \end{array}\)

+) Bảng biến thiên:

 

+) Đồ thị:

Ta có: \(2+3x-{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\)

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại 2 điểm \(\left( 2;\ 0 \right)\) và \(\left( -1;\ 0 \right).\)

Ta có: \(y''=-6x\); \(y''=0 ⇔ x=0\). Với \(x=0\) ta có \(y=2\). Vậy đồ thị hàm số nhận điểm \(I(0;2)\) làm tâm đối xứng.

Nhận thấy, nhánh bên trái vẫn còn thiếu một điểm để vẽ đồ thị, dựa vào tính đối xứng ta chọn điểm của hoành độ \(x=-2\) suy ra \(y=4\).