Giải Hệ Phương Trình Bằng Cách đặt ẩn Phụ Và Bài Tập Vận Dụng

Có thể bạn quan tâm

Khi giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ, chúng ta phải đặt ẩn phụ trước rồi mới vận dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để giải hệ.

I. Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách đặt ẩn phụ

* Phương pháp:

- Bước 1: Đặt điều kiện để hệ có nghĩa

- Bước 2: Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ

- Bước 3: Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt (sử dụng pp thế hoặc pp cộng đại số)

- Bước 4: Trở lại ẩn ban đầu để tìm nghiệm của hệ

* Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

a) $small left{egin{matrix} frac{1}{x}+frac{1}{y}=2 frac{3}{x}-frac{4}{y}=-1 end{matrix} ight.$ b) $small g_white fn_cm small g_white fn_cm small left{egin{matrix} frac{5x}{x+1}+frac{y}{y-3}=27 frac{2x}{x+1}-frac{3y}{y-3}=4 end{matrix} ight.$

* Lời giải:

a) Điều kiện: x, y ≠ 0 (mẫu số khác 0).

Đặt: $small u=frac{1}{x}; v=frac{1}{y}$ ta có hệ ban đầu trở thành:

small left{egin{matrix} u+v=2 3u-4v=-1 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} u=2-v 3(2-v)-4v=-1 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} u=1 v=1 end{matrix} ight.

- trở lại ẩn ban đầu x và y ta có: small left{egin{matrix} 1/x=1 1/y=1 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=1 y=1 end{matrix} ight.

⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (1;1)

b) Điều kiện: x ≠ -1 và y ≠ 3 (mẫu số khác 0)

Đặt: $small u=frac{x}{x+1}; v=frac{y}{y-3}$ ta có hệ ban đầu trở thành:

small left{egin{matrix} 5u+v=27 2u-3v=4 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} v=27-5u 2u-3(27-5u)=4 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} v=2 u=5 end{matrix} ight.

Trở lại ẩn ban đầu x và y ta có:

$small left{egin{matrix} frac{x}{x+1}=5 frac{y}{y-3}=2 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} 5(x+1)=x 2(y-3)=y end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x=frac{-5}{4} y=6 end{matrix} ight.$

⇒ thỏa điều kiện, nên hệ có nghiệm duy nhất (-5/4;6)

II. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp đặt ẩn phụ

* Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ

$a)\: \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x}+\frac{3}{y-2}=4\\ \frac{4}{x}+\frac{1}{y-2}=1 \end{matrix}\right.$ $b)\: \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x+1}+\frac{3}{y}=-1\\ \frac{2}{x+1}+\frac{5}{y}=-1 \end{matrix}\right.$