Giải Bài 1 Trang 43 – SGK Môn Giải Tích Lớp 12 - Chữa Bài Tập

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) \(y=2+3x-{{x}^{3}}\)

b) \(y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x\)

c) \(y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+9x\)

d) \(y=-2{{x}^{3}}+5\)

Lời giải:

Hướng dẫn: Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba

* Tìm tập xác định

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên: Tính \(y'\) và giải phương trình \(y'=0\). Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+) Cực trị: Chỉ ra các điểm cực trị của hàm số.

+) Giới hạn tại vô cực: Tính \(\lim\limits_{x\to \pm\infty }\,y\)

+) Lập bảng biến thiên

* Vẽ đồ thị hàm số

a) \(y=2+3x-{{x}^{3}}\)

* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=3-3{{x}^{2}}=3\left( 1-{{x}^{2}} \right) \\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right. \)

Hàm số đồng biến trên \((-1;\,1)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;\,-1)\) và \((1;\,+\infty)\)

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1;\,y_{CĐ}=4\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1;\,y_{CT}=0\).

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ -{{x}^{3}}\left( \dfrac{2}{{{x}^{3}}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}+1 \right) \right]=+\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ -{{x}^{3}}\left( \dfrac{2}{{{x}^{3}}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}+1 \right) \right]=-\infty \)

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại điểm \((-1;\,0)\, \text{và} \,(2;\,0)\),cắt trục Oy tại điểm \((0;\,2)\). 

b) \(y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=3{{x}^{2}}+8x+4 \\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\dfrac{2}{3} \\ & x=-2 \\ \end{align} \right. \)

Hàm số nghịch biến trên \(\left(-2;\,-\dfrac{2}{3}\right)\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;\,-2)\) và \(\left(-\dfrac{2}{3};\,+\infty\right)\)

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2;\,y_{CĐ}=0\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\dfrac{2}{3};\,y_{CT}=-\dfrac{32}{27}\).

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right) \right]=-\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right) \right]=+\infty \)

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại điểm \((-2;\,0)\, \text{và} \,(0;\,0)\),cắt trục Oy tại điểm \((0;\,0)\)

c) \(y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+9x\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=3{{x}^{2}}+2x+9>0,\,\forall x\in \mathbb{R} \)

Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định và không có cực trị

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{{{x}^{2}}} \right) \right]= -\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{{{x}^{2}}} \right) \right]= +\infty \)

+) Bảng biến thiên

* Đồ thịĐồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ. 

d) \(y=-2{{x}^{3}}+5\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=-6{{x}^{2}}\le0,\,\forall x\in \mathbb{R}\)

Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định và không có cực trị

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ -{{x}^{3}}\left( -2+\dfrac{5}{{{x}^{3}}} \right) \right]= +\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ -{{x}^{3}}\left( -2+\dfrac{5}{{{x}^{3}}} \right) \right]= -\infty \)

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị Tham khảo lời giải các bài tập Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khác • Giải bài 1 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12 Khảo sát sự biến... • Giải bài 2 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12 Khảo sát sự biến... • Giải bài 3 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12 Khảo sát sự biến... • Giải bài 4 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 Bằng cách khảo sát hàm... • Giải bài 5 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 a) Khảo sát sự... • Giải bài 6 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 Cho hàm... • Giải bài 7 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 Cho hàm số... • Giải bài 8 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 Cho hàm... • Giải bài 9 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12 Cho hàm... Mục lục Giải bài tập SGK Toán 12 theo chương •Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Giải tích 12 •Chương 1: Khối đa diện - Hình học 12 •Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 •Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Hình học 12 •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 •Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian - Hình học 12 •Chương 4: Số phức - Giải tích 12