Giáo Trình Hình Học Vi Phân - Tài Liệu - Ebook

Mục lục

Chương 1 Đường và mặt bậc hai . 5

1.1 Siêu phẳng afin. 5

1.1.1 Thuật khổGauss-jordan giải hệphương trình tuyến tính. 5

1.1.2 Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ. 5

1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học. 6

1.2 Đường hác hai với phương trình chính tắc. 7

1.2.1 Ellipse. 7

1.2.2 Hyperbola. 7

1.2.3 Parabola. 7

1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng vềdạng chính tắc. 8

1.4 Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều. 8

1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát vềdạng chính tắc. 12

1.6 Phân loại dời hình các đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid. 14

l.7 Phân loại dời hình các mặt bậc hai trong không gian Euclid 3 chiều. 14

1.8 Phương pháp toạ độcong. 14

1.8.1 Các đường bậc 2 tham sốhoá. 15

1.8.2 Các mặt bậc hai tham sốhoá. 16

1.9 Bài tập củng cốlý thuyết. 16

Chương 2 Lý thuyết đường cong trong Rn. 17

2.1 Cung tham sốhoá và cung chính quy. 17

2.2 Độdài đường cong trong Rn. Đường trắc địa. 18

2.3 Mục tiêu trực chuẩn. Mục tiêu Frenet. Độcong. Độxoắn. 20

2.4 Định lí cơbản. 23

2.5 Bài tập củng cốlý thuyết. 26

Chương 3 Đại sốtensơ, đại sốngoài, tensơ đối xứng. 27

3.1 Tích ten sơcác không gian véctơ. 27

3.3 Đại sốtensơ. 29

3.4 Đại sốngoài. 30

Chương 4 Lý thuyết mặt cong trong R3. 31

4.1 Mảnh tham sốhoá chính quy và mặt tham sốhoá. 31

4.2 Mục tiêu Darboux của đường cong trên mặt dìm. 31

4.3 Dạng toàn phương cơbản. 32

4.4 Đạo hàm Weingarten và ký hiệu Christoffel. 37

4.5 Đạo hàm thuận biến. 40

4.6 Độcong Riemann. 41

4.7 Các định lí cơbản của tí thuyết mặt dìm. 43

Chương 5 Đường cong trên mặt cong. 46

5.1 Đường cong trên mặt. 46

5.2 Độcông pháp dạng và độcong trắc địa của đường cong trên mặt. 46

5.3 Phương chính và độcong Gauss. 48

5.4 Một Sốtính chất đặc trưng của đường trên mặt cong. 49

5.5 Định lí Gauss - Bonnet. 50

5.6 Bài tập củng cốlý thuyết. 55

Chương 6 Định lí ánh xạngược và Định lí ánh xạ ẩn. 57

6.1 Định nghĩa đạo ánh và các tính chất cơbản. 57

6.2 Đạo hàm riêng và vi phân. 61

6.3 Định lí hàm (ánh xạ) ngược. 65

6.4 Định lí hàm (ánh xạ) ẩn. 66

6.5 Bó các hàm trơn. 67

6.6 Bài tập củng cốlý thuyết. 69

Chương 7 Đa tạp khảvi. 70

7.1 Định nghĩa. Ví dụ. 70

7.2 Ánh xạtrơn giữa các đa tạp. 71

7.3 Phân thớtiếp xúc, đối tiếp xúc. 72

7.3.1 Không gian tiếp xúc. Phân thớtiếp xúc. 72

7.3.2 Không gian đối tiếp xúc. Phân thớ đối tiếp xúc. 73

7.4 Đa tạp con. Đa tạp thương. 74

7.4.1 Điều kiện dìm và điều kiện ngập. 74

7.4.3 Định lí Godeman. 76

7.4.4 Ví dụ. 77

7.5 Tôpô các đa tạp. 77

7.6 Bài tập củng cốlý thuyết. 77

7.7 Sơlược vềhình học Riemann tổng quát. 78

7.8 Sơlược vềhình học symplectie tổng quát. 78

Câu hỏi ôn tập. 80

Tài liệu tham khảo chính . 81

Chỉsố. 82